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Algebra I´
Solu¸c˜oes da AP
Quest˜ao 1: (1,5 pontos) Mostre usando indu¸c˜ao matem´atica que 2 | (3n^ − 1) para todo n ∈ N.
Solu¸c˜ao: Para n = 1 temos que 2 | 2. Suponhamos que a afirma¸c˜ao seja verdadeira para n, ou seja, existe um inteiro k tal que 3n^ − 1 = 2k. Mostremos que a afirma¸c˜ao ´e v´alida para n + 1. De fato, 3n+1^ − 1 = 3n^ × 3 − 1 = (2k + 1) × 3 − 1 = 6k + 3 − 1 = 6k + 2 = 2 × (3k + 1), isto ´e, 2 | (3n+1^ − 1).
Quest˜ao 2: (1,5 pontos) Os restos das divis˜oes dos inteiros 4933 e 4435 por um inteiro positivo n s˜ao respectivamente 37 e 19. Obtenha os poss´ıveis valores de n.
Solu¸c˜ao: Como os restos na divis˜ao por n s˜ao 37 e 19 respectivamente, ent˜ao n divide 4896 = 4933 − 37 e 4416 = 4435 − 19. Dessa forma n ´e um divisor comum de 4896 e 4416 e portanto n divide mdc (4896, 4416). Calculando esse mdc obtemos 96. Temos ent˜ao que n | 96 e n ´e maior que 37, donde concluimos que n = 48 ou n = 96.
Quest˜ao 3: (3,0 pontos) Determine se cada uma das afirma¸c˜oes abaixo ´e verdadeira ou falsa. Prove as que julgar verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas:
(a) (1,0 ponto) Se a, b e c s˜ao numeros inteiros positivos quaisquer cujos restos na divis˜ao por 8 s˜ao 3, 5 e 1 ent˜ao o resto da divis˜ao de (a + b + c) por 8 ´e 1.
(b) (1,0 ponto) O conjunto I = {m ∈ Z; 46m ´e divis´ıvel por 7} ´e um ideal de Z.
(c) (1,0 ponto) O resto na divis˜ao de 11^104 + 1 por 17 ´e 0.
Solu¸c˜ao: (a) Verdadeira.
De fato, tem-se que a ≡ 3 (mod 8) b ≡ 5 (mod 8) c ≡ 1 (mod 8) , e dessa forma a + b + c ≡ 9 (mod 8). Sendo 9 ≡ 1 (mod 8) conclui-se ent˜ao que (a + b + c) ≡ 1 (mod 8).
(b) Verdadeira. Observe, inicialmente que x ∈ I ⇐⇒ existe um inteiro q tal que 46x = 7q.
- 0 ∈ I, pois 46 · 0 = 0 = 0 · 7.
- Se x, y ∈ I, ent˜ao existem inteiros q 1 e q 2 tais que 46x = 7q 1 e 46y = 7q 2 .. Assim 46(x − y) = 7(q 1 − q 2 )
e, portanto, (x − y) ∈ I.
- Se x ∈ I, ent˜ao existe um inteiro q tal que 46x = 7q. Assim, para todo r ∈ Z, 46 rx = 7rq e, portanto, rx ∈ I.
(c) Verdadeira. Pelo pequeno Teorema de Fermat tem-se que 1116 ≡ 1 (mod 17). (1)
Como 104 = 16 × 6 + 8 ent˜ao de (1) obtemos que
( 1116 ) (^6 118) ≡ 118 (mod 17). (2)
Por outro lado, notemos que 112 ≡ 2 (mod 17)
e da´ı vem que ( 112 ) (^4) ≡ 24 (mod 17) ,
Como 5, 6 , 7 e 11 s˜ao relativamente primos dois a dois ent˜ao podemos aplicar o Teorema do Resto Chinˆes. Aqui vamos seguir os passos descritos no EP referente a este assunto. Seja ent˜ao n = 5 · 6 · 7 · 11 e consideremos
N 1 = 6 · 7 · 11 = 462, N 2 = 5 · 7 · 11 = 385, N 3 = 5 · 6 · 11 = 330 e N 4 = 5 · 6 · 7 = 210.
Agora Como mdc (5, 462) = 1 ent˜ao 1 = 185 × 5 − 2 × 462 Como mdc (6, 385) = 1 ent˜ao 1 = 1 × 385 − 6 × 64 Como mdc (7, 330) = 1 ent˜ao 1 = 1 × 330 − 7 × 47 Como mdc (11, 210) = 1 ent˜ao 1 = 1 × 210 − 19 × 11 Portanto,
x 0 = 3 × (−2) × 462 + 3 × 1 × 385 + 1 × 1 × 330 + 0 = − 1287
´e uma solu¸c˜ao do nosso sistema e toda outra solu¸c˜ao ´e da forma
x = −1287 + 2310t com t ∈ Z.
Como devemos ter 0 < x < 1200, ent˜ao t = 1 nos fornece que o n´umero de ve´ıculos restantes foi 1023. Logo foram vendidos 177 carros.
