Baixe Classificação e Aplicações de Cônicas no Espaço tridimensional e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
b 2 – z 2 c 2 = 1 Hiperbolóide de duas folhas
- x 2 a 2 + y 2 b 2 – z 2 c 2 = 1 Parabolóide elíptico x 2 a 2 + y 2 b 2 = cz Parabolóide hiperbólico
- x 2 a 2 + y 2 b 2 = cz Cone quadrático x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 Cilindro Se nenhum termo com z aparece na equação da quádrica, temos o cilindro. O cilindro “padrão” é formado por retas ortogonais ao plano z = 0 que passam por uma cônica neste plano. Por exemplo: a) Cilindro elíptico x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 b) Cilindro hiperbólico x 2 a 2 – y 2 b 2 = 1 c) Cilindro parabólico x = ky 2 A equação que define a quádrica pode representar o conjunto vazio (x 2 = – 1) , um ponto (x 2
- y 2 + z 2 = 0), uma reta (x 2 + y 2 = 0), um plano (z 2 = 0), dois planos paralelos (z 2 = 1) ou dois planos que se inteceptam (xy = 0). Estes casos são denominados degenerados. Quando nos é dada uma equação do 2º. Grau em x, y, z, e precisamos saber que figura ela representa em R 3 (classificar a quádrica) procedemos de modo análogo à situação em R 2 , reduzindo a equação e interpretando-a no final. Exemplo:
Para classificar a quádrica
- x 2 + 2yz + z – y = 100 escrevemos a equação acima na forma matricial, obtendo: [x y z] ëêêé ûúúù -1 0 0 0 0 1 0 1 0 ëêêé ûúúù x y z
- [0 – 1 1] ëêêé ûúúù x y z = 100 Calculando os autovalores e os autovetores já normalizados da matriz ëêêé ûúúù -1 0 0 0 0 1 0 1 0 obtemos: para l 1 = – 1; v 1 = (1, 0, 0) e v 2 = èçæ ø÷ö 0 , 1 2 , 1 2 e
para l 2 = 1; v 3 = èçæ ø÷ö 0 , 1 2 , 1 2 Temos ainda ëêêé ûúúù x y z can. = [ I ] autovetores canônica ëêêé ûúúù x 1 y 1 z 1 aut.
y 1 = 100 Faremos agora uma nova mudança de coordenadas para eliminar os termos lineares onde isto é possível. Z 1 2 = x 1 2 – èçæ ø÷ö y 1 + 1 2 2
1 2 – 100 = 0 Seja x 2 = x 1 , y 2 = y 1 + 1 2 e z 2 = z 1 ; assim, temos a seguinte equação:
- x 2 2 èçæ ø÷ö 199 2 2 – y 2 2 èçæ ø÷ö 199 2 2 + z 2 2 èçæ ø÷ö 199 2 2 = 1 que representa a quádrica em relação ao referencial obtido por translação a partir daquele dos autovetores, cuja origem é dada por x 2 = 0, y 2 = 0 e z 2 = 0. Então x 1 = 0, y 1 + 1 2 = 0 e z 1 = 0 Comparando a equação obtida com as equações das quadráticas vemos que esta quádrica é um hiperbolóide de duas folhas. ALGUMAS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia,
na economia, na engenharia e em muitas outras situações, pelo que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo. Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem. Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cónica. Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. Certos candeiros de cabeceira, cujo quebra luz (abat-jour) é aberto segundo uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no tecto uma elipse. Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construirem candeiros, lanternas, etc... O som emitido por uma avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim, dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hiperboles. A audiometria usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som. A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o nível , na horizontal. Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um paraboloide. Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superficie. Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso de equilibrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a
- Matemática temas e metas vol. 5 – Geometria Analítica e Polinômios Antonio dos Santos Machado Atual Editora
- Algebra linear 3ª edição Boldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler Ed. HABRA
- UFMG – Departamento de matemática http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaaltt/sec19.html
- Universidade de Coimbra – Departamento de matemática http://www.mat.uc.pt/~ed9702/conicas/
