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Pontif´ıcia Universidade Cat´olica de Minas Gerais
2 a^ Trabalho de Algebra Linear - 1´ o^ Sem/
Engenharia Mecˆanica
Quest˜ao 1. Atribua (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas com a seguinte condi¸c˜ao: cada erro anular´a um acerto. Portanto o aluno poder´a n˜ao opinar caso esteja em d´uvida.
a)( ) O teorema da dimens˜ao garante que um operador linear T : R^4 → R^4 , cuja dim Im(T ) = 3, tem λ = 0 como autovalor.
b)( ) Existe uma transforma¸c˜ao linear T : R^4 → M 2 × 2 (R) que n˜ao ´e simultaneamente sobrejetora e injetora?
c)( ) O operador linear cuja lei de correspondˆencia ´e dada por
T (x, y, z) = (−bx − z, ay, x − bz)
´e um isomorfismo para quaisquer constantes reais n˜ao nulas a e b.
d)( ) A fun¸c˜ao f (x) = e−x^ pertence ao n´ucleo da aplica¸c˜ao linear T (f (x)) = f ′′(x) + f ′(x)
e)( ) Se u = (1, −1) ´e um autovetor de
A =
a 1 − 1 − 3
associado ao autovalor λ = −2, ent˜ao a > 1.
f) ( ) A transforma¸c˜ao linear T : R^3 → R^2 definida por
T (x, y, z) = (x − y, x − y) ´e sobrejetora.
Quest˜ao 2. Atribua (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas.
a)( ) Dada uma transforma¸c˜ao linear T : V → V e um autovetor −→v associado a um autovalor λ, qualquer vetor −→w = α−→v com α 6 = 0, tamb´em ´e autovetor de T associado a λ.
b)( ) Se D : P 3 (R) → P 3 (R) ´e o operador derivada, definido por D(ax^3 + bx^2 + cx + d) = 3 ax^2 + 2bx + c ent˜ao a dim N (D) = 0
c)( ) Existe pelo menos uma transforma¸c˜ao linear T : R^3 → R^2 , com N (T ) = (0, 0 , 0), e portanto injetiva.
d)( ) Seja T : R^3 → R^3 a transforma¸c˜ao linear cuja matriz em rela¸c˜ao a base canˆonica ´e
[T ] =
Ent˜ao T ´e diagonaliz´avel.
e)( ) Se uma matriz A ´e ortogonal ent˜ao A−^1 = AT
f) ( ) Se T : V → V ´e linear e λ = 0 ´e autovalor de T ent˜ao T n˜ao ´e injetora.
Quest˜ao 3.
a) Determine a transforma¸c˜ao linear T : R^2 → R^2 , tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados aos autovetores (3, 1) e (− 2 , 1) respectivamente.
b) Determine o n´ucleo e a imagem de T
c) Prove que T ´e diagonaliz´avel.
d) T ´e um isomorfismo? Justifique sua resposta.
d) Use o m´etodo de ortogonaliza¸c˜ao de Gran-Shimidt para para obter uma base ORTONORMAL a partir da base formada pelos autovetores acima citados.
Quest˜ao 4. Seja T : R^2 → R^2 uma transforma¸c˜ao linear definida por T (x, y) = (5x− 2 y, − 2 x+8).
a) Determine a matriz [T ]
b) Determine o polinˆomio caracter´ıstico de T
c) Calcule os autovalores e autovetores de T
d) Prove que T ´e diagonaliz´avel
e) Utilize os dados dos ´ıtens acima para reduzir e identificar a cˆonica
5 x^2 − 4 xy + 8y^2 +
x −
y + 4 = 0.
Quest˜ao 8. Considere a transforma¸c˜ao linear T : P 2 (R) → P 2 (R) definida por
T (ax^2 + bx + c) = cx^2 + (a − b)x − c.
a) Determine o KerT , sua base e dimens˜ao.
b) Determine o ImT , sua base e dimens˜ao.
c) T ´e um isomorfismo? Justifique sua resposta.
Quest˜ao 9. Sejam {v 1 , v 2 , ..., vn} vetores em um espa¸co vetorial V e seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear.
a) {T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn)} ´e linearmente independente em W , prove que {v 1 , v 2 , ..., vn} ´e linear- mente independente em V
b) Prove que a rec´ıproca do ´ıtem (a) ´e falsa. Isto ´e se {v 1 , v 2 , ..., vn} ´e linearmente independente em V n˜ao necessariamente {T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn)} ´e linearmente independente em W. Ilustre essa afirma¸c˜ao com um exemplo de uma transforma¸c˜ao T : R^2 → R^2.
c) T ´e um isomorfismo? Justifique sua resposta.
Quest˜ao 10. Seja T : V → V um operador linear
a) Mostre que ker T = { 0 }, se, e somente se, T ´e injetora.
b) Se λ = 0 ´e autovalor de T , mostre que T n˜ao ´e injetora
c) O operador deriva¸c˜ao D : P 3 (R) → P 3 (R) ´e injetivo? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.
