P1 Algebra Linear 2011, Provas de Álgebra

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cade Pederal Plumine: io de Rio das Ostras ia e Tecnole; Univer: Polo Unive: Instituto de € Departamento de Física « Matemátics P1 de Álgebra Linear - Prof. Ana Isabel - 2011.2 1. (2 pontos) Eletua-se uma operação elementar na matriz A abaixo, transformando-a na ma- triz B: 1-10/2 1-1 2 1 2 6|=B=[0 6 -2 o 1 o 1 1. Encontre a inversa de 4 pelo método de Eliminação de Gauss-Jordan. 2. Tdentifique a matriz E, a qual multipl- cada à esquerda de 4, produza B. 3. Encontre a inversa de B através da in- versa do produto EA expresso no item anterior. 2. (1,5 pontos) Dada uma matriz À bloco tri- angular inferior invertível, determine vma fó- rumia para A-!. Feito isso, use a fórmula que você encontrou para inverter a matriz 12 0/0 30 0/0 01 1 24 1-2 para encontrar o posto da matriz ampliada do sistema AX = b: Bascado no posto encontrado, responda: 1. o sistema AX = b tem solução? É ún 2. A é mvertível? 4. (2 pontos) Determine o valor de k de modo que o conjunto-solução S do sistema lincar abaixo tenha 2 variáveis livres: Exa xs 0 4 Es 0 0 = 0 . -3 —4 5. (1,5 pontos) Seja / ( j 5 ) 1. Encontre os amtovalores de À, 2. Baseado nos autovalores encontrados, responda: A é invertível? Tim caso afir- mativo,encontre os antovalores de 4 ! 3. Encontre os autovalores de 4%, 6. (1 ponto) Diga sc é verdadeira(V) ou falsa(F) cada uma das afirmações abaixo: 1. À soma de matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível. () 2. [A € Moya Masxa. () 3. Toda matriz elementar é invertível. () dei A = 0) é subespaço de Se A é uma mabtiz n x n não inverti- vel e RB resulta da permutação de duas linhas de 4, então B pode ser ou não ser invertível. (1) 5. Se À é uma matriz n X qn não invertível então Ax — O tem infinitas soluções. (1) Observação: Justifique todas as suas respostas.