Algebra Liniowa, Streszczenia z Algebra

Pobierz Algebra Liniowa i więcej Streszczenia w PDF z Algebra tylko na Docsity!

Lech Jankowski, Grzegorz Szkapiak

Algebra Liniowa

(na podstawie wykładu Jana Dymary z roku 2003/2004)

Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny

Spis treści

Rozdział 1

Przestrzeń R

1.1. Pojęcia wstępne

Definicja 1.1. Płaszczyzną rzeczywistą nazywamy zbiór

R^2 =df {( xy ) : x, y ∈ R}.

U = ( u u^12 )

u 1

u 2

x

y

Rysunek 1

Punkt na płaszczyźnie utożsamiać będziemy z parą liczb oznaczających jego współrzędne kartezjańskie. Dla wygody (to, że tak będzie wygodniej okaże się później) zapisywać je będziemy w konwencji kolumnowej czyli jedna nad drugą ( xy ). Wektorem wodzącym punktu ( xy ) nazywamy strzałkę łączącą punkt ( 00 ) z punktem ( xy ). Punkty płaszczyzny będziemy utożsamiali z ich wektorami wodzącymi i będziemy je nazywać wektorami.

2 1. Przestrzeń R^2

Dla uproszczenia zapisu wektor zerowy ( 00 ) będziemy oznaczać po prostu przez 0.

Określamy dodawanie wektorów jako dodawanie odpowiednich współ- rzędnych i mnożenie wektora przez liczbę jako mnożenie przez tę liczbę obu współrzędnych. (por. rys. 2(a) oraz 2(b))

( u u^12 ) + ( v v^12 ) =

( u 1 + v 1 u 2 + v 2

)

(1.1) ,

t · ( u u^12 ) =

( t · u 1 t · u 2

)

(1.2).

Liczbę, przez którą mnożymy wektor nazywamy skalarem, ponieważ wynik mnożenia tU to przeskalowany wektor U.

U

V

U + V

(a)

U

t · U

(b)

Rysunek 2

Zbiór wszystkich skalarnych wielokrotności niezerowego wektora U , tzn. zbiór { tU : t ∈ R} wyznacza pewną prostą na płaszczyźnie.

Przyjmijmy

E 1 =

( 1 0

) , E 2 =

( 0 1

) ,

Każdy wektor U = ( u u^12 ) można zapisać w postaci

U = u 1 E 1 + u 2 E 2.

Wektory E 1 oraz E 2 nazywamy wersorami osi układu współrzędnych na płaszczyźnie. Oś wyznaczoną przez E 1 , tzn. zbiór { tE 1 : t ∈ R} nazywamy osią odciętych , zaś oś wyznaczoną przez E 2 — osią rzędnych.

Definicja 1.2. Kombinacją liniową wektorów U i V nazywamy wektor W = λU + μV , gdzie λ, μ ∈ R.

4 1. Przestrzeń R^2

1.2. Iloczyn skalarny

Definicja 1.4. Iloczynem skalarnym wektorów U = ( u u^12 ) oraz V = ( v v^12 ) nazywamy liczbę u 1 v 1 + u 2 v 2. Iloczyn skalarny wektorów U i V oznaczamy symbolem 〈 U, V 〉.

Uwaga 1.5. Spotykane są również inne oznaczenia iloczynu skalarnego, jak np. ( U | V ), U ◦ V , U · V , nie będziemy ich tu jednak stosować.

Stwierdzenie 1.6. Dla dowolnych wektorów U, V, W i skalarów α, β ∈ R zachodzą następujące własności

(1) dwuliniowość iloczynu skalarnego (a) 〈 αU + βV, W 〉 = α 〈 U, W 〉 + β 〈 V, W 〉 (liniowość względem 1. zmiennej) (b) 〈 U, αV + βW 〉 = α 〈 U, V 〉 + β 〈 U, W 〉 (liniowość względem 2. zmiennej) (2) 〈 U, V 〉 = 〈 V, U 〉 (symetryczność) (3) 〈 U, U 〉 ≥ 0 , przy czym 〈 U, U 〉 = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy U = 0 (dodatnia określoność)

Definicja √ 1.7. Normą ( długością ) wektora U nazywamy liczbę ‖ U ‖ =df 〈 U, U 〉.

Twierdzenie 1.8 (Równość równoległoboku). Dla dowolnych wektorów U i V zachodzi równość

(1.3) ‖ U + V ‖^2 + ‖ U − V ‖^2 = 2

( ‖ U ‖^2 + ‖ V ‖^2

) .

Dowód. Niech U i V będą dowolnymi wektorami. Wówczas (z definicji 1. oraz ze stwierdzenia 1.6) mamy:

‖ U + V ‖^2 + ‖ U − V ‖^2 = 〈 U + V, U + V 〉 + 〈 U − V, U − V 〉 = = 〈 U, U 〉 + 〈 U, V 〉 + 〈 V, U 〉 + 〈 V, V 〉 +

• 〈 U, U 〉 − 〈 U, V 〉 − 〈 V, U 〉 + 〈 V, V 〉 =

= 2 〈 U, U 〉 + 2 〈 V, V 〉 = 2

( ‖ U ‖^2 + ‖ V ‖^2

)

. 

Zauważmy, iż twierdzenie 1.8 mówi po prostu, że suma kwadratów długo- ści przekątnych równoległoboku jest równa sumie kwadratów długości jego boków.

Twierdzenie 1.9 (Wzór polaryzacyjny). Dla dowolnych wektorów U i V zachodzi równość

(1.4) 〈 U, V 〉 =

( ‖ U + V ‖^2 − ‖ U − V ‖^2

) .

1.2. Iloczyn skalarny 5

Dowód. Niech U i V będą dowolnymi wektorami. Wtedy (z definicji 1. oraz ze stwierdzenia 1.6) mamy:

‖ U + V ‖^2 − ‖ U − V ‖^2 = 〈 U + V, U + V 〉 − 〈 U − V, U − V 〉 = = 〈 U, U 〉 + 〈 U, V 〉 + 〈 V, U 〉 + 〈 V, V 〉 − − (〈 U, U 〉 − 〈 U, V 〉 − 〈 V, U 〉 + 〈 V, V 〉) = = 4 〈 U, V 〉. 

Lemat 1.10. Niech U oraz V będą dowolnymi wektorami. Wówczas równość ‖ U − V ‖^2 = ‖ U ‖^2 + ‖ V ‖^2 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy 〈 U, V 〉 = 0_._

Dowód. Niech U i V będą dowolnymi wektorami. Z definicji 1.7 oraz ze stwierdzenia 1.6 mamy:

‖ U − V ‖^2 = 〈 U − V, U − V 〉 = 〈 U, U − V 〉 − 〈 V, U − V 〉 = = 〈 U, U 〉 − 〈 U, V 〉 − 〈 V, U 〉 + 〈 V, V 〉 = = ‖ U ‖^2 − 2 〈 U, V 〉 + ‖ V ‖^2

Fakt 1.11. Niech U i V będą dowolnymi wektorami różnymi od zera. Wów- czas 〈 U, V 〉 = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy U jest prostopadły do V (U ⊥ V ).

Dowód. (=⇒)

Niech U ⊥ V. Wówczas z twierdzenia Pitagorasa mamy ‖ U − V ‖^2 = ‖ U ‖^2 + ‖ V ‖^2 (por. rys. 3), co (na mocy lematu 1.10) jest równoważne temu, że 〈 U, V 〉 = 0.

U

V

U − V

Rysunek 3

Niech teraz 〈 U, V 〉 = 0, co na mocy lematu 1.10 jest równoważne temu, że ‖ U − V ‖^2 = ‖ U ‖^2 + ‖ V ‖^2. Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa mamy, że U ⊥ V. 

1.2. Iloczyn skalarny 7

Twierdzenie 1.14. Dla dowolnych wektorów U i V zachodzi 〈 U, V 〉 = ‖ U ‖ ‖ V ‖ cos ∠( U, V ).

Dowód. W przypadku, gdy którykolwiek z wektorów jest zerowy, teza jest oczywista, bo 〈 U, V 〉 = 0.

Załóżmy teraz, że wektory U i V są niezerowe. Niech W będzie wektorem prostopadłym do wektora V takim, że dla pewnego c ∈ R mamy W + cV = U (wektor cV jest rzutem prostopadłym wektora U na prostą rozpinaną przez wektor V ). W zależności od kąta między wektorami U i V możliwe są dwa przypadki, które przedstawiono na rysunku 5. Gdy kąt między wektorami

c · V V

U

W

(a)

c · V V

U

W

(b)

Rysunek 5

U i V jest ostry (rys. 5(a)), to

cos ∠( U, V ) =

‖ cV ‖ ‖ U ‖

= | c |

‖ V ‖

‖ U ‖

Gdy kąt między wektorami U i V jest rozwarty (rys. 5(b)), to

cos ∠( U, V ) = cos ( π − ∠( U, − V )) = − cos ∠( U, − V ) = − | c |

‖ V ‖

‖ U ‖

Ponadto, gdy kąt między wektorami U i V jest ostry, to c ≥ 0 (por. rys.

5(a)), więc cos ∠( U, V ) = c ‖ ‖ VU^ ‖‖ a gdy kąt między wektorami U i V jest

rozwarty, to c < 0 (por. rys. 5(b)), więc cos ∠( U, V ) = −(− c ) ‖ ‖ VU^ ‖‖ = c ‖ ‖ VU^ ‖ ‖.

Zatem w obu przypadkach cos ∠( U, V ) = c

‖ V ‖

‖ U ‖

Z drugiej strony wektor W = U − cV jest prostopadły do wektora V , więc z faktu 1.11 mamy

0 = 〈 U − cV, V 〉 = 〈 U, V 〉 − c 〈 V, V 〉 ,

8 1. Przestrzeń R^2

i stąd możemy wyliczyć stałą c

c =

〈 U, V 〉

〈 V, V 〉

〈 U, V 〉

‖ V ‖^2

Zatem

cos ∠( U, V ) =

〈 U, V 〉

‖ V ‖^2

‖ V ‖

‖ U ‖

〈 U, V 〉

‖ V ‖ ‖ U ‖

Ponieważ dla dowolnych wektrów U i V zachodzi |cos ∠( U, V )| ≤ 1, z udowodnionego przed chwilą twierdzenia 1.14 wynika następujący

Wniosek 1.15 (Nierówność Schwarza). Dla dowolnych wektorów U i V zachodzi

|〈 U, V 〉| ≤ ‖ U ‖ ‖ V ‖.

Wniosek 1.16 (Nierówność trójkąta). Dla dowolnych wektorów U i V za- chodzi

‖ U + V ‖ ≤ ‖ U ‖ + ‖ V ‖.

Dowód. Niech U i V będą dowolnymi wektorami. Wtedy

‖ U + V ‖^2 = 〈 U + V, U + V 〉 = 〈 U, U 〉 + 〈 U, V 〉 + 〈 V, U 〉 + 〈 V, V 〉 = = ‖ U ‖^2 + 2 〈 U, V 〉 + ‖ V ‖^2 ≤ ‖ U ‖^2 + 2 ‖ U ‖ ‖ V ‖ + ‖ V ‖^2 = = (‖ U ‖ + ‖ V ‖)^2. 

Nierówność użyta w powyższym dowodzie to nierówność Schwarza.

Wniosek 1.17 (Wzór cosinusów, twierdzenie Carnota). W dowolnym trój- kącie o bokach a, b, c i przeciwległych kątach równych odpowiednio α, β, γ (rys. 6(a))zachodzi

a^2 = b^2 + c^2 − 2 bc cos α , b^2 = a^2 + c^2 − 2 ac cos β , c^2 = a^2 + b^2 − 2 ab cos γ.

Istotnie, bez straty ogólności możemy założyć, że jednym z wierzchołków trójkąta jest punkt 0 (rys. 6(b)). Kładąc ‖ U ‖ = b , ‖ V ‖ = c oraz ‖ U − V ‖ = a mamy

a^2 = ‖ U − V ‖^2 = ‖ U ‖^2 + ‖ V ‖^2 − 2 〈 U, V 〉 =∗ =^ ∗ ‖ U ‖^2 + ‖ V ‖^2 − 2 ‖ U ‖ ‖ V ‖ cos ∠( U, V ) = b^2 + c^2 − 2 bc cos α ,

gdzie równość oznaczona symbolem ∗ wynika z twierdzenia 1.14.

10 1. Przestrzeń R^2

Zauważmy, iż jest to po prostu skrócony zapis układu równań

(1.7)

{ x = a 1 + tv 1 , y = a 2 + tv 2.

W przypadku (patrz rys. 7(b)), gdy wektor kierunkowy nie jest dany explicite , a wiadomo, że prosta przechodzi przez punkty A i B , równanie (1.6) przyjmuje postać

(1.8) X = A + t ( B − A ).

Przykład 1.18. Rozpatrzmy prostą mającą kierunek wektora V = ( 34 ) oraz przechodzącą przez punkt A = ( 12 ). Zgodnie z (1.6) oraz (1.7), jej równanie parametryczne ma postać

( xy ) = ( 12 ) + t ( 34 ) =

( 1+3 t 2+4 t

) lub równoważnie

{ x = 1 + 3 t , y = 2 + 4 t.

Wstawiając t = x − 3 1 (otrzymane z pierwszego równania w powyższym ukła- dzie równań) do drugiego równania w układzie, dostajemy po przekształce- niu równanie ogólne prostej

4 x − 3 y + 2 = 0. 

Równanie ogólne prostej ma postać

(1.9) ax + by + c = 0,

gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz a^2 + b^2 > 0. Ten warunek oznacza po prostu, że współczynniki a i b nie mogą być jednocześnie równe 0.

Zauważmy, że równanie (1.9) można zapisać z użyciem iloczynu skalar- nego

(1.10)

〈( a b

) ,

( x y

)〉

• c = 0.

Ponadto, wektor ( ab ) jest prostopadły do prostej ax + by + c = 0. Istotnie, niech X 1 oraz X 2 spełniają równanie ax + by + c = 0. Wówczas 〈( a b

) , X 1

〉

• c = 0, 〈( a b

) , X 2

〉

• c = 0.

Odejmując stronami otrzymujemy 〈( a b

) , X 1

〉 −

〈( a b

) , X 2

〉 = 0,

1.3. Proste na płaszczyźnie 11

a korzystając z dwuliniowości iloczynu skalarnego mamy 〈( a b

) , X 1 − X 2

〉 = 0.

Zatem z faktu 1.11 mamy, że ( ab ) ⊥ X 1 − X 2 a kierunek wektora X 1 − X 2 to kierunek naszej prostej.

Przykład 1.19. Znajdziemy równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkt A = ( 10 ) i mającej kierunek wektora U = ( 23 ). Zgodnie z (1.9) mamy

ax + by + c = 0, gdzie ( ab ) ⊥ ( 23 ).

Spróbujmy zatem przyjąć a = −3 oraz b = 2. Wówczas szukane równanie przyjmuje postać

− 3 x + 2 y + c = 0,

Szukana prosta przechodzi przez punkt A = ( 10 ), podstawmy więc

− 3 · 1 + 2 · 0 + c = 0, czyli c = 3.

Stąd szukane równanie ogólne prostej ma postać

− 3 x + 2 y + 3 = 0. 

Gdybyśmy wzięli inny wektor prostopadły do kierunku prostej, dostali- byśmy trochę inne równanie ogólne wyznaczające tę samą prostą. Różnica między tymi równaniami sprowadzałaby się jednak do przemnożenia przez odpowiednią stałą.

Przykład 1.20. Obliczymy cosinus kąta α , pod jakim przecinają się pro- ste x + y = 1 oraz x − 2 y = 4. Wektorami prostopadłymi do powyższych prostych są odpowiednio ( 11 ) oraz

( (^1) − 2

) (lub

( − 1 − 1

) oraz

( (^) − 1 2

) odpowiednio).

Zauważmy przy tym, że kąt pomiędzy tymi wektorami jest równy kątowi, pod jakim przecinają się proste (por. rys. 8). Zatem

cos α = cos ∠(( 11 ) ,

( (^1) − 2

) ) =

〈 ( 11 ) ,

( (^1) − 2

)〉

‖( 11 )‖

∥∥( (^1) − 2

)∥∥ = √− 2 √^15 = − √^110.

Znając cos α nietrudno obliczyć wartość kąta α α = arc cos

( − √^110

) .

Zauważmy, iż w ten sposób obliczyliśmy kąt rozwarty, pod jakim przecinają

się proste. Postępując analogicznie w przypadku pary wektorów

( − 1 − 1

) i

( (^1) − 2

)

(lub ( 11 ) oraz

( (^) − 1 2

) ) otrzymamy kąt ostry. 

W dowodzie twierdzenia 1.14 wykorzystaliśmy pojęcie rzutu prostopa- dłego wektora na prostą, które teraz sprecyzujemy.

1.4. Wyznacznik pary wektorów 13

Przykład 1.23. W następnych dwóch linijkach obliczymy cosinus kąta, pod jakim przecinają się wektory U = ( 12 ) i V = ( 34 ), a następnie znajdziemy rzut prostopadły wektora U na prostą rozpinaną przez wektor V.

cos ∠( U, V ) = (^) ‖ U 〈 U,V ‖‖ V^ 〉 ‖ = √^115 · 5 = 11

√ 5 25 ,

PV ( U ) = 〈 ‖ U,VV ‖^ 2 〉 V = 1125 ( 34 ) =

( (^33) (^2544) 25

)

. 

Przykład 1.24. Znajdziemy odległość punktu A = ( ab ) od prostej X = tU , gdzie U = ( cd ). Zauważmy, że przesuwając punkt A równolegle do prostej

X = tU

U

A

V

PV ( A )

Rysunek 10

nie zmieniamy odległości między nimi. Weźmy zatem wektor V prostopadły do prostej i przesuńmy A tak by znalazł się na prostej rozpinanej przez V. Wykonaliśmy rzut wektora (punktu) A na prostą rozpinaną przez V. Odległość punktu A od prostej X = tU jest zatem równa długości rzutu prostopadłego punktu A na prostą rozpinaną przez wektor prostopadły do prostej X = tU (por. rys. 10).

Zatem niech V = ( − cd ). Mamy

‖ PV ( A )‖ =

∥∥ ∥∥ P ( − cd ) ((^

a b ))

∥∥ ∥∥ =

∥∥ ∥∥ ∥

〈( ab ) , ( − cd )〉 ‖( − cd )‖^2

( − cd )

∥∥ ∥∥ ∥ =

∥∥ ∥ − cad (^2) ++ dbc 2 ( − cd )

∥∥ ∥ =

= |− cad (^2) ++ dbc 2 |‖( − cd )‖ = | ad c (^2) +− dbc 2 |

√ c^2 + d^2 = √| adc 2 −+ bcd 2 |. 

1.4. Wyznacznik pary wektorów

Rozważmy równoległobok rozpięty przez wektory U = ( u u^12 ) i V = ( v v^12 ), tzn. zbiór

{ X ∈ R^2 : ∃ s, t ∈ [0 , 1] X = sU + tV

}

. Pole równoległoboku jest równe iloczynowi długości podstawy i wysokości h opuszczonej na tę pod- stawę. Wysokość jest równa odległości punktu U od prostej rozpinanej przez

14 1. Przestrzeń R^2

U

V

h

Rysunek 11

wektor V (por. rys. 11), czyli h =

∥∥ P (^) V ˜ ( U )

∥∥ , gdzie V ˜ =

( (^) − v 2 v 1

) jest wektorem prostopadłym do wektora V. Stąd

h ‖ V ‖ =

∥∥ P (^) V ˜ ( U )

∥∥ ‖ V ‖ =

| u 1 v 2 − u 2 v 1 | √ v^21 + v 22

√ v^21 + v 22 = | u 1 v 2 − u 2 v 1 | ,

czyli pole równoległoboku rozpiętego przez wektory U = ( u u^12 ) i V = ( v v^12 ) jest z dokładnością do znaku równe liczbie u 1 v 2 − u 2 v 1.

Powyższe rozumowanie prowadzi do następującej definicji wyznacznika pary wektorów.

Definicja 1.25. Wyznacznikiem pary wektorów U = ( u u^12 ) oraz V = ( v v^12 ) nazywamy liczbę u 1 v 2 − u 2 v 1. Wyznacznik pary wektorów U i V oznaczamy symbolem det ( U, V ) = det (( u u^12 ) , ( v v^12 )) = | u u^12 vv^12 |.

A zatem pole równoległoboku rozpiętego przez wektory U i V wynosi |det ( U, V )|.

Stwierdzenie 1.26. Dla dowolnych wektorów U, V, W oraz liczb rzeczywi- stych α, β zachodzą następujące własności

(1) dwuliniowość wyznacznika (a) det ( αU + βV, W ) = α det ( U, W ) + β det ( V, W ) (liniowość względem 1. zmiennej) (b) det ( U, αV + βW ) = α det ( U, V ) + β det ( U, W ) (liniowość względem 2. zmiennej) (2) det ( U, V ) = − det ( V, U ) (antysymetryczność)

Zauważmy, że z antysymetryczności wyznacznika wynika, że dla dowol- nego wektora U

(1.11) det ( U, U ) = 0.

16 1. Przestrzeń R^2

(2) Dowód obu implikacji przeprowadzimy metodą nie wprost. (=⇒)

Chcemy pokazać, że jeśli U i V nie są współliniowe, to z wa- runku λU + μV = 0 wynika, że λ = μ = 0. Przypuśćmy więc nie wprost, że z warunku λU + μV = 0 nie wynika, że λ = μ = 0. To oznacza, że istnieją liczby rzeczywiste λ, μ takie, że λU + μV = 0 oraz λ 6 = 0 lub μ 6 = 0. Gdy λ 6 = 0, to U =

( −

μ λ

) V , zaś gdy μ 6 = 0, to U =

( −

λ μ

) V. Zatem w obu przypadkach wektory U i V są współliniowe a miały nie być. Doszliśmy zatem do sprzeczności co kończy dowód impli- kacji. (⇐=)

Teraz chcemy pokazać, że jeśli z warunku λU + μV = 0 wynika, że λ = μ = 0, to wektory U i V nie są współliniowe. Załóżmy zatem nie wprost, że wektory U i V są współliniowe, czyli istnieje liczba rzeczywista α taka, że U = αV lub istnieje liczba rzeczywista β taka, że V = βU. Gdy U = αV , to 1 · U + (− α ) V = 0, ale 1 6 = 0. Jest to sprzeczne z założeniem, że z warunku λU + μV = 0 wynika, że λ = μ = 0. Analogicznie jest w przypadku, gdy V = βU. Udowodniliśmy zatem drugą implikację. 

Przykład 1.30. Pokażemy, że wektory ( 12 ) i ( 13 ) nie są współliniowe.

Zgodnie z faktem 1.29 wystarczy sprawdzić, czy z warunku λ ( 12 ) + μ ( 13 ) = 0 wynika, że λ = μ = 0.

Mamy (^) { λ + μ = 0, 2 λ + 3 μ = 0.

Odejmując od drugiego równania dwukrotność pierwszego dostajemy { λ + μ = 0, μ = 0,

skąd wynika, że λ = μ = 0. 

Definicja 1.31. Wektory U i V nazywamy liniowo niezależnymi , jeśli dla dowolnych liczb rzeczywistych λ, μ z warunku λU + μV = 0 wynika, że λ = μ = 0. W przeciwnym wypadku wektory U i V nazywamy liniowo zależnymi.

1.5. Liniowa niezależność 17

Zauważmy, że z faktu 1.29 wynikają w oczywisty sposób równoważne stwierdzenia:

(1) wektory U i V nie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy są liniowo niezależne, (2) wektory U i V są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy są liniowo zależne. W szczególności, wektory U i V są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy det ( U, V ) 6 = 0.

Rozważmy liniowo niezależne wektory U, V ∈ R^2. Każdy wektor ( xy ) można przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów U i V , tzn. X = aU + bV. Pytamy o istnienie rozwiązania układu równań { au 1 + bv 1 = x , au 2 + bv 2 = y ,

Wiemy, że wektor U nie może być zerowy bo byłby wtedy współliniowy z V. Któraś z jego współrzędnych musi być więc niezerowa. Bez zmniejszania ogólności możemy przyjąć, że u 2 6 = 0. Mnożąc drugie równanie przez u u^12 i odejmując od pierwszego dostajemy b ( u u^12 v 2 − v 1 ) = u u^12 y − x. Ponieważ U i V nie są współliniowe, mają niezerowy wyznacznik, tzn. u 1 v 2 − v 1 u 2 6 = 0 a stąd również u u^12 v 2 − v 1 6 = 0 więc możemy podzielić otrzymane równanie

przez u u^12 v 2 − v 1. A zatem b =

u 1 u^ u^2 y − x u^1 2 v^2 − v^1

i łatwo wyliczymy również a. Zatem

równanie ma rozwiązanie.

Zauważmy, że przedstawienie ( xy ) w postaci kombinacji liniowej wekto- rów U i V jest jedyne. Istotnie niech

X = aU + bV i jednocześnie X = a ′ U + b ′ V.

Wówczas

0 = ( a − a ′) U + ( b − b ′) V ,

więc z definicji liniowej niezależności wynika, że a − a ′^ = 0 oraz b − b ′^ = 0, skąd a = a ′^ i b = b ′.

Definicja 1.32. Bazą przestrzeni R^2 nazywamy dowolny zbiór B ⊂ R^2 taki, że każdy wektor X ∈ R^2 można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów z B.

Fakt 1.33. Dla dowolnych liniowo niezależnych wektorów U i V zachodzi

(1) det ( U, V ) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy najkrótszy kąt obrotu od wektora U do wektora V jest skierowany przeciwnie do ruchu wska- zówek zegara.