Determinantes de Matrizes: Conceitos, Propriedades e Aplicações - Prof. Domingos, Slides de Álgebra

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Prof. Jorge

Determinantes

Determinante de uma matriz quadrada  (^) A toda matriz quadrada A está associado um número real, chamado determinante de A. Ele é obtido por meio de certas operações com os elementos da matriz.  (^) O determinante de uma matriz A pode ser indicado por det A ou, ainda, substituído-se os parênteses ou colchetes da matriz por barras.

Determinantes de 1ª e 2ª ordem  (^) O determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem (matriz 1 x 1) é igual ao valor de seu único elemento.

 Exemplo

A = 2 ^ det A = 2

A = [a 11 ] ⇒ det A = a 11

Determinantes de 1ª e 2ª ordem  (^) O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem (matriz 2 x 2) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, menos o produto dos elementos da diagonal secundária. a 11 a 12 a 21 a 22 = (^) a

11. a 22 –^ a^12. a^21

Exemplos  (^) Resolver a equação x 2 x x + 1 = 2. x 2 x x + 1

= x.(x + 1) – 2.x = x^2 + x – 2x = x^2 – x

x 2

• x = 2  x (^2) – x – 2 = 0  x = –1^ ou^ x = 2

Determinantes de 3ª ordem  (^) Para calcular determinantes de 3ª ordem, usamos um dispositivo chamado Regra de Sarrus. Veja os passos a serem seguidos, em que tomamos um determinante de uma matriz genérica A. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

A =

Exemplos  (^) Calcule o determinante da matriz A abaixo.

A =

– [2.2.(–2)] – [1.0.1] – [(–3).4.3] = 8 – 0 + 36 = 44

Det A = 14 + 44 =^58

x 2 3

• 1 x 4
• 3 0 1 Exemplos  (^) Encontrar os valores de x que anulam o determinante x 2 3
• 1 x 4
• 3 0 1 x 2
• 1 x
• 3 0

x.x.1 + 2.4.(–3) + 3.(–1).0 = x^2 – 24

• [3.x.(–3)] (^) – [x.4.0] – [2.(–1).1] (^) = 9x + 2

Det A = x

2

• 9x – 22 ^ x 2
• 9x – 22 = 0  x = – ou x = 2

Matriz reduzida  (^) Dada uma matriz quadrada A, de ordem n ≥ 2, chama-se matriz reduzida de A pelo elemento aij à matriz de ordem n–1 que se obtém de A suprimindo sua linha i e sua coluna j.  (^) Indicaremos a matriz reduzida de A pelo elemento aij com Bij.  (^) O determinante da matriz reduzida é chamado de menor complementar.

Exemplo  (^) Considerando a matriz A abaixo, obter as matrizes reduzidas de A pelos elemento a 21 e a 13.

A =

B 21 =

B 13 =

Exemplo  (^) Considerando a matriz A abaixo, calcular A 13 , co- fator do elemento a 13 e A 23 , co-fator do elemento a 23 .

A =

Aij = (–1)

i + j

. Det Bij

A 13 = (–1)

1 + 3

. Det B 13

B 13 =

A 13 = (–1)

4

. (24 – 4) = 1. 20^ =^20

Exemplo  (^) Considerando a matriz A abaixo, calcular A 13 , co- fator do elemento a 13 e A 23 , co-fator do elemento a 23 .

A =

Aij = (–1)

i + j

. Det Bij

A 23 = (–1)

2 + 3

. Det B 23

B 23 =

A 13 = (–1)

5

. (16 – 10) = (–1). 6^ =^ –

Exemplo  (^) Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o determinante da matriz

A =

Det A = a 12 .A 12 + a 22 .A 22 + a 32 .A 32 + a 42 .A 42

Det A = 3.A 12 + 0.A 22 + 0.A 32 + 2.A 42

Det A = 3.A 12 + 2.A 42

Exemplo  (^) Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o determinante da matriz

A =

Cálculo de A 12 :

A 12 = (–1)

1 + 2

. Det B 12

B 12 =

A 12 = (–1)

3

. 10 = (–1). 10^ = –