Baixe Núcleo e Imagem de Transformações Lineares: Conceitos e Aplicações e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática Discreta, somente na Docsity!
n. 33 – Núcleo de uma transformação linear
Chama-se núcleo de uma transformação linear f: V ⇒ W ao
conjunto de todos os vetores v ∈ V que são transformados em 0 ∈
W. Indica-se esse conjunto por N(f) ou Ker (f).
[kernel = tradução núcleo]
N(f) = { v ∈V / f(v) = 0}
O N(f) ⊂ V e todos os seus
vetores têm uma única imagem que é o zero/vetor nulo de W.
Observe que N(𝑓) ≠ ∅ , pois 0 ∈ N (f) uma vez que f(0) = 0.
Exemplo:
Determine o núcleo de uma transformação linear f: ℝ^2 ⟶ℝ^2 ,
f(x, y) = (x - 2y , x + 3y). N(f) = {(x, y) ∈ℝ^2 / f(x, y) =(0,0)}
isto é, (x - 2y , x + 3y) = (0, 0)
{
Logo, a única solução é: x = y = 0 Logo, N(f) = {(0, 0)} E, dim N(F) = 0
Exercícios :
- Seja a transformação linear f: ℝ^3 ⟶ℝ^2 ,
f(x, y, z) = (x - y + 4 z, 3 x +y + 8 z), determine o núcleo. R: N(f) = {(- 3 , 1, 1)}
- Determine o núcleo da transformação linear f: ℝ^2 ⟶ℝ^2 ,
definida por f(x, y) = ( x + y, x – y). R: N(f) = {(0, 0)}
- Determine o núcleo da transformação linear f: ℝ^2 ⟶ℝ^2 ,
definida por f(x, y) = ( x + y, x + y). R: N(f) = {(- 1, 1)}
- Determine o núcleo da transformação linear f: ℝ^3 ⟶ℝ^3 ,
definida por f(x, y, z) = ( x + y, x + y, x + y + z). R: N(f) = {(– 1, 1, 0)}
Exercícios resolvidos:
- Seja a transformação linear f: ℝ^3 ⟶ℝ^2 ,
f(x, y, z) = (x - y + 4 z, 3 x +y + 8 z), determine o núcleo. R: N(f) = {(- 3 , 1, 1)}
- Determine o núcleo da transformação linear f: ℝ^2 ⟶ℝ^2 ,
definida por f(x, y) = ( x + y, x + y). R: N(f) = {(- 1, 1)}
N (f) = {(x, y) ∈ℝ^2 / f(x, y) =(0,0)}, isto é (x + y , x + y) = (0, 0)
{
Cuja solução é x = - y (- y, y) y (- 1, 1) Logo, N(f) = {(- 1, 1)}. E, dim N(F) = 1
- Determine o núcleo da transformação linear f: ℝ^3 ⟶ℝ^3 ,
definida por f(x, y, z) = ( x + y, x + y, x + y + z). R: N(f) = {(– 1, 1, 0)}
N (f) = {(x, y, z) ∈ℝ^3 / f(x, y, z) =(0,0, 0)}, isto é (x + y , x + y, x + y + z) = (0, 0, 0)
Como, z = – x – y mas x = – y logo, z = – (–y) – y z = 0
N(f) = {(- y, y , 0)} = {y (– 1, 1, 0)}. Logo, N(f) = {(– 1, 1, 0)}. E, dim N(F) = 1
Proposição : o núcleo de uma transformação linear F: U ⟶V é
um subespaço vetorial de U.
Demonstração :
a. 0 ∈ N(f) pois F (0) = 0
b. ∀ u 1 ∈ N(f)⇒ F(u 1 ) = 0 ∀ u 2 ∈ N(f)⇒ F(u 2 ) = 0
Mas, F(u 1 + u 2 ) = F(u 1 ) + F(u 2 ) = 0 + 0 Logo, u 1 + u 2 ∈ N(f)
c. ∀ u 1 ∈ N(f)⇒ F(u 1 ) = 0
Mas F (α u 1 ) = α F ( u 1 ) = α 0 = 0 Logo, α u 1 ∈ N(f)
Imagem de uma transformação linear
Chama-se imagem de uma transformação linear f: V ⟶W ao
conjunto dos vetores w ∈ W que são imagens de vetores v ∈ V.
Indica-se esse conjunto por Im(f) ou f(V).
Im(f) = w ∈ W / f (v) = w para
algum v ∈ V.
Observe o conjunto Im(f) ⊂ W
e também o núcleo de f.
Observe que Im (f) ≠ ∅, pois 0 =
f(0) ∈ Im(f).
F (1, 0) = (1, 1)
F (0, 1) = (2, - 3)
[^1
] {𝐿2: 𝐿2 − 2𝐿1 → [^1
]
Portanto, uma base para a imagem é {(1, 1), (0, - 5)}
Im (F): { (1, 1), (0, -5)} e dim Im (F) = 2
Se fosse pedido para achar o Núcleo: (x + 2 y , x – 3 y) = (0, 0)
{
x = 3 y Logo, 3 y + 2 y = 0 5 y = 0 y = 0 Portanto, x = 0 Logo, N(f) = {(0, 0)}. Não temos variável livre, portanto, dim N (F) = 0
Exercícios :
- Determine o conjunto imagem da transformação linear
F: ℝ^3 → ℝ^3 dada por F (x, y, z) = (y, x – z, x + y + z). R: Im (F) = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2) }
- Determine o conjunto imagem da transformação linear F: ℝ^3 → ℝ^3 definida por F (x, y, z) = (x + y, x + y, z). R: Im (F) = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}
Resolução :
- O conjunto imagem da transformação linear F: ℝ^3 → ℝ^3 dada por F (x, y, z) = (y, x – z, x + y + z).
Im F = { v ∈ ℝ^3 / v = x (0, 1, 1) + y (1, 0, 1) + z (0, - 1, 1)}
Primeiro temos que calcular a imagem dos vetores. Como não temos uma base, utilizamos a base canônica do R^3.
F (x, y, z) = ( y , x – z , x + y + z ) F (1, 0, 0) = (0, 1, 1) F (0, 1, 0) = (1, 0, 1) F (0, 0, 1) = (0, - 1, 1)
[
] {𝐿1 → 𝐿2 [
] {𝐿3: 𝐿2 + 𝐿
[
]
Logo, uma base para a imagem é Im (F) = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2) } e dim Im (F) = 3
Se fosse pedido para achar o Núcleo: ( y , x – z , x + y + z) = (0, 0, 0)
[
] {𝐿2: 𝐿1 − 𝐿2 [
]
Logo, uma base para a imagem é Im (F) = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} e dim Im (F) = 2
Se fosse pedido para achar o Núcleo: (x + y, x + y, z) = (0, 0, 0)
x = - y N(f) = { y( -1, 1, 0)} Logo, N(f) = {(- 1, 1, 0)}. Com uma variável livre, a dimensão do Núcleo é igual a 1. Dim N(f) = 1
Teorema do Núcleo e da Imagem
Se F: U ⟶V é uma transformação linear (logo, é bijetora), então:
dim U = dim Núcleo (F) + dim Im (F)
Exemplo:
Seja F: ℝ^3 → ℝ^3 definida por F (x, y, z) = (x, x + y, x + y + z).
Determinar uma base e a dimensão do N(F) e Im(F).
a. Determinação do núcleo de F:
(0, 0, 0) = (x, x + y, x + y + z)
Logo, x = y = z = 0
Portanto, N(F) = {(0, 0, 0)} ⇒ dim(N) = 0
Assim, a base do Núcleo é o vetor nulo.
b. Determinação da imagem de F:
∀ v ∈ Im F ⇒ v = (x, x + y, x + y + z) F(x, y, z) = (x, x + y, x + y + z) = x (1, 1, 1) + y (0, 1,1) + z (0, 0, 1)
[
] a matriz já está escalonada, logo, o conjunto de
vetores é linearmente independente, e formam uma base da Im(F).
R: Im(F) = { (1, 1, 1) , (0, 1,1) , (0, 0, 1) } e dim Im (F)= 3, pois temos 3 vetores, ou seja 3 elementos.
Exercícios :
- Determinar a dimensão do núcleo e da imagem do operador
linear do ℝ^2 : F (x, y) = ( 0, 2y – x) R: dim N(F)=1 e dim Im(F)=
Núcleo: N(f) = {(x, y) ∈ℝ^2 / f (x, y) = (0, 0)}
{
Logo, x = 2 y
Como temos uma variável livre, a dim N(f) = 1
Logo, N (F) = (2 y, y) = {y (2, 1)}
R: Base para o N(F) = {(2, 1)} e dim N(f) = 1
Conjunto Im(f) = {(x, y) ∈ℝ^2 / f (x, y) = x ( 0 , - 1 ) + y (0, 2)}
Como os vetores do conjunto imagem são LD, portanto, a base
para a imagem é apenas um vetor. Assim, a dimensão da imagem
é 1.
R: Base para a Im (F)= {(0, -1)} ou Im (F)= {(0, 2)} e dim Im(f) = 1
- Dado o operador linear ℝ^3 ⟶ ℝ^3 F (x, y, z) = ( x + 2 y – z, y + 2 z, x + 3 y + z) a. determine o núcleo de F, a dimensão do núcleo e uma de suas bases
a.1) Determinação do núcleo de F
Núcleo : N(f) = {(x, y, z) ∈ℝ^3 / f (x, y, z) = (0, 0, 0)}
Logo, ( x + 2 y – z, y + 2 z, x + 3 y + z) = (0, 0, 0)
y = - 2 z
x = z – 2y
x = z – 2 (- 2 z)
x = z + 4 z ∴ x = 5 z ∴ logo, (5 z, - 2 z, z)
N(f)= {z (5, - 2, 1)/ z ∈ℝ} N(f)= {(5, - 2, 1)}
a.2) Determinação da dimensão do núcleo
Como a única variável livre é o z, portanto temos 1 variável livre,
assim dim N(f) = 1
a.3) Determinação de uma de suas bases
Se z = 1 temos a seguinte base:
Base de N(f) = {(5, - 2, 1)}
b. determine a imagem de F, a dimensão da imagem e uma de suas bases
Determinando a imagem:
F(x, y, z) = (x + 2 y – z, y + 2 z, x + 3 y + z)
F(x, y, z) = x (1, 0, 1) + y (2, 1, 3) + z (- 1, 2, 1)
[
] {𝐿 𝐿^23 :^ :𝐿 𝐿^23 − +^2 𝐿𝐿 11 [
] {𝐿 3 : 𝐿 3 − 2 𝐿 2 [
]
Logo, a Im(f) = {(a, b, c) ∈ℝ^3 / a + b – c = 0 }
b.2) Determine a dimensão da imagem
Como são duas variáveis livres, pois c = a + b
dim Im(f) = 2
b.3) Determine uma de suas bases
Se a = 1 e b = 3 logo, c = 4
Se a = 0 e b = 1 logo, c = 1
Base Im(f) = {(1, 3, 4), (0, 1, 1)}
c) Verificando a propriedade da dimensão:
dim (F) = dim N(F) + dim Im(F)
dim (F) = 1 + 2
dim (F) = 3
- Seja F: R^4 ⟶ ℝ^3 a transformação linear definida por F(x, y, s, t) = ( x – y + s + t, x + 2 s – t, x + y + 3 s – 3 t), encontre uma base e a dimensão: a) Imagem (F) b) Núcleo (F)
a) Encontrando uma base para a imagem: Conjunto imagem:
F (x, y, s, t) = x (1, 1, 1) + y (-1, 0, 1) + s (1, 2, 3) + t (1, - 1, - 3)
Escalonando o conjunto imagem temos:
[
] {
𝐿2: 𝐿2 + 𝐿 𝐿3: 𝐿3 − 𝐿 𝐿4: 𝐿4 − 𝐿
[
] { 𝐿4: 𝐿4 + 2𝐿2𝐿3: 𝐿3 − 𝐿
[
]
Portanto, temos apenas 2 vetores LI que constituirão a base Base para Im (F) = { (1, 1, 1), (0, 1, 2)} e a dim Im(F)= 2
b) Encontrando uma base para o núcleo:
(2) em (1): 𝑥 = (−𝑠 + 2 𝑡) − 𝑠 − 𝑡 𝑥 = −𝑠 + 2 𝑡 − 𝑠 − 𝑡 𝑥 = −2𝑠 + 𝑡 Logo, as variáveis livres são s e t, portanto dim W = 2 Para obter uma base:
