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| Integração RESUMO Vimos como a necessidade de calcular taxas de variação instan- tâneas levou os descobridores do cálculo a uma investigação sobre os coefi- cientes angulares de retas tangentes e, por fim, às derivadas — ao que chamamos de cálculo diferencial. Mas eles sabiam que as derivadas contavam só a metade da história. Além de um método de cálculo (um “cáiculo”) para des- crever como as funções estavam variando em um dado momento, eles também precisavam de um método para descrever como essas variações instantâneas poderiam se acumular ao longo de um intervalo para produzir a função. Ou seja, estudando como um comportamento variou, eles queriam conhecer o com- portamento em si. Por exemplo, partindo da velocidade de um objeto em movi- mento, eles queriam ter condições de determinar sua posição em função do tempo. É por isso que eles também investigavam dreas sob curvas, uma pesquisa que acabou por levar ao segundo ramo principal do cálculo, chamado cálculo integral. Como eles tinham o cálculo para determinar coeficientes angulares de retas tangentes e também para determinar áreas sob curvas, duas operações geométri- cas que pareciam não ter relação entre si, o desafio para Newton e Leibniz era demonstrar a ligação que eles sabiam intuitivamente existir. A descoberta dessa ligação (chamada de Teorema Fundamental do Cálculo) reuniu os cálculos diferencial e integral, tornando-os a ferramenta mais poderosa que os matemáti- cos já obtiveram para entender o universo. Integrais Indefinidas; Equações Diferenciais e Modelagem Determinando Primitivas: Integrais Indefinidas * Problemas de Valor Inicial * Modelagem Matemática O processo para determinar uma função f(x) a partir de um de seus valores co- nhecidos e sua derivada f(x) tem dois passos. O primeiro é encontrar uma fór- mula que dê todas as funções que poderiam ter f como derivada. Essas funções são chamadas primitivas de f, e a fórmula que fornece todas elas é chamada in- tegral indefinida de f. O segundo passo é usar o valor conhecido para selecionar a primitiva particular desejada a partir daquelas na integral indefinida. Determinar uma fórmula que desse todas as primitivas de uma função poderia parecer uma tarefa impossível, ou pelo menos exigir um pouco de mágica, mas não é realmente o caso. Se podemos achar ao menos uma primi- tiva, então podemos achar todas, devido aos dois primeiros corolários do Teo- trema do Valor Médio da Seção 3.2, 317 318 Capitulo 4: Integração Companion f, Website Ensaio Histórico A Integral Determinando Primitivas: Integrais Indefinidas Vamos começar com uma definição. De acordo com o Corolário 2 do Teorema do Valor Médio (Seção 3.2), uma vez que encontramos uma primitiva F de uma função f, as outras primiti- vas diferem dela por uma constante. Indicamos isso em notação integral da seguinte maneira: [ro dx= FG) +C (1) A constante C é a constante de integração ou constante arbitrária. A Equação 1 deve ser lida como “a integral indefinida de f em relação a x é Fx) + C”, Quando encontramos F(x) + €, dizemos que conseguimos integrar e calcular a integral. 2 Exemplo 1 Encontrando uma Integral Indefinida Calcule J e» dx. Solução uma primitiva de ex f &dr= je +C a constante arbitrária $ A fórmula (1/2)e% + C gera todas as primitivas da função e”. As funções PIDE + (112) — qe (112)e% + 2 são todas primitivas da função e*:, e você pode verificar isso diferenciando. Muitas das integrais indefinidas necessárias ao trabalho científico são de- terminadas pela inversão de fórmulas de derivadas. Você verá o que queremos dizer olhando a Tabela 4.t, que enumera várias formas integrais-padrão lado a lado com as fórmulas das derivadas que as originaram. Se você deseja saber por que as integrais da tangente, da cotangente, da se- cante e da cossecante não aparecem na tabela, a resposta é que as fórmulas usuais para elas exigem logaritmos. Na Seção 4.2, encontramos suas primitivas. 320 Capítulo 4: Integração (e) f Zdx= (E; 3)? +C Fórmula 13 coma =2 Ldy= 1 (b f cos Zár= [ cos (Esjas sen (1/2) =p fC=2sen5+C rómusswmk=in Calcular uma integral indefinida às vezes pode ser difícil, mas depois de encontrá-la é relativamente fácil verificar sua validade: diferencie o lado direi- to. A derivada deve ser o integrando. Exemplo 3 Verificando se uma Integral Indefinida Está Correta Cena: | xcosxdr= senx + cosx + € Razão; A derivada do lado direito é o integrando: E qesenx + cor + C)=xcosx+senx-— senx+0=xcosx. Errada: f xcosxdx=xsenx + € Razão: A derivada do lado direito não é o integrando: Ersenr+ C)=xcosx+senx+ 0 =xcosx, Não se preocupe com o modo de determinar a fórmula correta da integral no Exemplo 3, Apresentaremos uma técnica para fazer isso no Capítulo 7. Problemas de Valor Inicial O problema de determinar uma finção y de x quando sabemos sua derivada e seu valor yy em um ponto particular xo é chamado problema de valor inicial. Resolvemos esse tipo de problema em dois passos, como está demonstrado no Exemplo 4. Exemplo 4 Determinando uma Curva a Partir de Sua Função Coeficiente Angular e um Ponto Determine a curva cujo coeficiente angular no ponto (x, y) é 3x? sabendo que ela deve passar pelo ponto (1, —1). Solução Em linguagem matemática, pediu-se para resolver o problema do valor inicial, que consiste no seguinte. . dy A equação diferencial: = = 3x? O cocticiente angular da curva é 3x? dx A condição inicial: XD=—1 1. Resolva a equação diferencial: E =3? drgo [é dx y+C,=4)+C, Constantes de integração 4 combinadas, dando a solução PEX ÃO gend y=x2+4€ Figura 4.1 Ascurvasy =x) + € ocupam o plano cartesiano sem se sobrepor. No Exemplo 4, identificamos a curva y = xº — 2 como aquela que passa pelo ponto dado (1, —1). O Processo de Modelagem Passo 1. Observe o comporta- mento do mundo real. Passo 2. Formule hipóteses para identificar variáveis e suas re- lações, criando um modelo. Passo 3. Resolva o modelo para obter soluções matemáticas. Passo 4. Interprete o modelo e verifique se é consistente com as observações do mundo real. 41 Integrais Indefinidas, Equações Diferenciais e Modelagem 321 Esse resultado nos diz que y é igual a xº + € para algum valor de C. Deter- minamos esse valor a partir da condição (1) = —1. 2. Calcule €; y=2+C -1=(P+c Condição inicial (1) = —1 C=-2, A curva que desejamos é y = x* — 2 (Figura 4.1). A integral indefinida F(x) + € da função f(x) fornece a solução geral y= F(x) + € da equação diferencial dy/dx = f(x). A solução geral dá todas as soluções da equação (há infinitas, uma para cada valor de C). Resolvemos a equação diferencial determinando a solução geral. Então resolvemos o proble- ma do valor inicial determinando a solução particular que satisfaz a condição inicial y(x9) = yo (y tem o valor yo quando x = x9). Resolver o problema de valor inicial é importante na modelagem matemática, processo pelo qual cientistas e engenheiros usam a matemática para conhecer melhor o mundo real. Modelagem Matemática O desenvolvimento de um modelo matemático geralmente tem quatro passos: primeiro observamos alguma coisa no mundo real (por exemplo, uma esfera de metal maciça caindo a partir do repouso, ou a traquéia contraindo durante a tosse) e construímos um sistema de variáveis e relações matemáticas que imi- tam algumas de suas características importantes. Construímos uma metáfora matemática para aquilo que vemos. Em seguida, aplicamos matemática às variáveis e relações pará resolver o modelo e tirar conclusões sobre as variá- veis. Depois disso, traduzimos as conclusões matemáticas para informações sobre o sistema em estudo, Por fim, comparamos as informações com as obser- vações para ver se o modelo tem valor de previsão, Também investigamos a possibilidade de que o modelo seja aplicável a outros sistemas. Os modelos realmente bons são aqueles que levam a conclusões consistentes com as obser- vações, que têm valor de previsão e ampla aplicação e que não são muito difí- ceis de usar. O ciclo natural de imitação, dedução, interpretação e confirmação matemáticas é mostrado no diagrama da queda livre. Hipóteses de como quantidades mensuráveis Valores iniciais: «Observado: Objetos . estão relacionadas e esindo do repouso, quando £ = O no vácuo Relação assumida: s= 162 Confirmação: Aplicar cronômetro/vídeo Queda livre Sdeulo 1. A velocidade v no ' Conelusões instante 1 deve ser 324 Interpretação em matemáticas: 2. Todos os corpos caem sermos do com a mesma aceleração mundo real constante: 32 pés/s” 4.1 Integrais Indefinidas, Equações Diferenciaise Modelagem 323 ds E --34+12 de 32; Ear= [ (3 + 1) dt Constantes de integração s= 16H + 124+ C. combinadas, dando a solução geral, Calcule C': 80 = —16(02 + 12(0) + € Condição inicial s(0) = 80 C=80. A altura do pacote acima do solo no instante + é s= 16" + 12:+80. Use a solução: Para determinar quanto tempo o pacote leva para chegar ao solo, tornamos s igual a O e encontramos 1: —16" + 124+80=0 4" +3+20=0 p= DIE das Fórmula quadrática t=—1,89, 1= 2,64. O pacote atinge o solo cerca de 2,64 s depois de ser jogado do balão. (A raiz negativa não tem significado físico.) EXERCÍCIOS 4.1 Determinando Primitivas Nos exercícios 1-8, determine uma primitiva para cada função. Faça mentalmente quantas você puder. Verifique suas respostas diferenciando. 1.0) 6x do (Ox-6+8 2 (a) —3xw* do! (Dat+m+3 2 1 1 3 60) -S 5 grs 3 1 1 4 (a) 5 db) == (9) Va +— Rd 2vk Va 2,an 1can Lan sa) 3x 6 5x (0) =54 6. (a) -msenm (b) 3senx (e) sen mx — 3 sen 3x 7. (a) se?x b) due? z (9) se? E 8. (a) secxtgx (b) 4sec3xtg3x (e) sec 5 tg z 3 Calculando Integrais Calcule as integrais nos exercícios 9-26. Verifique suas respostas diferenciando. 9. [a+ Ddx 2,1 16. Fa + 3) dt ' f (e + +) dx 324 Capítulo 4: Integração 18, Í 2x1 - x) dx 19. [om vi + Vim 20. f (-2 cos 1) dt 1. f 7 sen Sao 2. f (-3 cosec? x) dx 2. f (1 +82 0) dO (Dica: 1 + tg? 60 = sec? 6) 2” f cotg" xd (Dica: 1 + cotg? x = cosee?x) 25. f cos 6 (tg O + sec 6) dá cosec 8 z6. f cosec 6 — sen Verificando Fórmulas de Integração Verifique as fórmulas de integral nos exercícios 27-30 diferen- ciando, Na Seção 4.2, veremos de onde vêm fórmulas como essa, Gu=2y -2» ="——— 2. [ex apds= E +o 4 28. [ox + srta = St e o [ eu (Saes (151) cc Lina - 30. | ça nG+D+AC, s>- 31. Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique sucintamente as respostas. 2 (a) [rsenxar= E sema (b) [esarar= —xcosx + C (o) [sena =-xcosx +senx+C 32, Diga se cada uma das fórmulas está certa ou ercada e justifique sucintamente as respostas. Qr+1P + 3 c (a) fesira= O) [res ira=er nro (e) fee nra=eapro Problemas de Valor Inicial 33. Escrevendo poro aprender Qual dos gráficos a seguir mostra a solução do problema de valor inicial dy = = =17 qo» y=4quandox=1? >» st 44,4 1,4) (1,4) 3 2 | Loss -[10 1 3 0 t E) (6) (9) Justifique suas respostas. 34. Escrevendo pora aprender Qual dos seguintes gráficos mostra a solução do problema de valor inicial dy Wo Tt y=Iquandor= 1? » y (1,1) a, IN ' AR ve ELO - 4 (a (0) (O) Justifique suas respostas. Resolva os problemas de valor inicial nos exercícios 35-46. dy 3 Te 2-7, X9)=0 dy Dl att O ayon E, dy 38. xo» 39, E =cost+sen t de dr 0. = do 3a de av dos de 1+t 3y a, = 2-6 y(0)= dr 2, d dd gs dr 3. x>06 X9=1 37. xc-D=-5 XD =—1 sm=1 -asen nO, rO)= 41. +>1v(D)= 42. +sectr, vO=1 4 X0=1 1 dD=1 326 Capítulo 4: Integração (constante), ele os jogou de aproximadamente 4 pés acima do solo. A cobertura televisiva do evento mostra o martelo e a pena caindo mais lentamente que na Terra, onde, no vácuo, eles deveriam ter gasto só meio segundo para cair os 4 pés. Quanto tempo gastaram o martelo e a pena para cair os 4 pés na Lua? Para descobrir, resolva o seguinte problema do valor inicial para s em função de £. Depois determine o valor de 1 que torna s igual a 0, Equação diferencial: És. —5,2 pésis? a? Condições iniciais: de =0es=4quando:=0 63. Movimento com aceleração constante A equação-padrão para a posição s de um corpo que se desloca com aceleração a cons- tante ao tongo de um eixo coordenado é a 2 s P+ut+ so (2) onde w e sy são a velocidade e a posição no tempo = 0. De- duza essa equação resolvendo o problema do valor inicial . E d?s Equação diferencial: CE=a ques a? aci ds - Condições iniciais: Cy e s=squandor=0. dt 64. Escrevendo para oprênder: Queda livre próximo à superficie do planeta (Continuação do Exercício 63) Para a queda livre próximo à superfície de um planeta onde a aceleração da gravidade tem uma magnitude constante de g unidades de comprimento/s?, a Equação (2) do Exercício 63 toma a forma s= ler +ugt+ so, (3) onde s 6 a altura do corpo acima da superfície. A equação tem sinal negativo, pois a aceleração atua para baixo, no sentido da diminuição de s. A velocidade vg será positiva se o objeto es- tiver subindo no tempo t = O e negativa se o objeto estiver caindo. Em vez de usar o resultado do Exercício 63, você pode deduzir a equação (3) diretamente resolvendo um problema adequado de valor inicial. Que problema de valor inicial? Re- solva-o para certificar-se de que é o problema certo, expli- cando os passos da solução conforme você avança. Teoria e Exemplos 65. Determinando o deslocamento a partir de uma primitiva da veloci- dade (a) Suponha que a velocidade de um corpo que se desloca ao Tongo do eixo s seja & -y=98- de TP 98 3. i Determine o deslocamento do corpo no intervalo de tempo det= lar dado que s = 5 quando t = 0. iá, Determine o deslocamento do corpo de + = ar =3 dado que s = —2 quando + = 0. iii, Agora determine o deslocamento do corpo de t = 1 à é = 3 dado que s = 54 quando + = 0, [1 Suponha que a posição s de um corpo que se desloca ao longo de um eixo cartesiano seja uma função diferen- ciável do tempo t. Seria mesmo verdade que se você conhecer uma primitiva da função velocidade ds/dt você pode determinar o deslocamento de 1 = a a ( = b ainda que não saiba a posição exata do corpo em nenhum desses tempos? Justifique sua resposta. 66. Singuloridade de soluções Se ambas as funções diferenciáveis y = F(x) ey = G(x) resolvem o problema do valor inicial dy a TO em um intervalo Z, deveria ser F(x) = G(x) para cada x em 1? Justifigue sua resposta. 90%) = o O ie USANDO O COMPUTADOR Use um SAC para resolver os problemas de valor inicial nos exer- cícios 67-72. Faça um gráfico das curvas integrais. 67. y=cotx+senx, ÁMD=I 68.3/=2€, yn9=0 69. y=Inx, XD=2 1 7. y X0) =2 4 ny=32+x, XO=-1, y(0=4 Ty =2+Vã XD=0, y()=0 Propriedades da Integral: Integração por Substituição Propriedades das Primitivas * Regra da Potência na Forma Integral * da Cadeia Inversamente + xe de cotg x As Integrais de sen? xe de cos? x + A Substituição: Usando a Regra A Integral f (1/u) du + As Integrais de tg Assim como os limites e derivadas, as primitivas e integrais indefinidas também obedecem a regras algébricas. Nesta seção, apresentamos e aplicamos essas re- gras para determinar primitivas de várias funções. Companion j Website Biografia Histórica Jakob Bemoulli (1654 — 1705) 42 Propriedades da Integral: Integração por Substituição 327 Propriedades das Primitivas De nosso estudo anterior sobre primitivas sabemos o seguinte: 1. Uma fimção é uma primitiva de um múltiplo constante kf de uma função f se e somente se ela for k vezes uma primitiva de f. 2. Em particular, uma função é uma primitiva de —f se e somente se ela for o oposto de uma primitiva de f. 3. Uma função é uma primitiva de uma soma ou de uma diferença f + g se e somente se ela for a soma ou a diferença de uma primitiva de f e de uma primitiva de g. Quando expressamos essas observações na notação integral, temos as pro- priedades da aritmética para a integração indefinida (Tabela 4.2). Multiplicação por Constante: f kfQ) dx = k Í O) dx (Não funciona sc X variar com x.) Integral da Função Oposta: f =f(o) dx = — f fo) dx (Regra | comk = —1) Soma e Diferença. f Loo) + goldr= fa (9) dx + I gt) dx Exemplo 1 Reescrevendo a Constante de Integração f Ssecx tgxdx= sf secx tgydx Tabela4.2, Regra l 5(sec x + €) Tabela 4.1, Fórmula 6 5 secx + 5C Primeira torma =5 secx+c' Forma menor, onde €' €5€ =5 secx+€ Forma usual. Uma vez que 5 vezes uma constante arbitrária é uma constante arbitrária, renomeamos c E quanto às três formas diferentes no Exemplo 1? Cada uma dá todas as primitivas de f(x) = 5 sec x tg x, portanto cada resposta está correta, mas a. menos complicada das três, e a escolha usual, é a última. [ssesmade=sser+o. A Regra da Soma e da Diferença para integração nos permite integrar ex- pressões termo a termo. Quando fazemos isso, combinamos as constantes indi- viduais de integração em uma única constante arbitrária no final. Exemplo 2 | Integração Termo a Termo Calcule f (2 — 2x + 5) dx. Solução Se reconhecermos que (x*/3) — x? + Sx é uma primitiva de x? — 2x + 5, podemos calcular a integral como 42 Propriedades da Integral: Integração por Substituição 329 Essa mesma equação, de outro ponto de vista, diz que u""!/(n + 1) é uma das primitivas da função 1º (du/ dx). Portanto, ade ur! le dejas PES A integral no lado esquerdo dessa equação geralmente é escrita na forma “diferencial” mais simples, f m'du, obtida tratando-se os dx como diferenciais que se cancelam. Temos então a seguinte regra: A equação (1) na verdade serve para qualquer expoente realn * —1, como veremos no Capítulo 6. Se u é uma função diferenciável qualquer, então at f wdu= a 1tC 1, nacional) ) Derivando a equação (1), admitimos que u é uma função diferenciável da variável x, mas o nome da variável não importa e portanto não aparece na fór- mula final. Poderíamos ter representado a variável com 8, £, y ou qualquer outra letra. A equação (1) diz que se pudermos calcular uma integral na forma furn (4-1), sendo 4 uma função diferenciável e du sua diferencial, poderemos calcular a in- tegral como [w*!/(n + DJ] +C. Exemplo 4 Usando a Regra da Potência 2, - 12 Façau= 1 +32, [vm dy fu du ar ar Integre, usando à u =0=511€ eg (coma = 1/2, = E WB+ E Forma simplificada = +yyr+C Troque u por 1 + 32. Exemplo 5 Ajustando o Integrando com uma Constante EVA = [12.1 Façau= 4 — | du=4dr, f do ldi= f uirgdu (1/4) dy = dt, Com o 1/4 à frente, a integral está agora na forma-padrão. Integre, usando a eq. (1) coma = 1/2. Forma simplificada =p(4r— D2+c Troque u por & — 1. 330 Capítulo 4: Integração O Método da Substituição para a Integração Siga os passos a seguir para calcu- lar a integral f Fes Go) dx quando f e g” são funções con- tínuas: Passo 1, Substitua u = g(x) e du = g'(x) dx para obter a integral f Fui) du, Passo 2. Integre em relação a 4. Passo 3. Substitua 4 por g(x) no resultado, Substituição: Usando a Regra da Cadeia Inversamente As substituições nos exemplos 4 e 5 são casos particulares da regra geral a seguir. f Fe0)) + g'(9) dx = f Fw) du 1. Substituir u = g(0), du = g'() dx. =Fu+e 2. Calenlar achando uma primitiva Fr) de f(u). (Qualquer uma servirá.) =F(g(6) + C 3 Trogueu por g6o. Esses três passos são os do método da substituição para a integração. O método funciona porque F(g(x)) será primitiva de f(g(x)) : g'(x) sempre que F for primi- tivade f: £ FCg()) = F'(g09) e!) Regra da Cadeia =fg0)) + 86). Porque FP =7 Exemplo 6 Usando a Substituição Façau =76+5, du = 7 dê, | coscro + sydo = [ cosu-l du a = [ cosuau senu + € (1/7) da = df, Com o 1/7 à frente a integral está agora na forma-padrão. Integrar em relação a “ 1 7 7 sen(10 ++ Troque por 78 + 5 Façau = x, du = Jada, (1/3) du = x dx. Integre em relação a «. Substitua x por o. Exemplo 7 Usando a Substituição [esencar= [ seno dx 2 = I senu 3 du = 1 senu du =i(-cosu) + € =. 3 =—3 eos G)+e Exemplo 8 Usando Identidades e Substituição Calcule f eide cos? (e! — 2) Solução f edit - du cos? (e' — 2) cos u f sec? u di tgu+C tg(! D+ Ltgu = seca au 332 Capítulo 4: Integração quando « é uma função diferenciável positiva, mas o que ocorre se u for nega- tiva? Se u for negativa, então -- u será positiva, portanto fin = f Cada =In(=0) +C. Eq()comutrocadopor-u (3) Podemos combinar as equações (2) e (3) em uma única fórmula observando que em cada caso a expressão à direita é In [4 | + C. Na equação (2), In u = In [u| porque u > 0; na equação (3), In (—u) = In || pois u < O. Sempre que u for positiva ou negativa, a integral de (1/u) du In lu | + €, [lau=miu+e. (4) Admite-se que fórmulas como as da equação (4), com uma única constante de integração simples, são verdadeiras somente nos domínios que são intervalos. Exemplo 10 Usando a Equação 4 [ça [de u=x"—5,du=2xdx =nlu[+C Eq. (4) =InjW-5|[+C u=m-s As Integrais de tg x e de cotg x A equação (4) nos diz por fim como integrar as funções tangente e cotangente. Para a tangente, sen x — du u=cosx. esa [8a | u du = —sensdx de mjul+C Eq. (4) C Regrada =-Injcosx|+C=In— + Icosx| Reciprocidade ; =In|secx|+C. Para a cotangente, cosx dx du “o sen, [ corgx ár= | cosads SEN x -[ du = cosa dx =Injul+C=In|senx|+C=-In|cosecx|+C. f tgudu=-In|cosu|+C=In|secu|+C Í ectgu = Im |sen al +C=-Inlcosecx|+€ 42. Propriedades da Integral: Integração por Substituição 333 EXERCÍCIOS 4.2 Calculando Integrais Calcule as integrais indefinidas nos exercícios 1-10 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão. 1 [sem Crydx, u=2 2 £ t 2 Ho — cos 3 sen 5% “ 3 J 28(1x — 2Jºdx, u=7 1-2 4 eo! —1Pdx, u=s!-1 Pri dr 3 s. [| SEde u=1-r VI — 7? 6 Í LO HP IDAP ADA, u=+rap+t 7 | vasetçoo - nas, u=x2-1 1 1 = a [tea amo 9, f cosec? 26 cotg 28 dê (a) Usando à = cotg 28 (b) Usando « = cosec 20 0 lg (a) Usando u = 5x + 8 (b) Usandou = 45x + 8 Calcule as integrais nos exercícios 11-40. 1. I V3— 2sds 1 3 dx — ds 13. V5s+d 2-? 14. Joy 19? de 5. Í VT —-3Iyay 1 16. [> a [aro * 18. f cos Ge + ade 19; I sec?(3x + 2) dx 20. Í sen 5 cos 5 dx afro a f(x 1) dr as [um da [ue (02) (0-2) sen (x*2 + 1) dx 26. 6 cost (2+ send? 1 1 28. fá cos (- Ja 5 f sen Qr+D cos? (21 + 1) 7. f Vcotg y cosec? y dy dx Í xdx 2». [E a | sen + 1 3 [Ea 2 [as q dx dx 3 [E af vI— 4? 9+%* 35 [-ste= 36. | — dr xV25% — 2 1a Ip vdy 3. Í 38. Í 1+ (+17 vi “dx 4dt 39, [ex 40. / 1+e* “1 + Inês Simplificando Integrais Gradativamente Se você não souber qual substituição deve fazer, tente reduzir a in- tegral passo a passo, usando uma primeira substituição para simpli- ficar um ponco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais, Você verá o que queremos dizer experimentando as segiiên- cias de substituições nos exercícios 41 e 42. 18 tg?x sec? x C+ ta? (Mu= (b) «= tg?x, seguida porp = 2 + u (Ou=2+tg'x 2. [vi seg sent — Dos (x — Ddr (a) u= (b) u= sen(+— 1), seguida porv= 1 +14 (Qu=1+senl—1) ai, tg x, seguida por v = 1 e depois porw = 2 +U x 1, seguida por v = sen ie depois porw = 1 + 02 Calcule as integrais nos exercícios 43 e 44. = =12+ as. f Croticos V3gr o 1 +6 2-1) +6 da [que V8 cos! Problemas de Valor Inicial Resolva os problemas de valor inicial nos exercícios 45-58. Espa 2-1 = 48. GS INGÊ IP MD)=3 á 46 = ae teto, y(g)= Concentração Segundos de corante apósa (ajustada para injeção a recirculação) t c 5 o 7 38 9 80 un 6,1 13 3,6 15 23 17 1,45 19 0,91 21 0,57 23 0,36 25 0,23 27 0,14 29 0,09 31 (o) Ê o £ 86. Efe í 54 É bi ê 2 EN 5791 15 19 23 27 31 Tempo (s) Figura 4,3 A região sob a curva de concentração da Figura 4.2 é obtida por aproximação usando-se retângulos. Ignoramos a porção de £ = 29 até: = 31, pois sua contribuição é desprezível. 43. Estimando com Somas Finitas 335 chegar a 30 1 por minuto. Ela também pode ser significativamente alterada por uma doença. Como um médico pode medir o débito cardíaco de um paciente sem interromper a corrente sanguínea? Uma técnica é injetar um corante no interior de uma veia importante perto do coração. O corante é levado para o lado direito do coração, bombeado através dos pulmões e, depois que retorna ao lado esquerdo do coração, nova- mente bombeado, agora para dentro da aorta, onde a concentração pode ser me- dida a intervalos regulares na corrente sanguínea. Os dados da Tabela 4,3 e o gráfico da Figura 4.2 (obtido a partir dos dados) mostram o comportamento de um paciente saudável, em repouso, em resposta a uma injeção de 5,6 mg de corante, e Figura 4.2 As concentrações de corante apresentadas na Tabela 4.3 foram colocadas no gráfico e depois uma curva lisa foi ajustada aos pontos. O tempo foi medido considerando-se o momento da injeção como + = 0, No começo a concentração é nula, enquanto o corante atravessa os pulmões. Depois ela sobe e atinge o máximo em aproximadamente 1 = 9 segundos, caindo então a zero em t = 31 segundos, Concentração de corante (mg) a o[5791 15 19 23 27 3 Tempo (5) O gráfico mostra a concentração de corante (medida em miligramas de corante por litro de sangue) em função do tempo (em segundos). Como podemos usar esse gráfico para obter o débito cardíaco (medido em litros de sangue por segundo)? O truque é dividir o número de miligramas de corante pela área sob a curva da concentração de corante, Você verá por que isso fun- ciona se considerar o que acontece com as unidades: mg de corante “ mg de corante unidades de área dentro da curva mg de corante 1 de sangue * segundos — mgdecorante | de sangue —— segundos ' mg de corante — lde sangue — “segundos * Portanto agora você está pronto para calcular como um cardiologista. Exemplo 1 Calculando o Débito Cardíaco a partir da Concentração de Corante Estime o débito cardíaco de um paciente cujos dados aparecem na Tabela 4.3€ na Figura 4,2, Dê a estimativa em litros por minuto. Solução Vimos que é possível obter o débito cardíaco dividindo-se a quantidade de corante (5,6 mg para nosso paciente) pela área sob a curva da Figura 4.2. Agora precisamos determinar a área. Nenhuma das fórmulas co- nhecidas para cálculo de área pode ser aplicada a essa região de perfil irregu- lar, mas podemos ter uma boa estimativa dessa área fazendo uma aproxi- mação por retângulos para a região entre a curva e o eixo £ e depois somando as áreas dos retângulos (Figura 4.3). Cada retângulo perde um pouco da área 336 Capltulo 4: Integração TECNOLOGIA sob a curva mas isso é compensado pela área externa à curva que ganha. Na Figura 4.3, cada retângulo tem uma base de 2 unidades de comprimento e uma altura que é igual à altura da curva que está acima do ponto médio da + base. A altura do retângulo atua como uma espécie de valor médio da função no intervalo de tempo em que o retângulo está. Depois de ler a altura dos retângulos na curva, multiplicamos cada altura e base do retângulo para en- contrar sua área e então obtemos a seguinte estimativa: Área sob a curva = soma das áreas dos retângulos =H6) 2 HAB) 2+FAO)-2+-- + A28):2 =2-(14+63+75+48+428+19+11 +0,7+0,5+0,3+0,2+0,) =2 (27,6) = 55,2 (mg/D + s. Dividindo 5,6 mg por esse valor obtemos uma estimativa do débito cardíaco em litros por segundo. A multiplicação por 60 transforma a estimativa em litros por minuto: 5,6 mg Os . 352mg: s/l Tmin 609 min. USANDO A Usando um Registrador de Gráficos para Calcular Somas Finitas Se a sua ferramenta gráfica tem um método para calcular somas, talvez você queira usá-lo nesta seção. Será útil para fazer aproximações de integrais 'definidas” mais adiante neste capítulo. E haverá ainda outros usos adiante no estudo de cálculo. Distância Percorrida Suponha que conhecemos a função velocidade v = ds/dt = f(1) m/s de um carro que percorre uma rodovia e queremos saber que distância o carro vai per- correr no intervalo de tempo a 5 £ = b, Se conhecemos uma primitiva F de f. podemos determinar a função posição do carro s = F(t) + € e calcular a dis- tância percorrida como a diferença entre a posição do carro no tempo ! = a e £ = b (como na Seção 4.1, Exercício 65). Se não conhecemos uma primitiva de v = f(t), podemos fazer uma aproxi- mação da resposta com uma soma da seguinte maneira. Dividimos [a, b] em Pequenos intervalos de tempo, em cada um dos quais v é razoavelmente cons- tânte. Como a velocidade é a taxa com que o carro viaja, fazemos uma aproxi- “ mação para a distância percorrida em cada intervalo de tempo com a fórmula Distância = taxa X tempo = f() - Ar e somamos os resultados ao longo-de [a, b]. Especificamente, suponha que o in- tervalo dividido seja: Ko Ap=|o Atopo Aro dels Lo 4losísegundos) atos EA » 7! (segundos) sendo todos os subintervalos de comprimento Ar. Seja 4, um ponto no primeiro subintervalo. Se o intervalo é pequeno o bastante para que a taxa seja quase constante, o carro se deslocará em torno de f(t)) At m durante aquele intervalo. Se t, for um pento do segundo intervalo, o carro se deslocará mais f(4,) At m 
