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Sumário
- Etapa I – Matrizes e Determinantes Páginas
- Passo 1 – Pesquisa sobre Matrizes e Determinantes
- Passo 2 – Resolva os Exercícios
- Etapa II – Determinantes de matrizes de 2ª, 3ª e 4ª ordem
- matrizes de 4ª ordem Passo 1 – Pesquisa sobre os diferentes métodos para o cálculo do determinante de
- Teorema de Laplace
- Regra de Chió
- Passo 2 – Resolva cada exercício abaixo, justificando a sua resposta
- Passo 3 – Calcule os determinantes das matrizes abaixo, utilizando qualquer método
- Bibliografias
Etapa I – Matrizes e Determinantes
Passo 1
Faça uma pesquisa sobre o conceito de matrizes e suas aplicações em outras áreas de conhecimento.
É comum nos depararmos com conjuntos de números que são operados essencialmente da mesma maneira. Isto sugere trata-los em bloco, de forma única. Esta forma de tratamento é possível através do uso de elementos matemáticos chamados Matrizes. Foi apenas em meados do século XIX que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, por volta de 1.826. Ele as chamou de tableau (tabela). O nome Matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1.850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1.858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. O significado coloquial da palavra matriz é: local onde algo se gera ou cria. Sylvester as via como “um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher À vontade p linhas e p colunas...”. Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e, gradativamente, começam a suplantar os determinantes em importância. A referencia mais antiga a matrizes, entretanto, data de aproximadamente do ano 2.500 a.C., no livro chinês Chui-Chang Suan- Shu (Nove capítulos sobre a arte matemática). Atualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas de conhecimento. Suas aplicações se dão na Matemática, Física, Engenharia e Computação, por exemplo. Uma matriz é uma tabela retangular de números, ou outro tipo de objetivos matemáticos, dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Dizemos assim que a matriz possui ordem m x n (lê-se: ordem m por n). Representamos uma matriz colocando os dados da tabela entre parênteses ou entre colchetes.
Etapa II – Determinantes de matrizes de 2ª, 3ª e 4ª ordem
Passo 1
Faça uma pesquisa sobre os diferentes métodos para o cálculo do determinante de matrizes de 4ª ordem, ou de ordem superior.
Teorema de Laplace
O teorema de Laplace é normalmente utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior ou igual a 4. Apesar de também se poder aplicar a matrizes de ordem inferior. Na prática, o que se faz é passar do cálculo do determinante duma matriz de ordem n para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n-1. O teorema pode ser aplicado sucessivamente até se obterem matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais simples de calcular. Pode selecionar-se indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema, pois todas conduzem ao mesmo resultado. No entanto, para simplificar os cálculos, é usual escolher-se a linha ou coluna que apresente mais zeros.
Exemplo
Considere-se a matriz
O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando o teorema de Laplace à 1ª linha:
Temos uma matriz quadrada de ordem 5. Sabemos que não é possível aplicar a regra de Sarrus para calcular este determinante, com isso buscaremos baixar a ordem desta matriz. Desse modo, a fim de encontrar seu valor, utilizaremos alguma propriedade de determinantes. Veja que o primeiro elemento da matriz equivale a 1 (a11=1), logo, é possível aplicar a regra de Chió. Façamos o procedimento:
Destacamos os elementos que serão suprimidos; agora iremos montar a nossa matriz de menor ordem seguindo o segundo passo da regra:
De tal modo, obtemos o determinante da matriz inicial A5x5. Note que nenhuma das matrizes é igual, mas, pela regra de Chió, podemos afirmar que o determinante de todas elas é o mesmo.
Veja que aplicamos duas vezes a regra de Chió, mas isso foi porque o primeiro elemento era igual a 1. Em casos em que o elemento não seja igual a 1, podemos aplicar algumas propriedades de determinantes de forma a encontrar uma matriz em que o primeiro elemento seja igual a 1. O melhor método para ser aplicado é o teorema de Laplace, visto que o método consiste em multiplicar cada elemento da linha pelo seu cofator, no caso de o elemento ser 0, o produto é nulo, não havendo pois necessidade de calcular o cofator do dito elemento para achar o produto.
