Algebra linear, Notas de aula de Engenharia Mecânica

Baixe Algebra linear e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!

Unidade 1.1 – Matrizes: Conceitos e Operações

Definição de Matrizes

Matriz : Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. A m x n = a a a a a a a a a n n m m mn 11 12 1 21 22 2 1 2                     = [a ij ] m x n matriz A de m linhas e n colunas Elemento da linha i e coluna j Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna

2 1 1 0 1 2 0 0 4             Matriz triangular superior

Matrizes

Triangulares

2 0 0 0 1 1 0 0 2 3 4 0 4 5 7 2                Matriz triangular inferior 

Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também quando ambos são verdade! Esta também é uma matriz triangular! Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas.

Casos especiais

de Matrizes

Triangulares.  Matriz identidade

1 0 0 0 1 0 0 0 1            Matriz diagonal Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal são todos iguais a um. Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Chatice hein! Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas. Chamamos a matriz acima de I 3 (identidade de ordem 3) No geral, In onde n é a ordem da matriz.

Transposta  troca de linha por coluna (m x n => n x m ) 3 2

x

A

. 1 3 4 2 0 1 A = 2 3 t x        Matriz A transposta Simétrica  Matriz quadrada tal que A t = A 2 2

x

A

A =

2 2 t x

Matriz A transposta Anti-Simétrica  Matriz quadrada tal que A t = -A 3 3

x

A

A =

3 3 t x

Os elementos da transposta são os opostos da original.

OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição                        1 0 2 5 0 4 2 5 4 0 1 1

Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B. É sempre possível somar matrizes? Não! Somente quando estas forem de mesma ordem.

• = Se liguem, o mesmo vale pra subtração.

Multiplicação de matriz por matriz CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes A mxn e B lxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda ( n = l ). A matriz C = AB será de ordem m x p. 2 2 3 2 0 4 1 1 . 5 3 4 2 2 1 x x                  3 2

x

Em geral AB  BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo 2 1 2 1 4 2 4 2 5 3 5 3 Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA. O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11. O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12. Ihhh... Aqui fu...!

2 2 3 2 0 4 1 1 . 5 3 4 2 2 1 x x                             5 7 4 4 2.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4^22 4.1 + 2.0 4.(-1) + 2. 5.1 + 3.0 5.(-1) + 3. Observe, multiplicamos ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o primeiro elemento da elemento com o primeiro da coluna e por aí vai...

EXEMPLO 2

2. Seja A =         3 4 1 1 0 2 e seja B =         2  1 0 1 1 4 . Calcule A – B. 13

EXEMPLO 3

3. Calcule o produto das matrizes:                     0 2 3 5 2 1 . 1 2 0 2 0 1 1 2 3 14

EXEMPLO 5

5. Dadas as matrizes            5 6 3 4 1 2 A          2 0 1 1 3 2 B calcule a matriz A – B t é: 16