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- 6 = 24, portanto 24 é um múltiplo de 6 ou 4. a = 24, portanto 24 é um múltiplo de a. Para obter todos os múltiplos de 6, você deve multiplicar 6 pelos números naturais:
- 0 = 0 6. 1 = 6 6. 2 = 12 6. 3 = 18
- 4 = 24 6. 5 = 30 6. 6 = 36 6. 7 = 42
- 8 = 48 6. 9 = 54 OU: 6+6=12+6=18+6=24+6=30+6=36+6=42+6=48+6=
Decomposição em Fatores Primos Decompor um número natural em fatores primos é escrever esse número na forma de uma multiplicação em que todos os fatores são números primos. Observe as várias maneiras de se decompor um número em produto: 20 = 1.2 20 = 2 .10 20 = 4. 5 20 = 1. 1. 20 20 = 1. 2. 10 20 = 1. 4. 5 20 = 2. 2. 5 20 = 1. 1. 2. 10 20 = 1. 1. 2. 2. 5 Você pode notar que em um dos casos todos os fatores são números primos: 20 = 2. 2. 5 O número 20 pode ser decomposto em um produto de números primos. A mesma coisa ocorre com todos os números compostos não nulos. Lembre-se: todo número natural maior do que 1 ou é primo ou pode ser decomposto em um produto de fatores primos.
Vamos decompor o número 20 em fatores primos: 1º escrevemos o número e colocamos um traço vertical ao lado dele:
2º descobrimos o menor número primo pelo qual o número dado é d i v i s í v e l (podemos consultar a tabela de números primos). Colocamos esse n ú m e r o primo no outro lado do traço:
3º efetuamos a divisão e colocamos o quociente sob o número dado:
4º repetimos o processo para o quociente obtido, até encontrarmos q u o c i e n t e igual a 1:
5º escrevemos a decomposição, que pode seu dada usando potências: 20 = 2. 2. 5 ou 20 = 2*. 5
Divisores de um Número Um número natural não nulo b é divisor do número natural a quando a é divisível por b (sendo o resto 0): 4 é divisor de 12 porque 12 é divisível por 4 8 é divisor de 32 porque 32 é divisível por 8 Observação: 1 é divisor de qualquer número natural.
Conjunto dos Divisores de um Número O conjunto dos divisores de um número natural a é o conjunto D(a) , formado por todos os números naturais que são divisores de a. Observe a maneira mais simples para obter o conjunto dos divisores de um número, sendo ele maior que 1. Veja como encontrar os divisores de 18: Em primeiro lugar vamos fatorar o número dado:
- Partindo de dois ou mais números naturais não nulos, você pode calcular o mdc e o mmc de maneira bem simples. Vamos ver um exemplo com os números 240 e 252: Vamos fatorar, separadamente, os números 240 e 252:
- o mdc é o produto dos fatores primos comuns, tomando cada um com o menor expoente apresentado nas fatorações:
240 = 24. 3. 5
252 = 22. 32. 7
mdc (240, 252) = 22. 3 = 4. 3 = 12
- O mmc é o produto dos fatores comuns e não comuns, tomando cada um com o maior expoente apresentado nas fatorações:
mmc (240, 252) = 24. 32. 5. 7 = 16. 9. 5. 7 = 5040
Observação - não se esqueça de algo importante: quando os números não têm fator primo comum, isso significa que eles são primos entre si e, então, o mdc é 1.
1ª propriedade : mdc e mmc de dois números sendo um divisível pelo outro : quando a é divisível por b , o mdc (a, b) = b e o mmc (a, b) = a.
Veja um exemplo com os números 80 e 20: O número 80 é divisível por 20. O maior divisor de 20 é ele mesmo. Conclusão: o máximo divisor comum de 80 e 20 é 20 ou mdc (80, 20) = 20 ou mdc (a, b) = b.
O número 80 é múltiplo de 20, não é? E 80 é o menor múltiplo não nulo de 80. Conclusão: O mínimo múltiplo comum de 80 e 20 é 80 ou mmc (80, 20) = 80 ou mmc (a,b)= a.
2ª propriedade : mdc e mmc de dois números primos entre si : quando dois números são primos entre si, o mdc (a, b) = 1 e o mmc (a, b) = (a, b). Veja um exemplo com os números 4 e 9:
4 = 22^ 9 = 32
mmc (4, 9) = 22. 32 = 4. 9 = 36 Lembre-se então: Se dois números são primos, o mdc é 1 e o mmc é o produto dos dois.
3ª propriedade: cálculo de mmc de dois números usando o mdc : para dois números naturais a e b não nulos, podemos determinar o mmc (a, b) dividindo o produto a. b pelo mdc (a. b). Veja um exemplo com os números 15 e 18:
mdc (15, 18) = 3 mmc (15, 18) = (15. 18) : 3 = 90
O procedimento de fatoração consiste em transformar adições e subtrações em multiplicações e potências. Cada expressão, a princípio, tem um "caminho" de fatoração. Porém, observamos que muitas situações são parecidas e se repetem com certa freqüência, por isso achamos interessante agrupar as expressões cujas fatorações seguem desenvolvimento matemático semelhante e chamá-los de casos de fatoração. Essas situações semelhantes, que se repetem com freqüência no cálculo algébrico chamam-se produtos notáveis. Vamos ver os casos de fatoração mais comuns:
A - Quadrado da Soma de Dois Termos
(a + b)2 = (a + b). (a + b) = a2+ ab + ab + b2 = a2 + 2 ab +b B - Quadrado da Diferença de Dois Termos
(a - b) 2 = (a - b). (a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2 ab + b
Observe que o número menor é sempre o que fica à esquerda do outro, ou seja: +1 < +3 -3 < -
Podemos então fazer as seguintes afirmações: a) todo número positivo é maior do que zero
b) de dois números positivos, o menor é o que tem menor valor absoluto +4 < + c) todo número negativo é menor que qualquer número positivo -6 <
d) todo número negativo é menor do que zero -1 < 0 e) de dois números negativos, o menor é o que tem maior valor absoluto -5 < -
1ª operação: adição Vamos usar agora números positivos e negativos. Você já sabe que: O número de sinal positivo e módulo igual a 6 é + 6 O número de sinal negativo e módulo igual a 6 é - 6.
Vejamos caso a caso:
a) os números dados são positivos - a soma de dois números positivos é sempre um número que tem sinal positivo e cujo
módulo é igual à soma dos módulos dos números dados:
b) b) os números dados são negativos - a soma de dois números negativos é sempre um número que tem sinal negativo e cujo módulo é igual à soma dos módulos dos números dados:
c) os números dados são opostos - a soma de dois números opostos é zero: (+ 4) + (- 4) = 0 porque + 4 e - 4 são opostos
d) os números dados têm sinais contrários e módulos diferentes - a soma de dois números de sinais contrários, não opostos, é o número que tem o sinal do número de maior módulo e cujo módulo é igual à diferença dos módulos dos números dados:
e) um dos números dados é zero - a soma será igual ao outro número:
(+ 5) + 0 = + 5 0 + (- 5) = - 5
2ª operação: subtração Observe que a diferença entre dois números é o número que, adicionado ao segundo dá como resultado o primeiro: 12 - 4 = 8 assim como 4 + 8 = 12
