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ALGEBRA LINEAR, GABARITO, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

ALGEBRA_LINEAR, GABARITO, CALCULO, ENGENHARIA.

Tipologia: Exercícios

2019

Compartilhado em 22/11/2019

marcelo-dallmann-11
marcelo-dallmann-11 🇧🇷

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Baixe ALGEBRA LINEAR, GABARITO e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 4: Espaços Vetoriais d.                     −                     0 1 1 , 0 1 1 , 1 1 1 e.             0 1 f.                                         1 0 1 , 1 1 0 , 0 0 1 3. Diga se cada subconjunto a seguir é um subespaço do conjunto referido a. 21:0 0 RRW ⊂       ∈      = x ; b. 2RRW ⊂       ∈      = 1 1 : 0 y y ; c. 3RRW ⊂           ∈           = 11 : 0 1 yy ; d. 3RRW ⊂           ∈           = 11 1 1 ,: 0 zy z y . e. 3RRW ⊂           ∈           += 1111 1 ,: 1 yxyx x ; f. 3RRW ⊂           ∈           + − = 1111 11 ,: 0 yxyx yx . 4. Encontre a matriz de mudança de base indicada: a. da base canônica de 2R para a base                   1 0 , 1 1 ; b. da base                   1 0 , 1 1 para a base                   − 1 1 , 1 1 ; c. da base                                         1 0 0 , 1 1 0 , 0 1 1 para a base canônica de 3R ; d. da base                                         1 1 1 , 0 1 1 , 0 0 1 para a base                                         1 0 0 , 1 1 0 , 1 1 1 . 5. Considere B como sendo a base canônica de 2R e                   = 1 0 , 1 1 'B . Encontre B'BP → e determine a equação na base 'B das seguintes equações dadas na base canônica B : a. 227 =− yx ; b. 1=− xxy ; c. 222 =+− yxyx . 6. Considere B como sendo a base canônica de 3R e                                         = 1 1 1 , 0 1 1 , 0 0 1 'B . Encontre B'BP → e determine a equação na base 'B das seguintes equações dadas na base canônica B : a. 2=++ zyx ; b. 2=− xzxy ; c. 242 22 =+++++− zyxzyxxyx . 4.5 RESOLUÇÃO DOS EXERCICIOS PROPOSTOS 1. Verifique que cada um dos seguintes conjuntos de vetores é linearmente dependente: APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 4: Espaços Vetoriais a.                   2 2 , 1 1 Solução: A combinação linear nula dos vetores       =      +      0 0 2 2 1 1 ba conduz ao sistema    =+ =+ ,02 ,02 ba ba que produz o processo de eliminação        →      +→ 0 0 00 21 0 0 21 21 122 LLL . Escolhendo b como parâmetro livre, tem-se que ba 2−= , ou seja, o conjunto solução resulta      − =     − =      1 22 b b b b a com b livre. Desde que existem infinitas combinações nulas dos vetores, tal conjunto é linearmente dependente. b.                   0 0 , 0 1 Solução: A combinação linear nula dos vetores       =      +      0 0 0 0 0 1 ba conduz ao sistema    = = .00 ,0a Escolhendo b como parâmetro livre, tem-se que 0=a , ou seja, o conjunto solução resulta       =      =      1 00 b bb a com b livre. Desde que existem infinitas combinações nulas dos vetores, tal conjunto é linearmente dependente. c.                               − −           0 2 0 , 1 1 1 , 1 1 1 Solução: A combinação linear nula dos vetores           =           +           − − +           0 0 0 0 2 0 1 1 1 1 1 1 cba conduz ao sistema      =− =++ =− .0 ,02 ,0 ba cba ba que produz o processo de eliminação           −  →           − − −→ −→ 0 0 0 000 220 011 0 0 0 011 211 011 133 122 LLL LLL . Assim, temos o sistema      = =+ =− .00 ,022 ,0 cb ba Escolhendo c como parâmetro livre, tem-se que cb −= e cba −== , ou seja, o conjunto solução resulta           − − =           − − =           1 1 1 c c c c c b a com c livre. Desde que existem infinitas combinações nulas dos vetores, tal conjunto é linearmente dependente. d.                               0 0 0 , 1 1 1 Solução: APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 4: Espaços Vetoriais Solução: A combinação linear nula do vetor       =      0 0 0 1 a conduz ao sistema    = = ,00 ,0a que tem como única solução 0=a . Assim, tal conjunto é linearmente independente. f.                                         1 0 1 , 1 1 0 , 0 0 1 Solução: A combinação linear nula dos vetores           =           +           +           0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 cba conduz ao sistema      =+ = =+ .0 ,0 ,0 cb b ca cuja única solução é 0=== cba . Com isto concluímos que o conjunto é linearmente independente. 3. Diga se cada subconjunto a seguir é um subespaço do conjunto referido a. 21:0 0 RRW ⊂       ∈      = x ; b. 2RRW ⊂       ∈      = 1 1 : 0 y y ; c. 3RRW ⊂           ∈           = 11 : 0 1 yy ; d. 3RRW ⊂           ∈           = 11 1 1 ,: 0 zy z y . e. 3RRW ⊂           ∈           += 1111 1 ,: 1 yxyx x ; f. 3RRW ⊂           ∈           + − = 1111 11 ,: 0 yxyx yx . a. 21:0 0 RRW ⊂       ∈      = x Solução: Se escolhermos dois elementos de W, só podem ser       0 0 e       0 0 . Quanto à aditividade, temos que W∈      =      +      0 0 0 0 0 0 . Quanto a homogeneidade, temos que W∈      =      0 0 0 0 r , para qualquer R∈r . Assim, o conjunto W é um subespaço de 2R e portanto, um espaço vetorial real. b. 2RRW ⊂       ∈      = 1 1 : 0 y y Solução: Escolhemos dois elementos de W,       1 0 y e       2 0 y . Quanto à aditividade, temos que W∈      + =      +      2121 000 yyyy . APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 4: Espaços Vetoriais Quanto a homogeneidade, temos que W∈      =      11 00 yry r , para qualquer R∈r . Assim, o conjunto W é um subespaço de 2R e portanto, um espaço vetorial real. c. 3RRW ⊂           ∈           = 11 : 0 1 yy Solução: Escolhemos dois elementos de W,           0 1 1y e           0 1 2y . Quanto à aditividade, temos que W∉           +=           +           0 2 0 1 0 1 2121 yyyy . Isto indica que a aditividade não é satisfeita. Assim, o conjunto W não é um subespaço de 3R e portanto, não é um espaço vetorial real. d. 3RRW ⊂           ∈           = 11 1 1 ,: 0 zy z y Solução: Escolhemos dois elementos de W,           1 1 0 z y e           2 2 0 z y . Quanto à aditividade, temos que W∈           + +=           +           21 21 2 2 1 1 000 zz yy z y z y . Quanto a homogeneidade, temos que W∈           =           1 1 1 1 00 zr yr z yr , para qualquer R∈r . Assim, o conjunto W é um subespaço de 3R e portanto, um espaço vetorial real. e. 3RRW ⊂           ∈           += 1111 1 ,: 1 yxyx x Solução: Escolhemos dois elementos de W,           + 1 11 1 yx x e           + 1 22 2 yx x . APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 4: Espaços Vetoriais Quanto à aditividade, temos que W∉           +++ + =           ++           + 211 2211 21 22 2 11 1 yxyx xx yx x yx x . Isto indica que a aditividade não é satisfeita. Assim, o conjunto W não é um subespaço de 3R e portanto, não é um espaço vetorial real. f. 3RRW ⊂           ∈           + − = 1111 11 ,: 0 yxyx yx Solução: Escolhemos dois elementos de W,           + − 0 11 11 yx yx e           + − 0 22 22 yx yx . Quanto à aditividade, temos que W∈           +++ +−+ =           +++ −+− =           + − +           + − 0 )()( )()( 000 2121 2121 2211 2211 22 22 11 11 yyxx yyxx yxyx yxyx yx yx yx yx . Quanto a homogeneidade, temos que W∈           + − =           + − =           + − 00 )( )( 0 11 11 11 11 11 11 yrxr yrxr yxr yxr yx yx r , para qualquer R∈r . Assim, o conjunto W é um subespaço de 3R e portanto, um espaço vetorial real. 4. Encontre a matriz de mudança de base indicada: a. da base canônica de 2R para a base                   1 0 , 1 1 ; Solução: Se                   = 1 0 , 0 1 1B é a base canônica de 2R e                   = 1 0 , 1 1 2B , então [ ]       −  →      = −→ 11 01 10 01 10 01 11 01 | 12 122 LLLBB , e a matriz       − = → 11 01 21 BB P . b. da base                   1 0 , 1 1 para a base                   − 1 1 , 1 1 ; Solução: Se                   = 1 0 , 1 1 1B e                   − = 1 1 , 1 1 2B , então [ ]       −  →      →       →      − = −→+→ 2 1 2 1 2 112 1 0 10 01 1 01 10 11 12 01 20 11 11 01 11 11 | 21122 1 122 LLLLLLLBB e a matriz       − = → 2 1 2 1 1 0 21 BB P .