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Limites e Continuidade RESUMO O conceito de limite é uma das idéias que distinguem o cálculo da álgebra e da trigonometria. Neste capítulo mostramos como definir e calcular os limites de funções. As regras para os cálculos são simples, e a maioria dos limi- tes dos quais precisamos pode ser obtida por substituição, análise gráfica, aproximação numérica, álgebra ou alguma combinação dessas. Os valores de algumas funções variam continuamente — quanto menor a variação na variável independente, menor a variação no valor da função. Os valores de outras funções podem saltar ou variar de maneira imprevisível, inde- pendentemente do modo como se controlam as variáveis. A noção de limite fornece um caminho preciso para distinguir esses comportamentos. Também usamos limites para definir retas tangentes a gráficos de funções. Essa aplicação geométrica leva imediatamente ao importante conceito de derivada de uma função. A derivada, que investigaremos com detalhes no Capítulo 2, fornece um caminho para quantificar a taxa a que os valores de uma função variam a cada instante. Taxas de Variação e Limites Companion É Website Biografia Histórica Zenão (490 a.C — 430 a.C) Velocidades Média e Instantânea + Taxas Médias de Variação e Retas Secantes + Limites das Funções * Definição Informal de Limite + Definição Precisa de Limite Nesta seção apresentaremos as taxas de variação média e instantânea, que levam à idéia principal da seção — a idéia de limite. Velocidades Média e Instantânea A velocidade média de um corpo em movimento durante um intervalo de tempo é obtida dividindo-se a distância percorrida pelo tempo gasto para percorrêla. A unidade de medida é o comprimento por unidade de tempo: quilômetros por hora, pés por segundo ou o que for adequado para resolver o problema em questão. Exemplo 1 Determinando a Velocidade Média Uma pedra se desprende do topo de um penhasco. Qual é sua velocidade média durante os primeiros 2 s de queda? Solução Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre a partir do repouso, próximo à superfície terrestre, um objeto sólido e denso percorrerá y=49%f metros nos primeiros £ s. A velocidade média da pedra em qualquer intervalo de tempo é a distância percorrida Ay, dividida pelo tempo At. Para os primeiros 2 s de queda, det = 0a t = 2, temos: 83 84 Capítulo 1: Limites e Continuidade Queda Livre Próximo à superfície da Terra, os cor- pos caem com a mesma aceleração | constante. Na queda, a distância per- corrida por um corpo desde o repouso é um múltiplo constante do quadrado do tempo decorrido. Pelo menos é o que acontece quando um corpo cai no vácuo, onde não existe ar para re- tardá-lo. A regra do quadrado do tempo também se aplica a objetos pe- sados e densos, como pedras, rola- mentos e ferramentas de aço, nos primeiros segundos de queda no ar, antes de a velocidade chegar ao ponto em que a resistência do ar começa à ser significativa. Quando a resistência do ar inexiste ou é insignificante e a única força atuante no corpo é a força da gravidade, chamamos o modo como o corpo cai de queda livre. Ay AIC + HP — AQ At h Duração do Velocidade intervalo de média no tempo, intervalo h(s) Ap /dt (m/s) 1 24,5 o 20,09 0,01 19,649 0,001 19,6049 0,0001 19,60049 0,00001 19,600049 dy 492) — 4907 à S=0 Bm Exemplo 2 Determinando a Velocidade instantânea Calcule a velocidade da pedra do Exemplo 1 no instante t = 2. Solução Resolva numericamente Podemos calcular a velocidade média da pedra ao longo do percurso, desde $ = 2 até qualquer tempo um pouco posterior: = 2 + h,h>0, que será dy 2 4,92 + h? — 4902) Ar E (1) Não podemos usar essa fórmula para calcular a velocidade no instante exato t = 2 porque isso exigiria que se tomasse h = 0, e 0/0 é uma operação in- definida. Entretanto, podemos avaliar o que está acontecendo em + = 2 ao calcular na fórmula os valores de h próximos de O, Ao fazermos isso, podemos ver um padrão claro (Tabela 1.1). Quando A se aproxima de 0, a velocidade média se aproxima do valor- limite 19,5 m/s. Confirme algebricamente Se expandirmos o numerador da equação (1) e o simplificarmos, teremos: Av A9C+HhS AY 4M4+4h+H)— 19,6 Ar h h — 19,6h + a,9n? h = 19,6 + 4,9h. Para valores de h diferentes de O, as expressões à direita e à esquerda são equivalentes e a velocidade média é 19,6 + 4,9 h m/s. Agora podemos ver por que a velocidade média apresenta o valor limite 19,6 + 4,90) = 19,6 m/s à medida que A se aproxima de O. Taxas Médias de Variação e Retas Secantes Dada a função arbitrária y = f(x), calculamos a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x,, x,] dividindo a variação do valor de y, Ay = f(x,) — f(x), pelo comprimento Ax = x, — x, = A do intervalo ao longo do qual a variação ocorre. Definição Taxa Média de Variação A taxa média de variação de = f(x) em relação a x nó intervalo - : Exp xo] é : Ap foD-fo wtf) Ax M—% h º n& Oii go 86 Capítulo 1: Limites e Continuidade Coeficiente angular de 2 PO = Auta 01,05) GEES = 1 02088) SDS . 160 030) SDS « -210 (0,4,076) Medo 7) u 14H 120 00,1,099) 08 06 04 02 o 02 04 06 08 1 Figura 1.3 Posições e coeficientes angulares das quatro secantes através do ponto P na curva da blindagem térmica. denominada tangente à curva em P (Figura 1.4). Como a reta aparentemente passa pelos pontos A (0,32, 1) e B (0,68, 0), seu coeficiente angular será 1-0 320068 = —2,78 “fpol. Em P, onde a espessura é 0,5 pol, a temperatura estava variando a uma taxa aproximada de —2,78 “fpol, A(O,32, 1) 08- 0,6 P(0,5,0,5) 04 - sam FIGURA 1.4 A reta tangente no ponto P tem o mesmo coeficiente angular que a curva em P. B(0,68,0) A taxa de queda da pedra (Exemplo 2) no instante £ = 2 e a taxa de variação da temperatura (Exemplo 3) na espessura 0,5 pol são chamadas taxas instan- tâneas de variação. Como os exemplos sugerem, encontramos taxas instan- tâneas como valores-limite das taxas médias. No Exemplo 3, também descreve- mos a tangente à curva de temperatura na espessura 0,5 pol como a posição-limite das retas secantes. Taxas instantâneas e retas tangentes estão in- timamente ligadas e aparecem em muitos outros contextos. Para falarmos sobre a construção das duas e para entendermos sua ligação posterior, precisamos in- vestigar o processo pelo qual determinamos os valores-limite, ou limites, como vamos chamá-los. Limites das Funções Antes de darmos uma definição de “limite”, vamos examinar mais um exemplo. Exemplo 4 Comportamento de uma Função Perto de um Ponto Como a função 1 fo) = se comporta próximo de x = 1? Solução A fórmula dada define f para todos os números reais de x, exceto x= 1 (não podemos dividir por zero). Para qualquer x 4 1, podemos simpli- ficar a fórmula, fatorando o numerador e cancelando os fatores comuns: = DG+Do x-1 E fo) = x+1 para xl. y=2+1 Figura 1.5 O gráfico de f é idêntico ao da retay = x + 1, exceto em x = 1, onde não é definida. 1.1 Taxas de Variação e Limites 87 Portanto, o gráfico de f é a reta y = x + 1 sem o ponto (1, 2). Esse ponto é apresentado como um “buraco” na Figura 1.5. Embora f (1) não seja definida, está claro que podemos tornar o valor de f(x) tão próximo de 2 quanto quisermos, escolhendo x suficientemente próximo de 1 (Tabela 1.2). Valores dexacimacabaixodel f)=EDlos41, v41 os 19 1 21 099 1,99 LoL 201 0.959 1,999 1,001 2001 0.999999 1.899999 1.000001 2000001 Dizemos que f(x) fica arbitrariamente próximo de 2 conforme x se aproxima de 1 ou, simplesmente, que f(x) se aproxima do fimite 2 quando x se aproxima de 1. Escrevemos isso assim: É in | limf=2 ou lim Eo7=2. 3 Definição Informal de Limite Seja f(x) definida em um intervalo aberto em tomo de xp, exceto talvez em xa. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L, para todos os valores de x suficiente- mente próximos de xo, dizemos que f tem limite L quando x tende a x, e es- crevemos lim fQ)=L. “Ho Essa definição é “informal” porque as expressões arbitrariamente próximo e su- ficientemente próximos são imprecisas; seu significado depende do contexto. Para um metalúrgico que fabrica um pistão, próximo pode significar alguns milésimos de centímetro. Para um astrônomo que estuda galáxias distantes, próximo pode significar alguns milhares de anos-luz. Entretanto, a definição é suficientemente clara para permitir o reconhecimento e a avaliação dos limites de várias funções específicas. Exemplo 5 — O Valor do Limite Não Depende do Modo como a Função É Definida em xo Na Figura 1.6, a função f apresenta limite 2 quando x — 1, mesmo que f não esteja definida para x = 1. Já a função g apresenta limite 2 quando x > 1 mesmo que 2 £ g(1). A função k é a única cujo limite é igual ao seu valor Companion f Website Biografia Histórica Aristóteles (38440 -3222C,) y=22-1 Limite superior y = 9 + isto Restringir isto Figura 1.9 Ao mantermos x variando 1 unidade em torno de x, = 4, manteremos y variando 2 unidades em torno de yo = 7. 11 Texas de Variação e Limites 89 Exemplo 7 Os Limites Podem Não Existir Discuta o comportamento das seguintes funções de x — 0. =]0, x<0 a) vo=[9 1=0 1 1 440 ag=[7 * O, x=0 0, 1=0 (3 fm) = sen E, x>0 Solução (a) A função salta: A função de salto unitário U(x) não tem limite quando x— 0 porque seus valores saltam em x = 0. Para valores negativos de x arbitrariamente próximos de zero, U(x) = 0. Para valores positivos de x arbitrariamente próximos de zero, U(x) = 1. Não há um único valor de L do qual U(x) se aproxime quando x — 0 (Figura 1.82). (b) A função cresce demais para ter um limite: g(x) não tem um limi- te quando x — O porque g cresce arbitrariamente muito em valor abso- luto quando x > O e não se mantém próximo de nenhum valor real (Figura 1,8b). (c) A função oscila demais para ter um limite: f(x) não tem limite quando x — 0 porque os valores da função oscilam entre +1 e —1 em cada inter- valo aberto que contém 0. Os valores não se mantêm próximos de nenhum número quando x — O (Figura 1.8c). Definição Precisa de Limite Para mostrar que o limite de f(x) iguala-se ao número L quando x — x, É preciso mostrar que o intervalo entre f(x) e L pode ser tão pequeno quanto quisermos se x for mantido suficientemente próximo de xp. Vejamos o que isso exige, se especificarmos o tamanho do intervalo entre f(x) e L. Exemplo 8 Controlando uma Função Linear Quão próximo de x, = 4 devemos manter x para termos certeza de que y = 2x — 1 fique a uma distância menor do que 2 unidades de yo = 7? Solução Pergunta-se: para quais valores de x é |y — 7|< 2? Para encon- trarmos a resposta, primeiramente expressamos | y — 7 | em termos de x: Iy—>7=[Qx=D=-7|=[2x—8]. A questão é a seguinte: que valores de x satisfazem a desigualdade | 2x — 8]< 2? Para descobrirmos isso, resolvemos a inequação: [2x-8|<2 —2<24—-8<2 6<2x<]10 3 O existir um número corresponde 8: 8.tal que, paratodos os valores de x , O O, precisamos encontrar um 8 > O adequado, tal que sex £ 1 e | x está a uma distância ô de xo = 1, isto é, se O<|x-1|<ô, Lte x então f(x) está a uma distância e de L = 2, isto é, L lb) periniticão If) —2] O para colocar o intervalo centrado 5-8|Ve-i-2j0 kh . Solução Não podemos substituir A = O e, além disso, numerador e de- nominador não têm fatores comuns óbvios. Entretanto, podemos criar um fator comum multiplicando o numerador e o denominador pela expressão conjugada V2 + h + N2, obtida pela mudança de sinal entre as raízes quadradas: 2Fh-V2 V2+h-V2 V2+h+v2 h h v2rh+v2 = 2+h-2 Kv2+h+ VB = h Fator comum de 4. Kv2 Fn+ VB = Da . Cancelar k para k £ 0. Então, tim th V2 gm 1 too h +50 2 +h+V2 = 1 Penominador V2+04N3 diferentedel a ] em h = 0; substituir. “no Veja que (V2 + A — 2h é o coeficiente angular da secante nos pontos PE, VDe QE +h,NV2+%)na curvay = Vx. A Figura 1.16 mostra a secante para A > O, Nossa resolução mostra que 1/ 22) é o valor limite desse coeficiente angular, fazendo Q — P ao longo da curva de cada lado. 4 Teorema do Confronto Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indireta- mente com o Teorema do Confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, ge h. Sege A tiverem o mesmo limite quando x — c, então f também terá esse limite (Figura 1.17). y Figura 1.17 O gráfico de f é limitado x entreosdegeh. -A x| Figura 1.20 Limites à direita e à esquerda diferentes na origem. Oreo O significado dos sinais na notação para os limites laterais é: xa” significa que x se aproxima de a por seu lado negativo, com valores menores que a . xa” significa que x se aproxima de a por seu lado positivo, com valores maióres quea. Lado negativo de a xo O t bd ! Lado positivo de ; 15a* t ! i | k É a hi x 1.2 Obtendo Limites e Limites Laterais 101 (a) FIGURA 1.19 O Teorema do Confronto confirma que (a) limpo sen8=0€ (b) limpso (1 — cos 6) = 0. Limites Laterais Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de E quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bi- laterais. Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado es- querdo, será um limite à esquerda. Definições Limites Laterais à Direita e à Esquerda o E Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a < b. Se;f(x) fica E arbitrariamente próximo de £ conforme x se aproxima de a.nêsse:;..(! intervalo, dizemos que f tem limite lateral à direita Lema é escrevemos lim SG) =L. 30 e : Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se aproximá:de q:nesse, intervalo, dizemos que f tem limite lateral à esquerda; M ein 2: escrevemos lim fO=M. A função f(x) = x/|x| (Figura 1.20) tem o limite 1 quando x se aproxima de O pela direita e limite —1 quando x se aproxima de O pela esquerda. Para a função f(x) = x/|x | na Figura 1.20, temos lim fl) = 1 e lim fe) =—1. 50 150 Exemplo 7 Limites Laterais para um Semicirculo O domínio de f(x) = V4 — x2 é [-2, 2]; seu gráfico é um semicírculo na Figura 1.21. Temos lim, Va-v=0 e lim Va- 2-0. A função não tem um limite pela esquerda em x = —2 ou pela direita em x =2.A função não tem limites bilaterais em —2 ou 2. 102 Capítulo 1: Limites e Continuidade v= vg Figura 1.21 lim,o- V4—x2=0 + elim,,» Vã-*=0 = Limites laterais têm todas as propriedades enumeradas no Teorema 1. O limite lateral à direita da soma de duas funções é a soma de seus limites laterais à direita, e assim por diante. Os teoremas para limites de funções polinomiais e racionais são válidos para limites laterais, assim como o Teorema do Confronto. Limites laterais e bilaterais estão relacionados da seguinte maneira: O símbolo e» O símbolo <> é lido como ““se e somente se”. É uma combinação dos símbolos = (implica) e <= (é implicado por). Exemplo 8 Emy =0 Emx= Emy=2: Emx=3: Emx=4: Teorema 5 : Uma função f(x) terá um limite quando x se aproxtiiár dec sê e somente se tiver-um limite lateral à direita e em à esquerda os doisiiimites laterais forem iguais its É infos” o Relação: emite os Limites Lateráre é Bite lim fo=L é Limites da Função no Gráfico da Figura 1.22 Figura 1.22 Gráfico da função do Exemplo 8. limçso+ fl) = 1, lim o: SO) e lim, so f(x) não existem. A função não é definida à esquerda de x = 0. lim,,- SG) = O ainda que f(1) = 1, lim fo)=1, lim,,, f(x) não existe. Os limites à direita e à esquerda não são Iguais. lim, o FO) = 1, lim fo)=1, lim f(x) = 1 ainda que f(2) = 2, Tim, f69) = lim, ,a+ 0) = lim AO) = 10) = lim- f0) = 1 ainda que f(4) £ 1, lim, + f09) e lim, f(x) não existem. A função não é definida à direita de x = 4. Em qualquer outro ponto a em (0, 4], f(x) tem limite f(a). 
