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- Nenhum ponto; Nesse caso a reta e o plano são paralelos. a =
2.3. Resumo
a e {têm ponto comum {único a e são secantes (concorrentes) mais de um a está contida em não têm ponto comum a e são paralelos.
3. Retas reversas
3.1. Preliminares
Consideremos uma reta r e um plano concorrentes e seja P o ponto comum. No plano , tomemos uma reta s que não passe por P. Notemos que r e s não têm ponto comum e ainda que não existe plano algum contendo r e s simultaneamente.
Consideremos uma reta a paralela a um plano . No plano , tomemos uma reta b que não é paralela à reta a. Notemos que a e b não têm ponto comum e ainda não existe plano algum contendo a e b simultaneamente.
3.2. Definição
Duas retas são chamadas reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha.
Se duas retas são reversas, de todos os planos que passam por uma delas, nenhum contêm a outra.
4. Posições relativas de duas retas
4.1. Critérios
Vamos analisar as posições relativas de duas retas segundo dois critérios.
1º critério: se estão ou não num mesmo plano.
No espaço, duas retas distintas podem ser coplanares ou reversas; são coplanares quando existe plano que as contém e são reversas quando não existe plano que as contém. Sendo coplanares, podem ser concorrentes (quando têm ponto comum) ou paralelas (quando não têm ponto comum). Veja as figuras abaixo.
2º critério: se têm ou não ponto comum.
No espaço, duas retas distintas podem ter ponto comum ou não. Tendo ponto comum, elas são concorrentes; não tendo ponto comum, elas podem ser paralelas (quando estão num mesmo plano) ou reversas (quando não estão num mesmo plano).
4.2. Resumos
r e s{distintas ou coincidentes r e s são paralelas {r e s coplanares ou
A perpendicularidade de duas retas é uma situação particular de retas concorrentes.
2.2. Retas ortogonais
Duas retas são ortogonais se, e somente se, são reversas e formam ângulo reto. Notemos que se a e h são reversas, e uma reta b’ paralela à reta b e concorrente com a é perpendicular à reta a, então as retas a e b são ortogonais.
Nas figuras acima, veja a situação de duas retas ortogonais a e b com o auxílio do cubo.
2.3. Resumo
r e s são concorrentes{ formam ângulo reto r e s são perpendiculares ou não formam ângulo reto r e s são oblíquas r e s são reversas{ formam ângulo reto r e s são ortogonais ou não formam ângulo reto r e s são reversas não ortogonais.
2. 4. Conseqüências
a) Se duas retas formam um ângulo reto, ou elas são perpendiculares (se forem concorrentes), ou elas são ortogonais (se forem reversas). Usaremos o símbolo com o significado que segue: a b a e b formam um ângulo reto a e b são perpendiculares ou a e b são ortogonais a b ou a e b. b) Se duas retas (a e b) formam ângulo reto e uma terceira reta (c) é paralela a uma delas (b), então ela forma ângulo reto com a outra (a). Ou seja: Se a b e c// b, então a c.
Note, na figura, que a reta d é paralela a b e a c e é perpendicular à reta ª (a d, b // d) a b) (a d, c // d) a c
3. Reta e plano perpendiculares
3.1 Definição
Uma reta concorrente com um plano num ponto O é perpendicular ao plano se, somente se, ela é perpendicular a todas as retas do plano que passam por O.
Se a e são concorrentes O e a é perpendicular a qualquer reta x de que passe por O, então a , Se a em O, então a é perpendicular a qualquer reta x de que passa por O. O ponto é dito “pé da perpendicular”.
Se uma reta e um plano são concorrentes e não são perpendiculares, eles são oblíquos. A perpendicularidade de reta e plano é uma situação particular de reta e plano secantes (concorrentes)
3.2. Conseqüência
Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qualquer reta do plano.
De fato, se a é perpendicular a O e x é uma reta qualquer de , temos dois casos a considerar: Se x passa por O, a é perpendicular a x. Se x não passa por O, a é ortogonal a x. Temos, então: (a x a) a x.
Aplicações
1. Projeção ortogonal
1.1. Projeção de um ponto
A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto.
P’ é a projeção ortogonal de P sobre . P’ = projA; B’projB; C’ = projC.
1.2. Projeção de uma figura
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre o plano.
1.3. Projeção de uma reta
Para obtermos a projeção de uma reta r sobre um plano , há dois casos a considerar:
- Se a reta r é perpendicular ao plano , sua projeção ortogonal sobre ele é o traço da reta no plano.
- Se a reta r não é perpendicular ao plano , a sua projeção ortogonal sobre é o traço (interseção) em , do plano perpendicular a , conduzindo por r. O plano é denominado plano projetante de r.
1.4. Projeção de um segmento de reta
Para obtermos a projeção e um segmento de reta AB sobre um plano , também temos dois casos a considerar:
- Se o segmento AB é perpendicular ao plano, a sua projeção ortogonal sobre o plano é um ponto, que é o traço da reta AB em .
- Se o segmento de reta AB não é perpendicular ao plano , basta projetar
suas extremidades sobre para se obter a projeção do segmento.
2. Distâncias
2.1. Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos distintos A e B é o segmento de reta AB ou qualquer segmento congruente a ele. Se A e B coincidem ( A = B), a distância entre eles é nula.
dp, r = distância de P a r = distância de r a P = dp, p’
2.3. Distância entre retas paralelas
A distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto qualquer de uma delas à outra reta. Para se achar a distância entre r e s paralelas, basta tomar um ponto P em r e achar a distância de P a s.
Sendo P r, PP’ perpendicular a s, com P’ s, temos: dr, s = distância de r a s = distância de s a r = dp, s = dp, p’
2.4. Distância de ponto a plano
A distância de um ponto a um plano é a distância do ponto à sua projeção ortogonal no plano. A distância de um ponto a um plano é a menor das distâncias do ponto aos pontos do plano.
