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1. Introdução À Geometria Espacial
1.1. Ponto
Eventualmente já trabalhamos com figuras tais como: o círculo, o ponto e o quadrado.
Em figuras como essas, podemos localizar pontos. Por exemplo: os centro do círculo: o ponto O os vértices do triângulo: os pontos A, B, e C os vértices do quadrado: os pontos M, N, P e Q.
1.2. Reta
Com as mesmas figuras acima, podemos identificar e representar retas, por exemplo:
Observemos que:
- Pelo centro do círculo passam tantas retas quantas quisermos e dizemos que por esse ponto passam infinitas retas.
Pelo ponto o passam infinitas retas s, t, u, v, x, ...
- Por dois vértices do triângulo passa uma e uma só reta e dizemos que dois pontos distintos determinam uma única reta.
Os pontos B e C determinam a reta BC. A reta BC não é “limitada”, ela não “pára” em B, nem em C, nem em ponto algum.
O ponto A não está na reta BC, isto é, o ponto A está fora da reta BC, ele não pertence a esta reta.
- O ponto R, centro do quadrado, está na reta MP, ou seja, M, R e P estão numa mesma reta M, R e P estão alinhados, isto é, M, R e P são colineares.
1.3. Semi-reta
Considerando o ponto R da reta MP, ele divide essa reta em duas semi retas: a semi-reta de origem em R e que passa por M e a semi-reta com origem em R e que passa por P. Estas duas semi-retas, RM e RP, são semi retas opostas.
Até agora apresentamos uma série de conceitos tendo como modelos o círculo, o triângulo e o quadrado, que são figuras planas, mas, como vamos estudar a Geometria Espacial, vejamos como exemplo uma figura espacial: o cubo. Temos idéia dele através da experiência, dados, cubos de gelo, caixas, etc.
Notemos que no cubo da figura acima:
- temos pontos: por exemplo, os vértices A, B, C, D, E, F, G, e H.
- podemos idealizar e representar retas: por exemplo, retas que contêm as arestas do cubo, tais como AB, BC, BG, etc.
1.4. Plano
Agora, as faces do cubo como por exemplo o quadrado ABCD, são figuras planas. Observe o plano da face ABCD indicado na figura abaixo. É o plano .
1.6. Semi-espaço
O espaço é o conjunto de todos os pontos. Vamos ver, com o auxílio de um cubo, como o espaço é dividido.
Considerando o cubo ABCDEFGH e sendo o plano da face ABCD, observamos que os pontos E, F, G, H estão de um mesmo “lado” de e que do
outro “lado” de não existe ponto do cubo. Cada um desses “lados” é um semi-espaço.
Assim, o plano divide o espaço em dois semi-espaços: o semi-espaço de origem em que não contém os pontos citados (semi-espaço ’) e o semi espaço de origem em que não contém os pontos citados (semi-espaço ”). Esses semi-espaços são opostos.
2. Noções E Proposições Iniciais
O ponto, a reta e o plano são nossas noções iniciais. Necessitamos formar idéia deles e aprendermos a representá-los.
Precisamos também entender, aceitar e saber representar certas propriedades que o ponto, a reta e o plano possuem. Essas propriedades, que seguem com destaque, são nossas proposições iniciais. Numa reta fora dela existem tantos pontos quantos quisermos. Essa propriedade nos possibilita “pegar” na reta os pontos que precisarmos, o mesmo ocorrendo para pontos fora da reta.
Num plano e fora dele existem tantos pontos quanto quisermos.
Dois pontos distintos determinam uma única reta. Com essa propriedade ficamos sabendo que, dados dois pontos distintos A e B, existe exatamente uma reta que os possui, ou que por eles
Três pontos são colineares determinam um único plano. Isso significa que por três pontos não situados numa mesma reta (ou por três pontos não alinhados) passa só um plano que os possui.
Uma reta que possui dois pontos distintos num plano está nesse plano. Isso quer dizer que se uma reta tem dois pontos distintos num plano, todos os seus pontos pertencem ao plano (ela está contida no plano).
Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada. Com isso, dado um ponto P fora de uma reta r, por P podemos traçar (construir) uma e uma só reta paralela a r. Se o ponto P pertence a r, a paralela é a própria reta r.
Por duas retas paralelas distintas.
Basta notar que duas retas distintas paralelas são coplanares, portanto estão num plano. Para perceber que o plano é único, tomamos dois pontos distintos A e B numa das retas e um ponto C na outra. Assim o plano = (ABC) é o plano determinado por r e s, isto é, = (r, s).
Paralelismo No Espaço
1. Posições relativas de dois planos
1.1. Planos secantes
Dois Planos Distintos Que Se Interceptam (Ou Se Cortam) São Chamados Planos Secantes.
Quando dois planos são secantes a interseção deles é uma reta. A única reta comum aos dois planos é a interseção deles ou o traço de um deles no outro.
1.2. Planos paralelos
Dois planos são paralelos se, e somente se, ou não tem ponto comum ou são coincidentes.
1.3. Posições relativas
Dois planos distintos podem ocupar as seguintes posições relativas: paralelos ou secantes.
1.4. Resumo
e distintos ou coincidentes têm ponto comum e são secantes ou não tem ponto comum e são paralelos e são paralelos.
2. Posições relativas de reta e plano
2.1. Reta e plano paralelos Uma reta e um plano são paralelos se, e somente se, eles não tem ponto comum. a // a =
2.2. Posições relativas
Uma reta (a) e um plano () podem apresentar em comum:
dois pontos distintos; Nesse caso a reta está contida no plano. a ; a = a
Um único ponto; Nesse caso a reta e o plano são concorrentes ou, ainda, a reta e o plano são secantes. O ponto P é o traço de a em . a = {p}
