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Transforma¸c˜oes lineares (^) M ´ODULO 3 - AULA 18
Aula 18 – Transforma¸c˜oes lineares
Objetivos
Definir os conceitos de transforma¸c˜ao matricial e linear; Apresentar v´arios exemplos de transforma¸c˜oes lineares.
Introdu¸c˜ao
Um dos conceitos centrais na Matem´atica ´e o de fun¸c˜ao. De modo geral usa-se os termos fun¸c˜ao, aplica¸c˜ao e transforma¸c˜ao como sinˆonimos.
Uma fun¸c˜ao ´e uma associa¸c˜ao entre dois conjuntos A e B, envolvendo todos os elementos de A, mas n˜ao necessariamente todos os elementos de B, e que associa cada elemento de A `a somente um elemento de B. Esta maneira de ver uma fun¸c˜ao somente como uma associa¸c˜ao ´e uma vis˜ao essencialmente est´atica.
Uma outra meneira de ver o mesmo conceito, porem mais dinˆamica, ´e que uma fun¸c˜ao ´e uma transforma¸c˜ao, que ¨leva¨ elementos do conjunto A em elementos do conjunto B, ou seja, ¨transforma¨ elementos de A em elementos de B.
Na Algebra Linear, usa-se mais o termo transforma¸´ c˜ao do que fun¸c˜ao, especialmente no caso das transforma¸c˜oes lineares, que definiremos nesta aula. Em resumo, uma transforma¸c˜ao de um espa¸co vetorial V em um espa¸co vetorial W ´e simplesmente uma fun¸c˜ao de V em W.
Como observamos, s˜ao de interesse especial as transforma¸c˜oes linea- res. Comecaremos definindo transforma¸c˜oes matriciais e depois as lineares. Veremos que para transforma¸c˜oes de Rn^ em Rm, os dois conceitos s˜ao equi- valentes.
Álgebra Linear 1
Transforma¸c˜oes lineares
Transforma¸c˜oes matriciais
Uma transforma¸c˜ao matricial ´e uma fun¸c˜ao dada por T (x) = Ax, onde A ´e uma matriz. Mais precisamente, seja A uma matriz m × n. Ent˜ao a aplica¸c˜ao T : Rn^ → Rm^ dada por x → Ax ´e uma transforma¸c˜ao matricial. Exemplo 1 Seja
A =
[
]
ent˜ao A induz a transforma¸c˜ao matricial T : R^3 → R^2 , dada por x → Ax.
Por exemplo, se x =
, ent˜ao
Ax =
[
]
[
]
Em geral, se x =
x 1 x 2 x 3
, ent˜ao
Ax =
[
]
x 1 x 2 x 3
[
2 x 1 + x 2 + 3x 3 x 1 + 2x 2
]
Exemplo 2 Se
A =
[
]
e b =
[
]
. Encontre um x ∈ R^3 , tal que Ax = b.
Solu¸c˜ao: Seja x =
x 1 x 2 x 3
, ent˜ao Ax = b, leva a
[
]
x 1 x 2 x 3
[
]
Álgebra Linear 1
Transforma¸c˜oes lineares
R^2
T = Ax (^) R 3
Figura 1: Aplica¸c˜ao T leva R^2 no plano 3x − 2 y + z = 0.
Transforma¸c˜oes lineares
Dada uma matrix m × n A, vetores n × 1 u e v, e um escalar c, segue-se das propriedades da multiplica¸c˜ao de matrizes que
A(u + v) = Au + Av e A(cu) = cAu.
De maneira geral, quando uma fun¸c˜ao possui as duas propriedades acima, dizemos que ela ´e linear. Definiremos agora as transforma¸c˜oes lineares. Defini¸c˜ao 1 Uma transforma¸c˜ao T ´e linear se:
- T (u + v) = T u + tv, para todos u e v no dom´ınio de T.
- T (cv) = cT (v), para todo v e para todo escalar c.
Em outras palavras, podemos dizer que uma transforma¸c˜ao ´e linear quando preserva a soma de vetores e o produto de vetores por escalares. Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores primeiro (u + v) e, em seguida, aplicarmos T , obtendo T (u + v), o resultado ´e o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois somarmos os resultados (T u + T v), isto ´e T (u + v) = T u + T v. Se A ´e uma matriz, u e v s˜ao vetores no dom´ınio de T = Ax e c ´e um escalar, ent˜ao, a propriedade A(u + v) = Au + Av mostra que T preserva a soma de matrizes e a propriedade A(cu) = cA(u) mostra que T preserva o produto por escalar. Portanto, toda transforma¸c˜ao matricial ´e linear. Por outro lado, nem toda transforma¸c˜ao linear de espa¸cos vetoriais ´e matricial. Veremos um exemplo deste tipo abaixo. Porem, transforma¸c˜oes
Transforma¸c˜oes lineares (^) M ´ODULO 3 - AULA 18
lineares de Rn^ em Rm^ s˜ao sempre matriciais. Provaremos este fato na aula 23 onde tambem estudaremos em detalhes como obter a representa¸c˜ao matricial de uma transforma¸c˜ao linear.
Seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear, onde V e W s˜ao espa¸cos vetoriais, e seja v ∈ V. Ent˜ao
T (0V ) = T (0.v) = 0.T (v) = 0W ,
onde 0V indica o vetor nulo do espa¸co vetorial v e 0W indica o vetor nulo do espa¸co vetoria W. Mostramos ent˜ao que uma transforma¸c˜ao linear T : V → W , leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W.
Outra propriedade muito utilizada ´e a seguinte:
T (cv + du) = T (cv) + T (du) = cT (v) + dT (u).
A dedu¸c˜ao acima utiliza as duas propriedades que definem linearidade. Ob- serve que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade.
Isto ´e, se uma transforma¸c˜ao T satisfaz
T (cv + du) = cT (u) + dT (v) ,
ent˜ao ela ´e linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos T (u+v) = T u+T v (preserva¸c˜ao da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0, obtemos T (cu) = cT (u) (preserva¸c˜ao do produto de vetores por escalares).
Aplicando sucessivamente o mesmo racioc´ınio acima, podemos mostrar que
T (c 1 v 1 + · · · + ckvk) = c 1 T (v 1 ) + · · · + ckT (vk) ,
onde c 1 , · · · , ck s˜ao escalares e v 1 , · · · , vk s˜ao vetores no dom´ınio de T.
Exemplo 4 A transforma¸c˜ao T : V → W dada por T (x) = 0W ´e linear. Esta trans- forma¸c˜ao, chamada transforma¸c˜ao nula, leva todo vetor de V no vetor nulo de W.
Exemplo 5 Seja V um espa¸co vetorial qualquer, a transforma¸c˜ao T : V → V dada por T (u) = u ´e linear. Esta transforma¸c˜ao ´e chamada indentidade. Se V = Rn, ent˜ao a transforma¸c˜ao linear dada pela matriz In, identidade de ordem n, ´e a transforma¸c˜ao identidade de Rn.
Transforma¸c˜oes lineares (^) M ´ODULO 3 - AULA 18
u
v
T(u)
T(v)
Figura 3: Rota¸c˜ao de um ˆangulo de 90^0.
Exemplo 9 Seja Pn o espa¸co dos polinˆomios de grau menor ou igual a n. Definimos o operador deriva¸c˜ao D : Pn^ → Pn−^1 por
D(a 0 + a 1 t + · · · + antn) = a 1 + 2a 2 t + · · · + nantn−^1.
Isto ´e, D leva cada termo aktk^ em kaktk−^1.
E f´´ acil ver que este operador ´e uma transforma¸c˜ao linear. Note que ele ´e a deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes no sentido usual, restrito ao espe¸co dos polinˆomios. Sabemos que para a deriva¸c˜ao vale
D(cf 1 + df 2 ) = cD(f 1 ) + dD(f 2 ) ,
confirmando que D ´e uma transforma¸c˜ao linear.
Note que esta transforma¸c˜ao ´e linear mas n˜ao ´e matricial. N˜ao h´a uma matrix A tal que D = Ax. No entanto, veremos na aula 23 que toda transforma¸c˜ao linear entre espa¸cos de dimens˜ao finita tˆem uma representa¸c˜ao matricial. H´a uma matriz A tal que se p ´e um polinˆomio e se [p]B ´e a representa¸c˜ao deste polinˆomio em uma base B escolhida de Pn, ent˜ao A[p]B ´e a representa¸c˜ao de Dp nesta base.
Exemplo 10 Um banco de investimentos possui 4 tipos de investimentos, que chamaremos de investimentos A, B, C e D. Um cliente faz sua carteira distribuindo cada seu dinheiro entre as 4 op¸c˜oes do banco. Representamos a carteira de um
cliente por um vetor 4 × 1. Assim uma carteira x =
xA xB xC xD
indica^ xA reais
investidos na op¸c˜ao A, xB reais investidos na op¸c˜ao B etc.
Álgebra Linear 1
Transforma¸c˜oes lineares
Se o investimento A resultou em yA reais por real aplicado, B resultou em yB reais por real aplicado etc, ent˜ao o resultado total de cada cliente ser´a calculado pela transforma¸c˜ao linear T : R^4 → R, dada por
T (x) =
xA xB xC xD
[
yA yB yC yD
]
= xAya + xB yB + xC yC + xDyD.
Resumo
Nesta aula estudamos um dos conceitos fundamentais em Algebra Li-´ near, que ´e o de Transforma¸c˜ao Linear. Vimos, inicialmente, as transforma¸c˜oes matriciais. Em seguida, defini- mos transforma¸c˜oes lineares. Vimos diversos exemplos de transforma¸c˜oes lineares, inclusive uma aplica¸c˜ao `a economia.
Álgebra Linear 1
Transforma¸c˜oes lineares
- Seja T : R^2 → R^2 uma transforma¸c˜ao linear. Se
T (
[
]
[
]
e T (
[
]
[
]
determine T (
[
]
) e T (
[
x 1 x 2
]
Respostas dos exerc´ıcios
[
]
e
[
]
- A deve ser uma matriz 6 × 4.
- (a) x =
2 − c c + 1 c
, para todo c ∈ R.
(b) N˜ao h´a valor de x tal que T x = b.
- O espa¸co gerado por {(− 32 , − 1 , 32 , 1)} ´e levado no vetor nulo.
- (a) Dilata¸c˜ao por um fator de 3. (b) Contra¸c˜ao por uma fator de 0, 5. (c) Rota¸c˜ao de 180^0. (d) Proje¸c˜ao sobre o eixo-y.
Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares (^) M ´ODULO 3 - AULA 19
Aula 19 – Propriedades das Transforma¸c˜oes
Lineares
Objetivos
Reconhecer e aplicar as propriedades das transforma¸c˜oes lineares.
Na aula 18 conhecemos um tipo muito especial de fun¸c˜ao - as trans- forma¸c˜oes lineares, que s˜ao fun¸c˜oes definidas entre espa¸cos vetoriais e com caracter´ısticas que as tornam muito ´uteis, em uma gama imensa de problemas e situa¸c˜oes da Matem´atica, F´ısica, Engenharia e Computa¸c˜ao, entre outras ´areas de estudo e trabalho.
Nesta aula veremos v´arias propriedades das transforma¸c˜oes lineares. Em especial, veremos um fato muito importante, que ´e o seguinte: para de- terminar uma transforma¸c˜ao linear T : V → W , basta conhecer seus valores em uma base qualquer de V.
Propriedades das transforma¸c˜oes lineares
Sejam V e W espa¸cos vetoriais e T : V → W uma transforma¸c˜ao linear. Valem as seguintes propriedades:
(i) T (0V ) = 0W Em palavras: uma transforma¸c˜ao linear leva o vetor nulo do dom´ınio ao vetor nulo do contra-dom´ınio. Esta propriedade j´a foi demonstrada na aula 18.
(ii) T (−v) = −T (v), ∀v ∈ V Em palavras: A imagem do vetor oposto ´e o oposto da imagem do vetor. Como T [(−1)v] = (−1)T (v), decorre que T (−v) = −T (v).
(iii) Se U ´e um subespa¸co de V ent˜ao T (U ) ´e um subespa¸co de W. Devemos mostrar que 0W ∈ T (U ) e que T (U ) ´e fechado para soma de vetores e multiplica¸c˜ao por escalar.
Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares (^) M ´ODULO 3 - AULA 19
(v) Se {v 1 , v 2 , ..., vn} ´e um conjunto gerador de V ent˜ao {T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn)} ´e um conjunto gerador da imagem de T. Demonstra¸c˜ao. Seja {v 1 , v 2 , ..., vn} um conjunto gerador de V. Seja w um vetor na imagem de T , isto ´e, existe v em V tal que w = T (v). Ent˜ao existem escalares α 1 , α 2 , ..., αn tais que v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αnvn. Podemos escrever: w = T (v) = = T (α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αnvn) ( =iv) = α 1 T (v 1 ) + α 2 T (v 2 ) + ... + αnT (vn). Logo, os vetores T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn) geram a imagem de T.
(vi) Se T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn) ∈ W s˜ao LI ent˜ao os vetores v 1 , v 2 , ..., vn ∈ V s˜ao LI. Demonstra¸c˜ao. Seja a combina¸c˜ao linear
α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αnvn = oV. (1)
Vamos aplicar a transforma¸c˜ao T a ambos os lados dessa igualdade:
T (α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αnvn) = T (0V ) ⇒
α 1 T (v 1 ) + α 2 T (v 2 ) + ... + αnT (vn) = 0W. Como os vetores T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn) s˜ao LI, conclu´ımos que α 1 = α 2 = ... = αn = 0. Ou seja, todos os coeficientes da combina¸c˜ao linear (1) s˜ao iguais a zero, o que implica que os vetores v 1 , v 2 , ..., vn s˜ao LI.
Exemplo 11 Sejam V um espa¸co vetorial e u ∈ V. A aplica¸c˜ao
Tu : V → V v 7 → v + u
´e chamada transla¸c˜ao definida por u. E f´´ acil verificar que, quando u 6 = 0V , essa aplica¸c˜ao n˜ao ´e linear, pois Tu(0V ) = 0V + u = u 6 = 0V , violando a propriedade (i), acima. Por outro lado, quando u = 0V , essa aplica¸c˜ao ´e o operador identidade de V , que ´e linear.
Exemplo 12 A rec´ıproca da propriedade (vi) n˜ao ´e verdadeira, isto ´e, ´e poss´ıvel termos um conjunto de vetores de V que sejam LI, mas com suas imagens formando um
Álgebra Linear 1
Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares
conjunto LD em W. Considere, por exemplo, o operador proje¸c˜ao ortogonal sobre o eixo x, definido em R^2 , isto ´e, a transforma¸c˜ao linear tal que T (x, y) = (x, 0), para todo vetor (x, y) do plano. Os vetores v 1 = (3, 1) e v 2 = (3, 4) s˜ao LI, mas suas imagens coincidem: T (v 1 ) = T (v 2 ) = (3, 0). Logo, o conjunto {T (v 1 ), T (v 2 )} ⊂ R^2 ´e LD. Essa situa¸c˜ao ´e ilustrada na figura 1.
T(x,y)=(x,0)
(3,1)
(3,1)
(3,4)
(3,0)
Figura 1: v 1 e v 2 s˜ao LI; T (v 1 ) e T (v 2 ) s˜ao LD.
Uma caracter´ıstica importante das transforma¸c˜os lineares ´e que elas ficam completamente determinadas se as conhecemos nos vetores de uma base do dom´ınio. Isto ´e, dada uma transforma¸c˜ao linear T : V → W , se conhecemos as imagens por T dos vetores de uma base de V , podemos obter a express˜ao de T (v), para um vetor v gen´erico de V. O exemplo a seguir mostra esse procedimento: Exemplo 13 Seja T : R^3 → R^3 , linear, tal que T (1, 0 , 0) = (1, 1 , 1); T (0, 1 , 0) = (2, − 1 , 1); T (0, 0 , 1) = (1, 0 , 2). Vamos determinar T (x, y, z), onde (x, y, z) ´e um vetor gen´erico de R^3.
Os vetores v 1 = (1, 0 , 0), v 2 = (0, 1 , 0) e v 3 = (0, 0 , 1) formam a base canˆonica de R^3. Assim, um vetor v = (x, y, z), gen´erico, de R^3 , se escreve (x, y, z) = xv 1 + yv 2 + zv 3. Aplicando a propriedade (iv), temos: T (v) = T (x, y, z) = = T (xv 1 + yv 2 + zv 3 ) = = xT (v 1 ) + yT (v 2 ) + zT (v 3 ) = = x(1, 1 , 1) + y(2, − 1 , 1) + z(1, 0 , 2) = = (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z). Logo, T ´e dada por T (x, y, z) = (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z).
Álgebra Linear 1
Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares
x, −x^ − 2 3 y, x^ − 2 3 y
x = 3 −x− 3 y x−^23 y = 1 2 = 4
x = 3 −x − 3 y = 2 x − 3 y = 8
Resolvendo o sistema, obtemos
x = 3 y = −^53
Logo, o vetor procurado ´e (3, − 5 /3).
Exemplo 16 Dado um espa¸co vetorial V , um funcional linear definido em V ´e uma trans- Note que o conjunto dos forma¸c˜ao linear f : V → R. Considere o funcional linear f definido em R^2 n´umeros reais ´e, ele mesmo, um espa¸co vetorial real. tal que^ f^ (1,^ 1) = 2 e^ f^ (2,^ 1) = 3. Vamos determinar^ f^ (x, y), para (x, y)^ ∈^ R
Novamente, come¸camos conferindo que os vetores (1, 1) e (2, 1) for- mam uma base de R^2. Escrevemos, ent˜ao, um vetor gen´erico (x, y), como combina¸c˜ao linear dos vetores dados: (x, y) = a(1, 1) + b(2, 1). Resolvendo, obtemos (^) { a + 2b = x a + b = y
a = −x + 2y b = x − y
isto ´e, (x, y) = (−x + 2y)(1, 1) + (x − y)(2, 1). Ent˜ao
T (x, y) = T ((−x+2y)(1, 1)+(x−y)(2, 1)) = (−x+2y)T (1, 1)+(x−y)T (2, 1)
= (−x + 2y).2 + (x − y).3 = x + y.
Logo, T ´e dada por T (x, y) = x + y.
Exemplo 17 Em rela¸c˜ao ao funcional linear definido no exemplo acima, vamos procurar os vetores v de R^2 tais que f (v) = 0. Isto ´e, queremos (x, y) tal que f (x, y) = x + y = 0. Isso nos leva aos vetores do plano da forma (x, −x). Logo, h´a infinitos vetores de R^2 que s˜ao levados ao zero, pelo funcional f - a saber, todo vetor do conjunto {(x, −x)|x ∈ R}.
Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares (^) M ´ODULO 3 - AULA 19
Para finalizar, um exemplo no espa¸co dos polinˆomios:
Exemplo 18 Seja T a transforma¸c˜ao linear em P 3 (R) dada por
T (1) = 1 − t; T (1 + t) = t^3 ; T (t + t^2 ) = 3 − t^2 ; T (t^2 + t^3 ) = 1 + t^2. Vamos determinar T (x + yt + zt^2 + wt^3 ), onde x + yt + zt^2 + wt^3 ´e um polinˆomio qualquer de P 3 (R) e, a seguir, calcular T (2 − 3 t + 4t^3 ).
Como nos exemplos anteriores, constatamos que { 1 , 1 + t, t + t^2 , t^2 + t^3 } ´e uma base de P 3 (R).
A seguir, escrevemos o vetor gen´erico de P 3 (R) nessa base: x + yt + zt^2 + wt^3 = a.1 + b(1 + t) + c(t + t^2 ) + d(t^2 + t^3 ) = = (a + b) + (b + c)t + (c + d)t^2 + dt^3. Obtemos, assim, o seguinte sistema:
a + b = x b + c = y c + d = z d = w
que, resolvido, fornece a solu¸c˜ao:
a = x − y + z − w b = y − z + w c = z − w d = w
Escrevemos ent˜ao:
x+yt+zt^2 +wt^3 = (x−y+z−w).1+(y−z+w)(1+t)+(z−w)(t+t^2 )+w(t^2 +t^3 ).
Aplicamos a transforma¸c˜ao T em ambos os lados dessa igualdade:
T (x + yt + zt^2 + wt^3 ) = T ((x − y + z − w).1 + (y − z + w)(1 + t) + (z − w)(t + t^2 )
- w(t^2 + t^3 )) = (x − y + z − w).T (1) + (y − z + w).T (1 + t) + (z − w).T (t + t^2 )
- w.T (t^2 + t^3 ) = (x − y + z − w).(1 − t) + (y − z + w).t^3 + (z − w).(3 − t^2 ) + w.(1 + t^2 ) = (x − y + 4z − 3 w) + (−x + y − z + w)t + (−z + 2w)t^2 + (y − z + w)t^3.
Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares (^) M ´ODULO 3 - AULA 19
Exerc´ıcios
- Seja T : R^2 → R a transforma¸c˜ao linear para a qual T (1, 1) = 3 e T (0, 1) = −2. Encontre T (x, y), para (x, y) ∈ R^2.
- Um operador linear T , definido em P 2 (R), ´e tal que T (1) = t^2 , T (x) = 1 − t e T (t^2 ) = 1 + t + t^2.
(a) Determine T (a + bt + ct^2 ), onde a + bt + ct^2 ´e um vetor gen´erico de P 2 (R). (b) Determine p ∈ P 2 (R) tal que T (p) = 3 − t + t^2.
- Encontre T (x, y) onde T : R^2 → R^3 ´e definida por T (1, 2) = (3, − 1 , 5) e T (0, 1) = (2, 1 , −1).
- Determine T (x, y, z) onde T : R^3 → R ´e dada por T (1, 1 , 1) = 3, T (0, 1 , −2) = 1 e T (0, 0 , 1) = −2.
Auto-avalia¸c˜ao
Vocˆe dever´a assimilar o significado de cada propriedade vista. A pri- meira delas ´e extremamente ´util para rapidamente identificar algumas trans- forma¸c˜oes que n˜ao s˜ao lineares, por n˜ao levarem o vetor nulo do dom´ınio ao vetor nulo do contra-dom´ınio. A transla¸c˜ao ´e o exemplo mais importante disso. Al´em disso, vocˆe deve se familiarizar com a t´ecnica de encontrar uma transforma¸c˜ao linear a partir de seus valores nos vetores de uma base do dom´ınio. Veja que os exerc´ıcios s˜ao repetitivos: mudam o espa¸co e a base considerada, mas a estrutura se repete. Caso vocˆe tenha alguma d´uvida, entre em contato com o tutor da disciplina. E... vamos em frente!!
Respostas dos exerc´ıcios
- T (x, y) = 5x − 2 y
- (a) T (a + bt + ct^2 ) = (b + c) + (−b + c)t + (a + c)t^2 (b) p = 2t + t^2
- T (x, y) = (−x + 2y, − 3 x + y, 7 x − y)
- T (x, y, z) = 8x − 3 y − 2 z
