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Resumo de Matemática
Função: dado dois conjuntos A e B, função de a em b é uma relação na qual para todo elemento de a existe um só correspondente em B. OBS: Mesmo que todos de A se liguem a um só em B, ou que fique alguns em B, sem ligação será função.
Em gráfico : domínio = x e Imagem = Y OBS: Contradomínio = conjunto dentro de B(ou o mesmo) que têm ligação em A. EX.: 1 -2 2 Função = F(X) = X² + 1 A= 0 B= 3 1 4 O contradomínio é ,em B, = 1, 2 e 5. 2 5
Tipos de Função:
Função injetora Quando elementos de A se ligam a um único e diferente elemento em B. No gráfico : traçar retas horizontais, e cada uma só interceptará um único ponto.
Função sobrejetora Conjunto imagem é igual ao contradomínio. Todos elementos de B estão ligados a pelo menos um em A. OBS: Ás vezes, no gráfico/ função é injetora e ,sobrejetora ao mesmo tempo sendo BIJETORA.
Função Determine f(X) para que f(G(X))=8x+7, sabendo que G(X)=4x+
F(G(X))=8x+ Chamando G(X)=t G(X)=4x+5 t= 4x+5 x= t – 4
substituindo f(G(X)) = 8x+7 8 t – 5 +7 2t - 3 já que G(X) = T T= X 2x - 3 4
Função inversa dadas as funções F : A B e G : B A F e G são funções inversas de f(A)=B E G(B)=A então escrevemos F:G --¹, toda função inversa é também bijetora. EX.: de F --¹ de f(X)=3x-5 y=3x-5 x = 3y – 5 Y=F(X) = x + 5 3 OBS: arrumar F(X)=+x +- Nº +Nº +- x Gráfico : traça-se um reta em Beta13 e faz o gráfico como se a reta fosse espelho.
Função afim = 1ºgrau = ax + b, é constante e seu gráfico é uma reta EX.: y=2x+3 e y = 7 pois y=0x+7. Qual a função afim para F(4)=3 e F(3)= Logo sei que 4=x e 3=x
4A +b = 3 3A +b = 2 A – 1 Logo a resposta será : X - 1 Função do 1º Grau y = Ax + b, é uma função afim com A diferente de 0
Estudo da variação do sinal: EX.: discuta o sinal da função
1º achar raizes e construir o gráfico 2º analizar o gráfico e ver Y<0 e Y>
Resolva a inequação 10 – 5 X > 0 ( maior ou igual ) 10 – 5 x >=0 -5x >= - 10 5x <=0 x<=
Função quadrática função do 2º grau redutível a Ax² + Bx + c com A diferente de 0
Para que esta função tenha: Uma raiz = 0 Duas raizes > 0 Não tenha raiz < < 0
O GRÁFICO:
O gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima se A > 0 concavidade voltada para baixo se A< 0 Obs: O vértice ( ponto max/min) é dado por duas fórmulas :
X= -B Y= - 2 A 4 A
OBS: > 0 A parábola intercepta x em 2 pontos.
= 0 A parábola intercepta o eixo x em um ponto.
< 0 A parábola não intercepta x.
Imagem de uma função quadrática
Y = Imagem = - se A > 0 Se A< 4 A
Para estudarmos o sinal de uma função quadrática, construímos o gráfico e o analisamos:
- Analizando o gráfico:
- Y>0 se X<0 e X> 0 - 2 Y=0 se X=0 e X= Y<0 se 0<X<
Numa equação quando y>0 < EX.: De o valor de m para que X² + 2x + m > 10 seja valida para qualquer x :
2X + 3 X + 1 – (2X + 3) -x -2 Y3 ----- -------- ------- -------- ++++
2x +3 2x +3 Ytotal ----- +++++ -------- +++ ------
Sistema de inequações tabelas diferente
2x – 3 > 0 Ou seja achar X que satisfaça as 2 inequações 3x – 12 > 0 ++++ ++++
1º passo gráfico 2x –3 ----- 3/2 3x –12----- 4 2 passo tabela (diferente)
-----3/2 +++ ---------- 4 ++++++ Logo X > 4
Equações modulares
| X | = 3 X = 3 e X = -
EX.: | X –1| = 4 EX.: |2x-1| + X = Logo x -1 =4 e x –1 = -4 2x –1 = 4 –x e 2x –1 = -4 +x X=5 e X= -3 x = 5/3 e x = -
EX.: |a| = |b| a = b e a = -b EX.: |x² - 3x -4| = 0 |3x –2| = |x –2| |K| = 0 x² -3x - 3x –2 = x-2 e 3x -2 = -x +2 X’ = - x=0 x=1 X’’= 4 R: S = { -1 , 4 }
EX.: |x²| - 3|x| - 4 = 0 Chamando |x| = k k² -3x – k’= -1 K’’ = 4 Como K = |X| -1 é impossível Então |x| = 4 s = {4 , -4}
Inequações modulares
1º passo resolvo
2 º passo Faço gráfico
3º passo aplico na tabela
|x| > a x < -a e x > a EX.: |x –3| < 4 x – 3 < 4 e x-3 > -4 X < 7 e X > -
7 -1 -1 7
EX2.: | x² - 3x -2 | < 2 x² -x -2 < 2 e x² - 3x - 2 > - X² -3x-4 < 0 e x ² -3x > X’ = 4 e x’’= -1 x’=0 e x’’=
Gráfico -1 4 e 0 3 ‘ Logo : -1 4 0 3 ‘
S= { x e r / -1 < X < 0 e 3< x < 4}
Função Modular não vai para y negativo( 3º ou 4º quadrante) a não ser que tenha número negativo fora do módulo(ex.: |3x – 4| - 2 )
1º passo faço a função normalmente 2º passo levo a parte de y <0 para cima
f (x) : | x –1 X F(X) -1 2 0 1 fazendo direto ou a cada passo, como segue: 1 0 1 2 1 1
1º passo normal 1 2ºpasso por em módulo 1
EX2.: F(X)=|x-1| -1 2 2 Faço o 1º em módulo E diminuo 1 y 1 1
EX3.: F(X) = |x² -4| 1º passo fazer normal 2º passo tira, pondo para -2 2 -2 2 cima y<
EX4.: |x²| -2|x| +1 k –2k +1 k=1 como k = |x| x =1 e X = -1 e a outra raiz
Gráfico normal
Certo
Equação exponencial variável no expoente
Ex.: 8x = 4 2x3 = 22^ logo 3x = 2 x=3/2.
Obs : Ax^ > 0 todo x pertencente a R, será resposta, isso se x for número positivo
EX.: 9x - 4. 3x + 3 32x -4. 3x + 3 Fazendo 3x = K K² - 4K + 3 K’=1 e K’’=
Como K=x 3x = 1 e 3x = 3 30 = 1 e 3¹ = 3 logo S={ 0,1 }
Obs: Am+n^ (Am ). (An )
Am-n^ (Am ) : (An )
