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MATEMÁTICA BÁSICA
CONJUNTOS
Conjunto é um grupo de objeto e cada objeto que forma o conjunto é chamado elemento. Ex.: Conjunto de vogais do alfabeto Elementos: a, e, i, o, u Conjunto das cores da bandeira brasileira Elementos: verde, amarelo, azul, branco
Quando precisamos dar nome a um conjunto, empregamos uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, D, X, etc. A = conjunto de vogais do alfabeto A = {a, e, i, o, u} B = conjunto de cores da bandeira brasileira B = {verde, amarelo, azul, ranco}
Existem duas maneiras para descrevermos os elementos de um conjunto :
1. notação entre chaves - os elementos do conjunto são colocados entre chaves e separados por vírgulas: A = conjunto de vogais do alfabeto A = {a, e, i, o, u} B = conjunto de cores da bandeira brasileira B = {verde, amarelo, azul, branco} 2. Diagrama - os elementos do conjunto são colocados dentro de uma linha fechada: A B
Pertinência Observando o conjunto de vogais do alfabeto, podemos dizer que "u" pertence ao conjunto A e que "c" não pertence a A.
Em Matemática escrevemos isso assim: u B
c A
Você viu, então que é colocado entre um elemento e um conjunto
para indicar que o elemento pertence ao conjunto e para indicar que
o elemento não pertence ao conjunto.
Conjunto Unitário É o conjunto que possui um único elemento: Conjunto de letras que recebem cedilha A = {ç}
Conjunto Vazio É o conjunto que não possui nenhum elemento, o que é representado por: { } ou Æ. Conjunto de vogais que recebem cedilha A = { } Veja este exemplo: Conjunto de números de 1 a 7 A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Conjunto de números pares de 1 a 6 B = 2, 4, 6
Observe que todo elemento de B é também elemento de A, isto é, B está contido em A. Podemos então utilizar os símbolos (contém) e (não contém);
(está contido) e representar assim: A B (A contém B)
B A (B está contido em A)
Temos então um subconjunto quando um conjunto está contido no outro. Imagine que Paulo, Pedro, José, Francisco e Mauro são atletas. Paulo e Pedro pertencem ao time de futebol, José e Francisco ao time de vôlei e Mauro pertence aos dois times: A = Paulo, Pedro, Mauro B = José, Francisco, Mauro Podemos representar isso assim:
m i l h ã o centena de milhão
unidade de b i l h ã o dezena de b i l h ã o centena de bilhão
classe dos bilhões
1. Primeira Operação: Adição Vamos reunir dois conjuntos: A B A U B (A união B)
Reunimos um conjunto A de dois elementos com um conjunto B de quatro elementos e formamos o conjunto A U B com seis elementos. Essa operação chama-se adição e é indicada pelo sinal +. Podemos indicar isso de duas maneiras:
ou
ou a + b = c
Propriedades da Adição propriedade comutativa - a ordem das parcelas não altera a soma, isto é, trocando a ordem das parcelas o resultado é o mesmo:
2+4 = 6 e 4+2 = 6 (expressões numéricas) ou a+b = b+a propriedade associativa - na adição de três ou mais números naturais, podemos substituir duas parcelas quaisquer pela sua soma:
20+8+14 = 42 e 28+12 = 14 20+8+14 = 42 e 20+22 = 42
E x p r e s s õ e s numéricas ou (a+b)+c = a+(b+c)
O Elemento Neutro da Adição O número 0 é o elemento neutro da adição, uma vez que não interfere no resultado: 34+0+22 = 34+
Segunda Operação: Subtração A subtração é o inverso da adição; Em vez de adicionar, o que se faz é subtrair, retirar. A subtração é indicada pelo sinal -. Podemos indicar a subtração de duas maneiras: 8-3 = 5 ou 8 minuendo
- 3 subtraendo -------- 5 diferença ou resto Observação: se o subtraendo é retirado do minuendo, é claro que o minuendo deve ser sempre maior: Podemos subtrair 6 de 10, mas não podemos subtrair 10 de 6.
Propriedade Fundamental da Subtração - a diferença é o número que, somado ao subtraendo, resulta no minuendo: 47-25 = 22 e 25+22 = 47 ou a-b = c e b+c = a
Essa propriedade é bastante útil para você verificar se a subtração está correta.
O Elemento Neutro da Subtração O número 0 é o elemento neutro da subtração, pois não interfere no resultado: 18 - 0 = 18
- propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração - há duas diferentes maneiras para se chegar a um mesmo resultado: 3.(4+6) = 3.10 = 30 ou a.(b + c) 3.4 + 3.6 = 12 + 18 = 30 ou a. b + a. c
O Elemento Neutro da Multiplicação O número 1 é o elemento neutro da multiplicação, porque, ao multiplicarmos um número por 1, esse número não sofre alteração, não interferindo no resultado: 9 x 1 = 9 Nós podemos, então, suprimir os fatores iguais a 1: 5.1.3.1 = 5.3 = 15
Quarta Operação - Divisão: Divisão é a operação que permite separar um número em várias partes. Ela é indicada pelos sinais / ou : (dois pontos). Veja este exemplo: Paulo tem oito biscoitos e quer dividi-los entre os dois filhos:
Podemos representar isso assim:
Propriedade Fundamental da Divisão Exata - o quociente é o número que, multiplicado pelo divisor, é igual ao dividendo: 8 / 2 = 4 ou 4 x 2 = 8 A divisão pode ser: exata (como no caso acima) ou com resto.
Divisão com Resto Nem sempre a divisão é exata. Vamos ver um exemplo:
Observações: a) para que a divisão seja realizada, é preciso que o dividendo seja maior que o divisor ou igual a ele: 6 / 3 = 2 6 / 6 = 1 8 / 9 ---- não é possível realizar a divisão b) não existe divisão por zero.
Divisibilidade Observe estas divisões de números naturais:
Como você vê, em algumas o resto é igual a zero, isto é, a divisão é exata. Quando isso acontece dizemos que o dividendo é divisível pelo divisor: 48 é divisível por 4 e 63 é divisível por 3.
Divisibilidade de alguns números - você pode saber se um número é divisível por 2, por 3, por 4, por 5, por 6 ou por 9 sem efetuar a divisão. Basta saber que:
- um número é divisível por 2 quando é par, como 246;
- um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3, como 162;
- um número acima de 99 é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, como 228;
- um número é divisível por 5 quando seu numeral apresenta, na ordem das unidades, o algarismo 0 ou o 5, ou seja, - quando termina em 0 ou 5, como 300 e 85;
- um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3;
- um número é divisível por 9.
