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ALAP5 - PRODUTO INTERNO USUAL NO
n
Neste capítulo iremos estudar propriedades geométricas do n , vale dizer, propriedades que dizem
respeito a distâncias e a ângulos entre vetores no n. A forma de fazê-lo é através do produto interno usual no
n. Será dado um destaque especial às projeções ortogonais em SEVs do n^ e suas aplicações. Até agora, utilizamos a fórmula do produto interno usual no n, unicamente em manipulações algébricas no produto de matrizes e vetores, pelo fato que o produto de duas matrizes pode se expressar, em cada entrada, como um produto interno de dois vetores. Como a grande maioria dos leitores destas notas já viu algumas aplicações do produto interno de vetores no ^3 anteriormente, seja na física ou em cursos de cálculo de várias variáveis, na seção 5.1 aproveitamos para reavivar exemplos de aplicações do conceito de produto interno de vetores, em situações com as quais você provavelmente já se deparou alguma vez.
5.1 - APLICAÇÕES DO PRODUTO INTERNO:
Lembramos que o produto interno usual entre dois vetores v e w do ^3 (identificados como matrizes 3x1), pode se definir pela fórmula:
1 - Na Geometria:
- Tamanho de um vetor v:
- Ângulo entre dois vetores não nulos v e w:
Figura 5.
v w = vTw = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3
||v|| = (vTv)1/
cos =
v w
v w
T
w cos = vTw/||v||||w||
v
Distância entre v e w = ||v - w||
- Equação do plano que contem P 0 =
x y z
0 0 0
(^) e é normal a v =
a b c
a( x - x 0 ) + b(y - y 0 ) + c(z - z 0 ) = 0
Figura 5.
2 - No Cálculo diferencial: ( Regra da Cadeia )
- Se f: ^3 e : ^3 são deriváveis então :
3 - Na Física
- Trabalho realizado por uma força constante F
, no deslocamento de uma partícula entre A e B:
- Se
(^) F (x) não for constante e x(t) a trajetória da partícula para ir de x(t 0 )=A até x(t 1 ) = B:
3 - Definição para o produto de duas matrizes A e B:
` v
P 0
P
(P - P 0 )Tv = 0
d f t dt
f t T t
( ( )) ( ( )) ( )
W = F
(B - A)
W =
t^ F x t^ x^ t dt
t (^) o^ (^ (^ ))^ ^ (^ )
1
E = ½ m x’(t) x’(t)
(AB)ij = Ai* B(j)
Exercício. 5.6 - Ache o trabalho gasto para mover uma partícula segundo a equação horária x(t) = (cos(t), sen(t) )T^ e relativo a uma força F(x) = (x 1 - x2, -x 1 +x 2 ) do ponto P 0 = x (0 ) ao ponto P 1 = x ( )
Exercício. 5.7 - Sejam f : ^3 uma função diferenciável e (t) uma curva de nível da f que seja diferenciável. Mostre que f((t)) é ortogonal a „(t), para todo t.
5.2 PROPRIEDADES DO PRODUTO INTERNO
Na subseção 5.2.1 vamos destacar duas propriedades do produto interno usual no n^ que denominamos de estruturais, num sentido que ficará mais claro no capítulo 10. Lá veremos que elas são as propriedades que nos permitem generalizar o conceito de produto interno. Na subseção 5.2.2 definimos norma de vetores no n, que nos permite medir distâncias entre pontos no n. Estabelecemos também propriedades fundamentais da norma, que nos permitirão introduzir, na subseção 5.2.3, a idéia de ângulo entre vetores do n. Na subseção 5.2.4 trabalhamos o conceito de ortogonalidade entre vetores.
5.2.1 Propriedades estruturais do produto interno
O produto interno usual entre vetores do n, dado por v w = vTw = v 1 w 1 + v 2 w 2 + ...... + vnwn
satisfaz às seguintes Propriedades Estruturais:
PI.a - É BILINEAR e COMUTATIVO.
Vale dizer que, se 1 , 2 , v1,v 2 ,w1,w 2 n^ :
PI.b - vT^ v 0 e vT^ v = 0 sss v = 0 (POSITIVO-DEFINIDO)
Exercícios da subseção 5.2.
Exercício 5.8+ - Verifique que vTw satisfaz PI.a e PI.b
Exercício 5.9 - Sejam A uma matriz nxn e Q:nxn^ dada por Q(v,w) = vTAw i - Mostre que Q é uma função bilinear. ii - Mostre que se A é simétrica então Q também é simétrica (Q(v,w) = Q(w,v) ). iii - Mostre que se A é diagonal e tem todos os seus elementos da diagonal positivos então Q é positivo-definida, ou seja, Q(v,v) 0 e Q(v,v) = 0 sss v=
5.2.2 - Norma de um vetor
Definição 5.1 Norma de um vetor
Dado que v v 0, podemos definir a norma de v como o número real positivo:
Exemplo 5.1- || (1,-2,3,1,1)T|| = (1^2 + (-2)^2 + 3^2 + 1^2 + 1^2 )1/2^ = 4
Linearidade à esquerda
v.w v w w v w. v
( v v ) w v w v w
v ( w w ) v w v w
T T
T 2 2
T 1 1 2 2 T 1 1
T 1 1 2 2 1 T 1 2 T 2
Linearidade à direita Comutatividade
||v|| = (v v)1/
R = S
2
2
2
2
2 e R‟ = S
2 / 3
2 / 3
2 / 3
2 / 3
2 / 3
Exemplo 5.3 – Ache um ponto do SEV W = [(1,0,1,-2)] que dista 2 unidades de P = (2,0,0,0)T
Se Q está em W, Q = (, 0, , -2)T, para algum número real . Queremos obter || Q – P||^2 = 4, e portanto: ( -2)^2 + ^2 + (-2)^2 = 4 6 ^2 - 4 = 0 = 0, ou = 2/3. Obtemos assim duas soluções, a saber Q = 0 e Q = (2/3, 0 , 2/3 , -4/3)T
Exercícios da subseção 5.2.
Exercício 5.10 - Sejam v = (1,0,2,1)T^ e w = (1,-1,1,-1). Calcule vw, ||v|| e ||w|| e verifique diretamente que, de fato, obtemos neste caso: i - |vw| ||v|| + ||w|| ii - ||v+w|| ||v|| + ||w||
Exercício 5.11 -(Lei do paralelogramo) ||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2||x||^2 + 2 ||y||^2 , para todo x e y no n.
Exercício 5.12 Encontre um ponto no SEV W = Im( (1,1, -1,1) ) e que esteja o mais próximo possível do ponto P = (2,0,0,0) Exercício 5.13 - Encontre, em cada um dos casos, e desde que exista, o vértice R de um triângulo equilátero PQR, sabendo que P = (2,0,0,0), Q = (0,0,2,2) e que R está em W, onde:
i – W = N(A), para A =
2 1 3 0
1 0 1 1
ii - W = {x ^4 : Ax = (5,5)T}, onde A é a mesma matriz do item anterior
Exercício 5.14 - Sejam , : ^2 dadas por (t) = (t^2 + t, t^2 - 1) e (t) = ( sen(t), cos(t)).
i - Calcule g(t) = (t) (t) e sua derivada g‟(t). ii - Calcule (t) (t) + (t) (t) diretamente e verifique que coincide com g‟(t) iii - Considere duas curvas suaves no ^2 , dadas por funções deriváveis , : ^2 Verifique que [ (t) (t) ] = (t) (t) + (t) (t). Note que este fato generaliza-se facilmente para , : n.
Exercício 5.15 Certo ou errado? Justifique: i - Se x e y são vetores do n^ tais que || x – y || = 0, então x = y ii - Se x = (x 1 , x 2 )T^ e y = (y 1 , y 2 )T^ são tais que || x – y || = || (1,0)T||, então x = y + (1,0)T iii - Se x e y são vetores do n^ tais que || x || 4 e ||y|| 1, então ||x + y|| 5 iv - Se x e y são vetores do n^ tais que || x || 4 e ||y|| 1, então ||x - y|| 4 v - Se xTy = ||x|| = ||y|| = 1 então x=y
vi - Se A é nxn e vTAv > 0 para todo v 0 então Aii > 0 para todo i.
vii - Se A =
1 3 então < v , w > = vTAw é um produto bilinear, simétrico e positivo-definido.
viii - Considere A uma matriz nxn e tal que xTAx >0 para todo x 0 do n^ , bem como tal que Ax = x, para algum x 0. Então > 0
Exercício 5.16 + - Considere a função ||. || 1 :^2 , definida por || x || 1 = |x 1 | + |x 2 | i - Considere x = (1,-2)T^ e y = (-2 , 1)T. Calcule || x || 1 e || y || 1 ii – Mostre que as propriedades estruturais da norma (P1, P2 e P3) também valem para || || 1 iii – Considere o cubo cuja diagonal são os pontos 0 e x do ^3. Verifique que || x || 1 mede a soma das arestas de tal cubo. iv – Calcule || x – y|| 1 + || x + y|| 1 e verifique que ||x+y|| 12 + ||x-y|| 12 2||x|| 12 + 2 ||y|| 12. Conclua que que para || || 1 não vale a lei do paralelogramo do exercício 5.11.
5.2.3 - Ângulo entre vetores
Uma das conseqüências mais importantes da desigualdade de Cauchy-Schwartz é que, para todo par de vetores v e w do n, obtemos:
-1 v w
vTw 1
Isto permite estender para o n^ a definição que tínhamos antes para ângulo entre dois vetores não nulos do ^3 :
Definição 5.2: Definimos o ângulo ( 0 180 o) entre vetores não nulos v e w por
cos = v w
vTw
OBS. 5.2 - A desigualdade de Cauchy-Schwartz nos garante que a definição de ângulo entre dois vetores não nulos do n^ é consistente. É um fato notável que tal definição funcione bem e nos permita ter uma idéia de ângulo entre vetores em qualquer n. Desta forma podemos tratar geometricamente qualquer n^ de forma análoga ao ^3 , apesar de não termos uma experiência visual direta sobre o n, para n > 3. No capítulo 10 veremos que é possível generalizar substantivamente este conceito e tratar geometricamente espaços vetoriais bem mais gerais.
Exemplo 5.4 - Se é o ângulo entre v 1 = (-1,2,0,0,2)T^ e v 2 = (2, 1,1,0,1)T^ então
cos 3 7
2 v v
v v 1 2
1 (^2)
Exemplo 5.5 - Considere um triângulo isósceles PQR no ^4 , onde P = (0,0,0,0)T, Q = (4,0,0,0)T^ , e de tal
modo que
i - ||P -Q|| = ||P - R|| e o ângulo em P vale 60º
5.2.4 Vetores ortogonais
Definição 5. 3:
Dizemos que dois vetores v e w do n, são ortogonais se v w = vTw = 0
Exemplo 5.6 - v = (5,2,1,1)T^ é ortogonal a w =(0,1,-1,-1)T, já que
vTw = 50+21+1(-1) + 1(-1) = 0
OBS. 5.3: Como o coseno do ângulo entre dois vetores v e w é definido por cos = vTw/(||v||||w||), é natural definir ortogonalidade entre dois vetores v e w obrigando que cos = 0. No entanto, a definição acima é ligeiramente mais abrangente, na medida que não pressupõe v e w diferentes de zero. Já a noção de ângulo só está definida para vetores não nulos. Como 0Tw = 0 sempre, isto corresponde a convencionar que o vetor nulo
do n^ é ortogonal a todos os demais vetores do n. Reciprocamente, se v é ortogonal a todos os vetores do n,
então v = 0 (vide exerc. 5.17.iii).
Definição 5.4 - Diz-se que v n^ é ortogonal a um SEV W de n^ , caso v seja ortogonal a
todos os vetores de W.
Exemplo 5.7 - v = é ortogonal a W = Col(A), onde A =
Verifique que v é ortogonal a cada um dos geradores de W, ou seja (A(1))Tv = (A(2))Tv = 0. Se está em W, temos que = 1 A(1)^ + 2 A(2)^ , o que implica, (dada a linearidade á esquerda do produto) Tv = ( 1 A(1)^ + 2 A(2))Tv = 1 (A(1))Tv + 2 (A(2))Tv = 0.
OBS. 5.4 - Se A é mxn , então v é ortogonal a W = Col(A) sss ATv = 0
Veja que este foi exatamente o caso do exemplo 5.7. Ou seja:
i - Se v é ortogonal a W = Col(A) então v é ortogonal a cada um dos geradores de W, ou seja, (A(i))T^ v = 0, para todo i = 1,2,,n. Mas isto significa ATv = 0. ii - Reciprocamente, se ATv = 0, e está em Col(A), então = A, para algum no n. Neste caso, Tv = (A)Tv = TATv = 0. Ou seja, v é ortogonal a qualquer vetor de W = Col(A).
Equivalentemente, para testar se v é ortogonal a W = Col(A), basta testar se v é ortogonal a cada um de seus
geradores A(1), , A(n).
Exercícios da subseção 5.2.
Exercício 5.20 Considere os vetores P = (0,0,0)T^ e Q = (1,0,0) e R = (1,2,1)T. i - Ache o valor de para o qual R - Q é ortogonal a Q. ii – Verifique, para um tal , que || R ||^2 = || Q||^2 + ||R - Q||^2 iii – Foi coincidência o resultado em ii, ou você tem uma explicação para êle.
Exercício 5.21 – Certo ou errado. Justifique: i - Se x ^2 e é ortogonal a (1,1)T^ e a (1,-1)T, então x = 0. ii -Se x ^3 e é ortogonal aos vetores (1,1,2)T^ , (1,-1,1)T^ e ( -1, 3,0 )T, então x = 0 iii - Se y é ortogonal a todos os vetores do n^ então y = 0. iv - Se y é ortogonal a todos os vetores de uma base do n^ então y = 0 v - Tres vetores não nulos e ortogonais entre si no ^3 são LI. vi - Se x é ortogonal a y e y é ortogonal a w então x também é ortogonal a w vii - O número máximo de vetores mutuamente perpendiculares e não nulos em n^ é n. viii - Se ATA é uma matriz diagonal então A(i)^ é perpendicular a A(j)^ , se i j. ix - Se ATB = 0, então os vetores de Im(A) são ortogonais a todos os vetores de Im(B) x - Se AB = 0, então os vetores de Im(A) são ortogonais a todos os vetores de Im(B) xi - Se P é uma matriz de permutação nxn então v = P v, para todo v no n. xii - Se A é uma matriz ortogonal nxn (ATA=I) então ||Ax|| = ||x|| para todo x do n xiii - Se A é ortogonal nxn então A preserva ângulos , no sentido que o ângulo entre Ax e Ay coincide com o ângulo entre x e y, para todo par de pontos x e y do n. xiv - Se é base de V, é base de W e V é ortogonal a W, então + é base de V + W Exercício. 5.22 + - (Teorema de Pitágoras) Sejam x e y vetores ortogonais do n. Então
^ ||x+y||^2 = || x||^2 + ||y||^2 Exercício 5.23 + - Sejam A(1)^ , A(2)^ ,..., A(p)^ vetores não nulos de n^ e mutuamente ortogonais entre si, isto é, tais que A(i)^ A(j)^ = 0, se i j
i. Verifique que A(1)^ , A(2)^ ,..., A(p)^ são LI. ii. Verifique que ATA é uma matriz diagonal. iii. Se além das hipóteses do item ii tivermos que p = n e A(i) = 1, para todo 1 i n , então A é uma matriz ortogonal, ou seja, AA T= A T A = I nxn.
iv Considere A =
1 / 2 1 / 2
1 / 2 1 / 2
1 / 2 1 / 2
1 / 2 1 / 2
e verifique que ATA = I2x2 , mas que AAT^ não é diagonal.
Exercício 5.24 + - Seja = { v 1 , v 2 , ..., vn} uma base ortonormal do n. Ou seja, tal que, para todo i,j, viTvj =
0, se i j e || vi || = 1. Verifique que se [v] = (x 1 , x 2 , ... ,xn)T, então xi = iT i
i
T v v
v v.
5.3.2 Um exemplo típico
Exemplo 5.9 - Ache uma expressão para PW(b), projeção ortogonal de b =
3
2
1
b
b
b no plano W=col(A), gerado
por A(1)^ =
, A(2)^ =
Solução: Se (^) b estiver em W então
onde A = (A(1)^ ,A(2)) e x =
2
1 x
x
Figura 5.
Se b= PW(b), então ( b - b) deve ser ortogonal a todo z em W=Im(A).
Isto equivale a exigir AT( b - Ax) = AT( b - b) = 0 (vide obs. 5.4)
Encontramos x resolvendo ATAx = ATb. Resulta PW(b) = Ax:
2 1 1 2
1 1 0 0 1 1
1 2 3
x
b b b
Pw(b) = A x =^1 3
2 1 1 1 2 1 1 1 2
1 2 3
b b b
Exercícios da subseção 5.
Exercício 5.28 - Ache a distância de A(1)^ = (1,1,0)T^ ao subespaço W do exemplo 5.
Exercício 5.29 - Ache a distância de (1,-1,2)T^ ao subespaço W do exemplo 5.
Exercício 5.30 - Ache a distância do ponto b = (1, 1, 1)T^ ao plano de equação x -2y + 2z = 0.
b PW(b)=Ax
A(2)^
W
A(1)
b = x 1 A(1)^ + x 2 A(2)^ = A x
ATA x = ATb
Exercício 5.31 - Ache a distância do ponto b = (1,1,1)T^ ao plano de equação x -2y + 2z = 2.
Exercício 5.32 - Ache a projeção ortogonal de (0 ,0, z )T^ no SEV gerado por A(1)^ = (1,1,1)T^ e A(2)^ = ( -1 , 1, 1 )T.
Exercício 5.33 - Considere o subespaço W = { ( x, y, z )T^ ^3 ; 2x + y +z = 0.}. i. Ache uma matriz A cujas colunas formam uma base para W. ii. Verifique ATA é inversível. iii. Ache a matriz P 1 da projeção ortogonal do ^3 sobre W. iv. Ache uma base para W^ = { v^3 ; vTw=0 para todo w W }. v. Ache a matriz P 2 da projeção ortogonal do ^3 sobre W. vi. Verifique que P 1 + P 2 = I e P 1 P 2 = 0.
Exercício 5.34+ - Sejam A uma matriz mxn , [ A(1)^ , A(2)^ , ... , A(n)^ ] = Im(A) e
__ b_ = Ax a projeção ortogonal de b
sobre Im(A). Deduza a equação normal da seguinte maneira:
i. Justifique porque ( Ax - b )TAy = 0 para todo y m. ii. Conclua que ATAx - ATb é perpendicular a todos os vetores do m. iii. Conclua, do ítem ii, que ATAx = ATb.
5.3.3 Projeção ortogonal num SEV do m
Seja W = Im(A) o SEV do m^ gerado pelas colunas de A = Amxn
Do mesmo jeito que no Exemplo 5.9, parametrizamos b em W por b = Ax.
Impor que (^) b = Ax seja a projeção ortogonal de b em W, corresponde a obrigar que b - Ax seja ortogonal
a W=Im(A). Pela obs 5.4, isto significa resolver AT( b - Ax) = 0. Ou seja, procuramos x no n^ e tal que:
(Equação Normal - EN)
(Veja ainda o exerc. 5.27+) Suponhamos que = { A(1), A(2),....,A(n) } é uma base ordenada de W. Neste caso, a matriz A = ( A(1) A(2)....A(n)) tem n colunas LI, sendo n menor ou igual que o número de linhas m. Das propriedades do posto de uma matriz no final de Alap 4:
n = dim(Im(A)) = Posto(AT)=Posto(ATA) Mas então ATA é uma matriz nxn de posto n. Portanto ATA é inversível e a equação normal (EN) tem sempre solução. Isto significa que xEN = (ATA)-1ATb é solução de ATAx = ATb e, portanto, que
é a projeção ortogonal de b em W, para cada b m.
b Ax ,^ onde x satisfaz
ATA x = ATb
b PW ( ) b Ax (^) EN A A A ( T^ ) 1 A bT
Exercícios da subseção 5.3. Exercício 5.35 – Mostre que, se A é mxn e posto(A) = n e P = A(ATA)-1AT^ então P^2 = P e PT=P
Exercício 5.36 - Ache a distância de (1, -2) à reta y = 2x., usando a construção acima. Exercício 5.37 - Ache a distância de (1,-1,2,1)T^ ao subespaço gerado por A(1)^ = (1,0,0,0)T^ , A(2)^ = (1,1,1,1)T^ e A(3)^ (1,-1,-1,1)T.
Exercício 5.38 - Dados A = (1,-1,0,1)T^ e B = (0,0,0,1)T, ache C, tal que: i - C esteja no subespaço gerado por D(1)^ = (0,1,0,1)T^ e D(2)^ = (0,0,1,0)T ii - O triângulo ABC tenha a menor área possível.
Exercício 5.
i - Verifique que A =
2 1 é uma matriz de projeção, no sentido que A^2 =A
ii - Verifique que a função linear x Ax projeta ^2 sobre a reta Im(A) = ( 1, 1)T^ e que ^2 = N(A) Im (A). ii - Calcule as projeções de ( 1 ,0 )T^ e ( 0 , 1)T^ sobre Im(A) e conclua geometricamente que A não pode ser uma projeção ortogonal.
Exercício 5.40 - Certo ou errado? Justifique:
i - A =
^ ^
^
é uma matriz de projeção.
ii - Se A é uma matriz de projeção, então Im (A) = { v n^ ; Av = v }. iii - Se P é uma matriz de projeção ortogonal e Posto(P)=n, então P é a matriz identidade. iv - Se P é uma matriz de projeção ortogonal então ||Pv|| = ||v||
Exercício 5.41+ - Sem usar a relação obtida para a solução da equação normal EN , verifique que se W é um SEV do m^ que admite uma base ortonormal formada pelas colunas da matriz Q = (Q(1), Q(2)^ , ...., Q(n)), então a projeção ortogonal de b em W se escreve como
PW(b) = (Q(1)^ b) Q(1)^ + (Q(2)^ b) Q(2)^ +..............+ (Q(n)^ b) Q(n)^ = QQTb
5.3.4 Aplicação da Projeção Ortogonal - Método dos Quadrados Mínimos.
Exemplo 5.10 - Uma experiência é repetida três vezes e obtêm-se os dados P 1 = (-1,1)T^ P 2 = (1,3)T^ e P 3 = (2,2)T^. Suponhamos que a teoria por trás da referida experiência sugira que estes dados deveriam estar sobre uma mesma reta, mas devido a erros experimentais isto não ocorre. Como se pretende fazer previsões futuras, a saída é tentar achar uma reta f(x) = +x que melhor se ajuste aos dados experimentais no sentido dos quadrados mínimos , o qual consiste em minimizar a soma dos quadrados das distâncias verticais d 1 , d 2 e d 3 como sugere a figura 5.5. Observe ainda que a “distância vertical” de um ponto de coordenadas (b 1 ,b 2 ) à reta y = + x pode ser escrita como
d = +b 1 - b 2 = (1,b 1 )
^
Figura 5.
, onde A =
1 2
1 1
1 1 e b =
.
Ou seja , procuramos o ponto de Im(A) mais próximo de b.
Portanto ( , )T_deve ser solução da equação normal EN
= (ATA)-1ATb =
1 1 2
1 1 1
1
2
3
1
7
12
7
3
Logo, a reta procurada será f(x) = 12/7 + 3/7x, também conhecida como reta de regressão associada
aos dados P 1 , P 2 , P 3. O vetor d = A( , )T^ - b chama-se de resíduo.
Exemplo 5.11 Evolução da população brasileira segundo os censos do IBGE:
ANO 1950 1960 1970 1980 1991 1996
POPULAÇÃO (em milhares)
Tabela 5.
5.11.1. Usando o método de quadrados mínimos para modelar tal evolução com a reta de regressão y = x 1 + x 2 t qual a previsão de população em 96 que se obteria?
Consideramos 1950 como o ano t = 0. Medimos os anos em décadas e as populações em milhões.
d 2 = A 2 ( , )T^ - b 2
d 1 = A 1 ( , )T^ - b 1 P 2
P 3 d 3 = A 3 ( , )T^ - b 3
P 1
y = x +
2 T^2 3
2 2
2 1
d 2 d d d A( , ) b
Esboçamos abaixo os gráficos dos ajustes obtidos com polinômios de graus 1, 2 e 3, para a variação da população brasileira (medida em milhões de habitantes) entre 1950 e 1991, de acordo com os dados do IBGE, entre 1950 e 1991, junto com a “previsão” feita com estes dados para o período 1991-1996.
Exercícios da subseção 5.5. Exercício 5.42 - Ajuste a parábola y = at^2 + bt + c aos pontos (1,2)T^ , (2,5)T^ , (3,4)T^ , (5,-2)T^ e (7,-4) com o método acima.
Exercício 5.43 - Cheque os valores obtidos acima para o ajuste de polinômios do 3^0 e do 4^0 graus à evolução da população brasileira entre 1950 e 1992, com a técnica de mínimos quadrados, e usando os dados da tabela 5.
Exercício 5.44 - Seja D = { ( x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) , ..., (xn , yn)} um conjunto de n dados. Verifique que acha-se a reta de regressão y = t + associada a D resolvendo o sistema:
i i
i i i
i
x y
y
x x
n x
2
3.6 Complementos ortogonais
Definição 5.
Dizemos que os SEVs V e W do n^ são ortogonais entre si, caso cada vetor de V for ortogonal a W.
Obs. 5. 7: Pela Obs 5.4 podemos dizer que para testar se V = [A(1)^ , A(2)^ , , A(q)] e W= [B(1), B(2),, B(q)^ } basta testar se cada A(i)^ é ortogonal a cada um dos B(j). Ou equivalentemente, se ATB = 0 (vide exerc. 5.19.x)
Exemplo 5.12 - Seja A =
e considere V = Col(A), W = N(AT).
As soluções canônicas de ATx = 0 constituem uma base para N(AT). No caso teríamos AT^ =
1221 já na forma escada, propiciando a base = {S(1), S(2)} = { ( 8 ,-3 , 1,0)T , (1,-1,0,1)T}. Neste
caso, V = Col(A) e W = N(AT) = Im(S).
Como ATS = 0, V e W são ortogonais entre si.
Veja que além disto, ^4 = V W , já que: i - V W = {0}. Veja que se v está na interseção de V com W, então v (por estar em V) é ortogonal a v em W. Isto significa ||v||^2 = vTv = 0 v = 0.
ii – V + W = ^4 , Vide exerc. 5.21.xiv. Ou então, veja que dim(V) = dim(W) = 2, dim(VW) = 0 e aplique a fórmula dim(V+W) = dim(V) + dim(W) – dim(VW)= 4 ( vide exerc. 4.59)
O exemplo acima motiva a seguinte definição:
Definição 5.8 - Complemento ortogonal de SEV
Se W é SEV do m^ definimos seu complemento ortogonal W^ ^ como o conjunto de todos os vetores do
m^ que são ortogonais a W. Ou seja
W^ ^ = { x m: Tx = 0, para todo W}
OBS. 5.8 - Observe que no exemplo 5.12 N(AT) já era o complemento ortogonal de Im(A), de vez que N(AT) consiste de todas as soluções de ATx = 0. Além disto obtivemos ^4 = Im(A)N(AT).
Isto vale em geral. Considere A uma matriz mxn qualquer, bem como os SEVs do m, V = Col(A) e W = N(AT). Pela observação 5.7, W é o complemento ortogonal de V no n, já que N(AT) é constituído por todos os vetores ortogonais às linhas de AT, vale dizer, às colunas de A. Ou seja:
N (AT) = Col(A)^ ^ no m
N (A) = Col(AT)^ ^ no n
