11 - programação - dinamica, Notas de estudo de Engenharia Telemática

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Análise e Técnicas de Algoritmos

Tiago Massoni Jorge Figueiredo

Projeto de Algoritmos

Programação Dinâmica

Programação dinâmica

• Quando “programação” significava

método tabular

– também chamado planejamento dinâmico

• não é programação de computadores

• usado em problemas de otimização

– Achar solução com valor ótimo

– Minimização ou maximização

Sobre a Solução Apresentada

• Análise através da resolução de uma

relação de recorrência

– T(n) = T(n – 1) + T(n – 2) + c

– O(

n

Qual o motivo da ineficiência?

Solução alternativa para

Fibonacci

• Eliminar as chamadas recursivas
  • Utilizar um vetor para armazenar dados calculados
• Estratégia bottom-up
  • Armazena soluções para subproblemas
  • aos poucos, vai definindo o resultado do problema a partir dos resultados dos subproblemas armazenados FibPD(n) f[0] 0 f[1] 1 for i 2 to n do f[i] f[i – 1] + f[i - 2] return f[n] Exemplo: n=

Análise

• É fácil identificar que FibPD é O(n)

• Abordagem utilizada

– Encontrar função recursiva apropriada

– memorização para armazenar resultados de

subproblemas

– Determinar uma versão bottom-up, iterativa

FibPD é PROGRAMAÇÃO DINÂMICA!

Programação Dinâmica

• Aplicado quando recursão produz

repetição dos mesmos subproblemas

• Proposta: reusar computação

• PD = D-C + tabela

• usar quando ocorre a resolução de um

mesmo subproblema (cálculo) muitas

vezes

– Então, melhor armazenar as soluções

Exercício PD

Número de Combinações (coeficiente binomial) Entrada: Dois números inteiros n e k, em que n indica o número de elementos dos quais tenho que escolher k. Saída: O número possível de combinações de k itens.

• Para escolher k itens de n, podemos

proceder de duas formas:

• Escolher o primeiro item. Depois escolher k-1 itens dos n-1 itens restantes
• Não escolher o primeiro item. Escolher, então, k itens dos n-1 itens restantes

Análise do Algoritmo D-C

T(n) = 2.T(n-1) + c T(n) = O( n )

• Cálculos repetidos

• Ex: C(5,3) por C(4,2) e C(4,3), e ambos usam C(3,2)

• Solução: Programação Dinâmica

Exercicio

• fazer o algoritmo PD bottom-up para

calcula C(n,k)

• Dica: tabela é um triângulo de Pascal

n/k 0 1 2 3 … k 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 … n C(n-1,k-1) C(n-1,k)

C(n,k)

PD em otimização

Sobreposição de subproblemas

O problema pode ser quebrado em

subproblemas que são reutilizados várias

vezes

Subestrutura ótima

Uma solução ótima pode ser construída a partir

de soluções ótimas para seus subproblemas

solução com subestrutura ótima

Subconjunto máximo em S a partir de

{1...n}

se X é máximo e contém um elemento n

então X−{n} é um elemento máximo de S/n

troco agora em PD

6c 4c 1c

total: US$ 0,

ótima!

greedy

subestrutura ótima

para um valor N do troco desejado

• se existe um moeda de N cents, então uma moeda é o mínimo
• senão, para um valor x < N e moeda i, considerar dois subproblemas - mínimo número de moedas sem incluir moeda i - mínimo número de moedas incluindo a moeda i
• Escolher o menor resultado!