Algebra linear, Notas de aula de Engenharia Mecânica

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Unidade 4 – Vetores no Plano e no Espaço

GRANDEZAS VETORIAIS SEMPRE ESTÃO

ASSOCIADAS AO:

MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO

Grandezas Escalares

Comprimento (mm, m, ...)

Forças físicas: Peso, normal, velocidade, aceleração, ...

Massa (g, Kg...)

Grandezas

Vetoriais

• (^) Um vetor é uma matriz A que contém uma única coluna ou uma única linha.

A = [ a 1 a 2 ... an ] ou A = [ a 1 a 2 ... an ] t

A



A

• (^) A cada ponto A e um vetor v fica associado um ponto B indicado por: B = A + v v = B - A

(Notação de Grassman)

• (^) Dado um segmento orientado (A, B) o seu

vetor correspondente é representado por AB.

• (^) Quando não há o interesse na origem e

extremidade do vetor podemos representar o vetor com uma letra minúscula, v.

1.1 Soma de Ponto com Vetor

Há duas formas de somarmos dois vetores:

I. Quando a extremidade do vetor está ligada com a origem de outro.

Ex: Dados dois vetores AB e BC obtenha AB

• BC. B AC = AB + BC A C

Basta “fechar” o triângulo formado pelos dois vetores para se obter a soma dos

u v u + v

1.2 Adição de Vetores

Observações Importantes:

I. O vetor resultante sempre “sai” da origem do sistema.

II. Quando os vetores não possuem as origens e as extremidades especificadas por letras, a soma dos vetores pode ser feita por qualquer um dos casos mostrados.

III. O vetor BA possui sentido oposto ao do vetor AB, pode-se também representar BA = -AB.

Se o interesse é aumentar ou diminuir um vetor, multiplicamos tal vetor por um número maior que 1 ou por um número entre 0 e 1, respectivamente.

Obs: Se multiplicarmos o vetor por um número negativo, o sentido do vetor é invertido.

Ex: (^) u 2u (^) -u ½ u

1.3 Multiplicação de um número real por um vetor.

1.5 Vetores Coplanares

São vetores presentes no mesmo plano. Observações Observações 2 vetores são sempre coplanares

3 vetores são sempre coplanares no R^2

4 vetores são sempre coplanares no R^3

n ( n  Z) vetores são sempre coplanares no Rn - 1

Nº de vetores maior que a dimensão do espaço

Nº de vetores maior que a dimensão do espaço

Pelo menos um vetor é COMBINAÇÃO LINEAR dos outros vetores.

Pelo menos um vetor é COMBINAÇÃO LINEAR dos outros vetores.

Vamos mostrar dois exemplos com relação a observação anterior: I) Dados u e v vetores no R^2

v

u w

Combinação linear nada mais é que a soma dos vetores ponderados por coeficientes.

w é combinação linear de u e v

w = u + v w = u + v

Um vetor v = (x 1 , y 1 ) é representado no plano

(R^2 ) conforme a figura abaixo.

x 1

y 1

x

y (x 1 , y 1 )

Basta marcar os pontos dados no plano e traçar o vetor v, partindo da origem do sistema.

1.6 Representação de um Vetor no Plano

u + v = (1, 1) + (3, 1) =

Obs: Quando a origem do vetor não é indicada o ponto (0, 0) do plano é utilizado como ponto inicial.

1.6.1 Operações com Vetores no Plano 1.6.1 Operações com Vetores no Plano

Ex: Dados vetores u = (1, 1) e v = (3, 1) determine u + v.

Ex: Dados vetores u = (1, 1) e v = (3, 1) determine u + v.

A idéia é somar coordenada com coordenada, isto é, “x com x” e “y com y”.

Vetor u = (a, b) 2u = (2a, 2b),

½u = (½a, ½b) ½ a a 2a

2b

b ½ b x

y

Intuitivamente um vetor só depende do outro se esse “outro” existir.

Intuitivamente um vetor só depende do outro se esse “outro” existir.

Dados 3 vetores u, v e w dizemos que estes vetores são L.D se u = a 1 v + a 2 w, caso

não exista a 1 e a 2 os vetores são L.I.

Geometricamente vetores colineares (ou paralelos) são linearmente dependentes (L.D.), caso contrário são L.I.

Algebricamente vetores colineares são múltiplos , ou seja,

Caso o vetor u = kv dizemos que u e v são L.D, caso contrário são L.I.