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Aplicações. das Derivadas RESUMO Neste capítulo, veremos como usar as derivadas para determinar os valores máximo e mínimo de uma função, para prever e analisar a forma de um gráfico e também para tirar conclusões sobre o comportamento das funções usa- das na resolução: das equações diferenciais. Além disso, veremos como uma reta tangente capta a forma de uma curva próximo ao ponto de tangência e como isso pode ser usado para se determinar numericamente as raízes das funções. A chave para muitos desses procedimentos é o Teorema do Valor Médio, cujos corolários fornecem o caminho para o cálculo integral, que será visto no Capítulo 4, Extremos de Funções O Problema da Perfuração de um Poço de Petróleo + Extremos Absolutos (Globais) * Extremos Locais * Determinando Extremos Uma das coisas mais úteis para se aprender por meio da derivada de uma função é se a função assume algum valor máximo ou mínimo em um dado in- tervalo e, se houver, onde esse valor se encontra. Se soubermos como fazer isso, poderemos resolver problemas como o da perfuração. O Problema da Perfuração de um Poço de Petróleo Exemplo 1 | Bombeando Petróleo de uma Perfuração para uma Refinaria “Uma perfuração a 12 mi da costa será conectada a uma refinaria costeira, 20 mi abaixo da linha da perfuração. Os dutos subaquáticos custam 850.000 por milha e os terrestres, $30.000 por milha. Qual é a combinação dos dois tipos de dutos que vai foecer a conexão menos dispendiosa? Análise preliminar: Tentaremos algumas possibilidades para sentir o problema. (a) A menor quantidade de dutos subaquáticos Perfuração 2 Refinaria 229 230 Capitulo 3: Aplicações das Derivadas É Os dutos subaquáticos são mais dispendiosos, portanto devem ser usa- dos o mínimo possível. Podemos estender a tubulação rumo à costa (12 mi) e : usar dutos terrestres para as 20 mi até a refinaria. Custo em dólares = 12 (50.000) + 20 (30.000) = 1.200.000. (b) Apenas dutos subaquáticos (caminho mais curto) Perfuração Utilizando apenas dutos subaquáticos para ligar a perfuração à refinaria. Custo em dólares = 4544 (50.000) =1.166.190 Essa operação é menos dispendiosa que a operação (a). (c) Algum intermediário Refinaria add Estendemos o tubo até a metade da distância de 10 mi que separa a per- furação da costa e a partir daí prosseguimos por terra. ; Custo em dólares = V244(50.000) + 10(30.000) = 1,081 Nenhum dos extremos (a menor quantidade de dutos subaquáticos ou apenas dutos subaquáticos) mostrou-se a melhor solução. O melhor é algo intermediário, A distância de 10 mi foi uma escolha arbitrária. Outra escolha teria sido melhor? Em caso afirmativo, como podemos determiná-la? O que seria me- lhor fazer? Descobriremos isso usando a matemática que estamos prestes a desenvolver e retomaremos este problema no final desta seção para resolvê- lo definitivamente. Extremos Absolutos (Globais) Os maiores e menores valores que uma função assume, tanto local quanto glo- balmente (ver Figura 3.1), sempre interessam muito. 232 Capítulo 3: Aplicações das Derivadas Exemplo 3 Encontrando Extremos Absolutos Os extremos absolutos das funções a seguir podem ser vistos na Figura 3.3. Função DomínioD Extremos absolutos em D Companton (a) (-0,00) Ausência de máximo absoluto. f ebsite Mínimo absoluto O quando x = 0. Biografia Histórica +) [0, 2] Máximo absoluto 4 quando x = 2. Daniel Bernoulli a - WE Mínimo absoluto O quando x = 0. (9) (0,2) Máximo absoluto 4 quando x = 2. Ausência de mínimo absoluto. FC (0,2) Ausência de extremos absolutos. y -) , I Lo Los os (a) Apenas mínimo absoluto (b) Mínimo e máximo absolutos a y x A f 1 A V 1 vos Voy=a N D=(0,2] N D=(0,2) N N e or ss (0) Apenas máximo absoluto (d) Ausência de máximo ou mínimo absoluto Ficura 3.3 Os gráficos do Exemplo 3. O Exemplo 3 mostra que uma função pode não possuir valor máximo ou mínimo. Contudo, isso pode não acontecer com uma função contínua em um in- tervalo finito fechado. Ausência de maior valor = Menor valor FIGURA 3.5 Até mesmo um único ponto de descontinuidade pode impedir que uma função tenha um valor máximo ou mínimo em um dado intervalo. A função =-]x 0=a<1 *º lo, «=1 é contínua em todo ponto do intervalo [0, 1], exceto em x = 1, e seu gráfico no intervalo fechado f0, 1] não tem um ponto mais alto, 3,1 Extremos de Funções 233 HiLoi poiitos do inter átinho.M como. um valo; is que fr) = rir yr de x em 1 (Figura 3/4) >= fo) t ' ] ] ] ' 1 a b Pontos de máximo e mínimo nas extremidades Gp) Pontos de máximo e mínimo interiores Ponto de máximo interior e ponto de mínimo em uma extremidade Ponto de máximo em uma extremidade e ponto de mínimo interior Figura 3.4 Algumas possibilidades para pontos de máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo fechado Ja, b]. A prova do Teorema 1 exige um conhecimento profundo do sistema de números Teais, portanto não será apresentada aqui. Exemplo 4 Extremos Dependendo de Continuidade Como a Figura 3.5 mostra, os requisitos do Teorema 1, de que o intervalo seja fechado e a função seja contínua, são componentes básicos. Sem eles as conclusões do teorema não são válidas. Extremos Locais A Figura 3.1 mostra um gráfico com cinco pontos nos quais a função tem valo- res extremos em seu domínio [a, b]. O mínimo absoluto da função ocorre em a, embora em e o valor da função seja o menor que em qualquer ponto próximo. A curva sobe para a esquerda e desce para a direita próxima de c, tornando f(c) um máximo localmente. A função atinge seu máximo absoluto em d. Como Determinar os Extremos Absolutos de uma Função Continua f em um Intervalo Fechado Passo 1, Calcule fem todos os pontos críticos e extremidades. Passo 2. Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos. 3.1 Extremos de Funções 235 Assim, em resumo podemos dizer que valores extremos ocorrem só nos pontos críticos e nas extremidades de um intervalo fechado. Exemplo 5 Encontrando os Extremos Absolutos em um Intervalo Fechado Determine os valores máximo e mínimo absolutos de (x) = 10x(2 — In x) no intervalo [1, &]. Solução A Figura 3.6 sugere que f tem seu valor máximo absoluto próxi- mo de x = 3 e que, quando x = e, seu valor mínimo absoluto é 0. »=10x(2 — nx) Figura 3.6 Os valores extremos de f(x) = 10x (2 — In x) ocorrem quando : CO y=eex=e (Exemplo 5). x 678 5 Calculamos a função nos pontos críticos e nas extremidades e, dentre os valores obtidos, tomamos o maior e o menor. A primeira derivada é f'G) = 1002 — In2) — 10x (3) = 101 — In). O único ponto crítico no domínio [1, €?] é o ponto x = e, onde In x = 1. Os valores de f nesse único ponto crítico e nas extremidades são Valor no ponto crítido:. Fe) = 10e Valores nas extremidades: JC) = 102 — In 1) = 20 HE) = 102 —-2me)=0. A partir dessa lista podemos ver que o máximo absoluto dessa função é 10e = 2,72, que ocorre no ponto crítico interior x = e. O mínimo absoluto é 0e ocorre na extremidade direita, quando x = e. ' Prova do Teorema 2 Para demonstrar que f'(c) é zero em um extremo local interior, primeiro temos que provar que f'(c) não pode ser positivo e depois que $'(c) não pode ser negativo. O único número que não é nem positivo nem nega- tivo é zero, que então é o valor que f'(c) deve apresentar. Para começar, suponha que f tenha um valor máximo local quando x = c (Figura 3.7), de modo que f(x) — (e) = 0, para qualquer x próximo de c. Como c é um ponto interior do domínio de f, f*(c) é definido pelo limite bilateral feoy-Ho lim E se Assim, ambos os limites, à direita e à esquerda, existirão quando x = c e serão iguais a f'(c). Quando examinamos esses limites separadamente, temos que Pois (x— 9>0 (9) — ftc) fre) = lim “go. SO. 236 Capitulo 3: Apficações das Derivadas Valor máximo local Coeficientes angulares das secantos < O (mana positivos) das secantes > O i ) i i 1 ) 1 1 i 1 ! Coeficientes angutares 1 1 (nunca negativos) É i ) i ) I c E a » FIGURA 3.7 Uma curva com um máximo local. O coeficiente angular em c é simultaneamente o limite de números não positivos e não negativos e, portanto, é zero. De maneira semelhante, Poistx- c)<0 fofo e =0 ef) =Ão. (2) fio) = lim a5c Juntas, 1 e 2 implicam que f'(c) = Isso prova o teorema para valores máximos locais. Para prová-lo para va- lores mínimos locais, usamos apenas f(x) = f(c), o que inverte as desigualdades em (1) e (2). No Exemplo 6, estudaremos a função cujo gráfico foi traçado no Exemplo 3 da Seção 2 do Capítulo “Preliminares”. Exemplo 6 Determinando Extremos Determine os valores extremos de fo) = Ai Solução A Figura 3.8 sugere que f possui um mínimo absoluto de aproxi- madamente 0,5 quando x = 0, Também parece haver dois máximos locais quando x = —-2 ex = 2. No entanto, nesses pontos a função não está definida e não parece haver nenhum outro valor máximo. Figura 3,8 O gráfico de Do: aê (Exemplo 6). [-4, 4) por f—2, 4] Vamos confirmar essas observações gráficas. A função f está definida apenas para 4 - x? > 0, portanto seu domínio é o intervalo aberto (-2, 2). O “ domínio não tem extremidades, logo todos os extremos da função devem ocorrer em pontos críticos. Reescrevemos a fórmula de f para determinar f”: 1 fe) = =(4 =, Ássim, fa = fa) = (4— po O único ponto crítico no domínio (-2, 2) é x = O. Portanto, o valor » 1 == = Oq [A é a única possibilidade de valor extremo. 238 Capitulo 3: Aplicações das Derivadas Para expressarmos c em função de uma única variável, podemos substituir x usando a equação (3): c = 50.000 V144 + (20 — y)? + 30.000y, Nosso objetivo agora é determinar o valor mínimo de c(y) no intervalo 0 0, com s em metros e t em segundos. Determine a altura máxima do corpo. 56. Corrente alternada de pico Suponha que em um dado instante £ (em segundos) a corrente í (em ampêres) de um circuito seja í = 2 cos! + 2 sen t. Qual é o valor da corrente de pico para esse circuito (a maior amplitude)? Teoria e Exemplos 57. Um mínimo sem derivados A função f(x) = |x| tem valor míni- mo absoluto quando x — O, mesmo que f não seja derivável em x = 0. Isso é consistente com o Teorema 2? Justifique sua res- posta 58. Funções pares Se uma função par f(x) possui um valor máximo local em x = c, pode-se dizer algo quando x = —c” Justifique sua resposta. 59. Funções impores Se uma função ímpar. f() possui um valor máximo local quando x = c, o quê se pode dizer quando *= —e? Justifique sua resposta. 60. Escrevendo pora aprender Sabemos como determinar os valores máximos de uma função contínua f por meio do estudo de seus valores em pontos críticos e nas extremidades. Mas e se não houver pontos críticos nem extremidades? O que acon- tece nesse caso? Uma função desse tipo pode existir? Justi- fique sua resposta. 61. Funções cúbicas Considere a seguinte função cúbica fy-ads br +ex+d. 31 241 Extremos de Funções (a) Demonstre que f pode ter 0, 1 ou 2 pontos críticos. Utilize exemplos e gráficos para justificar sua resposta. (b) Quantos valores extremos locais f pode ter? 62. Funções sem valores extremos em extremidades (a) Trace o gráfico de função sen > 2>0 x=0, fl) = 9, Explique por que (0) = O não é um extremo local de j. (b) Construa uma função que não apresente valor extremo em uma extremidade do domínio. Faça o gráfico das funções dos exercícios 63-66. A seguir deter- mine € localize os valores extremos da função no intervalo. 63. fy=|x—-2]+|x+3], —5=r=5 64. gw=|x-1]-|x—5|, —254=7 65. y=|x+2]-|r-3, -e obter uma solução aproximada.) Experimente traçar f' também. (e) Determine os pontos interiores onde f' não existe. (d) Calcule a função em todos os pontos encontrados nos itens (b) e (c) e também nas extremidades do intervalo. (e) Determine e localize os extremos absolutos das funções no intervalo especificado. G.fg=*-8+4x+2, [-20/25, 64/25] 68. f)= "+40 -4x+1, [-3/4,3] 69. f)=7"3-0, [-2,2] 70. f)=2+2x- 32, [-1,10/3] TL. f)=Vr+cosx, [0,27] 7 fo) =" — senx + + 10,27] 73. ft) = mie “2, [0,5] 74. f0) = In(2x + x sen), (1, 15] 242, Capitulo 3: Aplicações das Derivadas Teorema do Valor Médio e Equações Diferenciais Companion é' Website Biografia Histórica Michel Rolle (1652 — 1719) Fep=o Fep=0 | h Figura 3.11 O Teorema de Rolle diz que uma curva derivável tem ao menos uma tangente horizontal entre dois pontos quaisquer onde a curva cruza o eixo x. Esssa curva tem três. Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio * Uma Interpretação Física s Consegiiências Matemáticas * Determinando a Velocidade e a Posição a partir da Aceleração * Equações Diferenciais e a Altura de um Projétil Vimos como determinar a posição de um corpo em queda livre a partir do re- pouso em função do tempo e depois como derivar as funções velocidade e aceleração. Entrentanto, suponha que tivéssemos começado conhecendo apenas a aceleração do corpo, ou seja, o efeito da gravidade sobre o corpo e nada mais. Poderíamos trabalhar no sentido inverso e determinar as funções velocidade e posição.do corpo? A questão matemática subjacente aqui é: que funções podem ter outra função como derivada? Que funções velocidade podem ter uma dada função aceleração? Que funções posição podem ter uma determinada função veloci- dade? Os corolários do Teorema do Valor Médio nos dão essas respostas. O Teorema do Valor Médio liga a taxa média de variação de uma função ao longo de um intervalo à taxa instantânea de variação de uma função em um ponto do intervalo. Teorema de Rolle Há fortes evidências geométricas de que entre dois pontos quaisquer onde uma curva derivável cruza o eixo x há um ponto na curva onde a tangente é horizon- tal. O Teorema de Michel Rolle, enunciado há 300 anos, nos garante que isso é sempre verdadeiro. Teorema 3 -- O Teorema: de Rolle Suponha que y = ft: seja coltinua ent todos ós bontoé dota; b] é derivável em todos às pontos de (a/b). Se , la) = Ab) = a “ênitão há pelo menos uín número € ei (a; 1) onide f'tc) ="0 gua E “Prova Sendo contínua, f tem máximos e mínimos absolutos em fa, b]. Isso pode ocorrer apenas 1. em pontos interiores onde f' é zero 2. em pontos interiores onde f” não existe 3. nas extremidades do domínio da função, nesse caso a e b. Com base em hipóteses, f tem derivada em cada ponto interior de [a, b). Isso exclui a opção 2 e nos deixa com os pontos interiores onde ” = 0), além das duas extremidades a e b. Se o máximo ou o mínimo ocorrem no ponto c, dentro do intervalo, então, de acordo com o Teorema 2 (Seção 3.1), f'(c) = O. Desse modo, encontramos um ponto para o Teorema de Rolle. Se tanto o máximo como o mínimo estão em a ou b, então os valores de máximo e mínimo de f são ambos iguais a O. Assim, f tem o valor constante O, 244 Capítulo 3: Aplicações das Derivadas p= 1-2, 122=1 x -1 o 1 Figura 3.15 A função f(x) = VI — x satisfaz a hipótese (e a conclusão) do Teorema do Valor Médio em [-1, 1], embora / não seja derivável em 1 e 1. A Figura 3.14 apresenta simultaneamente os gráficos de f, g e A. Ficura 3,14 A corda AB é o gráfico da função g(x). A função A(x) = fO) hi) =f0) — 86) — g(x) fornece a distância na vertical Lg entre os gráficos de fe g em x. x A função A satisfaz a hipótese do Teorema de Rolle em fa, b]. Ela é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), pois fe g o são. Além disso, (a) = A(b) = 0, pois os gráficos de fe g passam por 4 e B. Portanto, h' = O em algum ponto c em (a, b). Esse é o ponto que desejamos para a equação 1. Para verificar a equação (1), derivamos os dois lados da equação (3) em re- tação a x e estabelecemos que x = c: h'Q)=f'0) — forro mia Derivada da eg. (3)... b WO = fe) - fo fo ho «coma = e 0=fe) fio H9=0 pra LOIRO, remo -a que é o que queríamos provar. A hipótese do Teorema do Valor Médio não exige que f seja derivável em ag ou, A continuidade em a e b é suficiente (Figura 3.15). Geralmente não sabemos sobre c nada além daquilo que o teorema diz, ou - Seja, que c existe. Em alguns casos, podemos satisfazer nossa curiosidade sobre a identidade de c, como no próximo exemplo. Entretanto, nossa habilidade para identificar c é a exceção, não a regra, e a importância do teorema não está aí. Exemplo 1 Explorando o Teorema do Valor Médio A função f(x) = x? (Figura 3.16) é contínua para O = x < 2 e derivável para 0 by=2w-1 y=* Oy=ê+m-1 soh sa um ua = Lv s=|-À (= A Dr=1-5 Cb) y' VA O r=5+5 (y=u- Nos exercícios 13-16, determine as funções para as derivadas indi- cadas, cujos gráficos passam pelo ponto P. 13 f()=2—1, P(,0) 1 Et PI) 14. go 15. fo) =, (0.3) 
