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Capítulo 4: Espaços Vetoriais
d.
e.
f.
3. Diga se cada subconjunto a seguir é um subespaço do conjunto referido
a.
2 : 1 0
W R ⊂ R
= x ; b.
2 W R ⊂ R
1
y y
c.
3 W R ⊂ R
y y ; d.
3 W R ⊂ R
1
y z
z
y.
e.
3 W R ⊂ R
1
: ,
x y x y
x
; f.
3 W R ⊂ R
1 1
: ,
x y x y
x y
4. Encontre a matriz de mudança de base indicada:
a. da base canônica de
2 R para a base
b. da base
para a base
c. da base
para a base canônica de
3 R ;
d. da base
para a base
5. Considere B como sendo a base canônica de
2 R e
B '. Encontre PB (^) → B' e determine a
equação na base B ' das seguintes equações dadas na base canônica B :
a. 7 x − 2 y = 2 ; b. xy − x = 1 ; c. 2 2
2 x − xy + y =.
6. Considere B como sendo a base canônica de
3 R e
B '. Encontre PB (^) → B' e
determine a equação na base B ' das seguintes equações dadas na base canônica B :
a. x + y + z = 2 ; b. xy − xz = 2 ;
c. 2 4 2
2 2 x − xy + yx + z + x + y + z =.
4.5 RESOLUÇÃO DOS EXERCICIOS PROPOSTOS
1. Verifique que cada um dos seguintes conjuntos de vetores é linearmente dependente:
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
a.
Solução:
A combinação linear nula dos vetores (^)
^ =
^ +
a b conduz ao sistema
a b
a b que produz o
processo de eliminação (^)
^ ^ →
L 2 L 2 L 1
. Escolhendo b como parâmetro livre, tem-se
que a = − 2 b , ou seja, o conjunto solução resulta (^)
b b
b
b
a com b livre. Desde que existem
infinitas combinações nulas dos vetores, tal conjunto é linearmente dependente.
b.
Solução:
A combinação linear nula dos vetores (^)
^ =
^ +
a b conduz ao sistema
a 0 , Escolhendo b como
parâmetro livre, tem-se que a = 0 , ou seja, o conjunto solução resulta (^)
^ =
^ =
b b b
a com b livre.
Desde que existem infinitas combinações nulas dos vetores, tal conjunto é linearmente dependente.
c.
Solução:
A combinação linear nula dos vetores
a b c conduz ao sistema
a b
a b c
a b
que
produz o processo de eliminação
→ −
→ −
3 3 1
2 2 1 L L L
L L L
. Assim, temos o sistema
b c
a b
Escolhendo c como parâmetro livre, tem-se que b = − c e a = b =− c , ou seja, o conjunto
solução resulta
c
c
c
c
c
b
a
com c livre. Desde que existem infinitas combinações nulas dos
vetores, tal conjunto é linearmente dependente.
d.
Solução:
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
a.
Solução:
A combinação linear nula dos vetores (^)
^ =
^ +
a b conduz ao sistema
a b
a que tem como
única solução a = b = 0. Assim, tal conjunto é linearmente independente.
b.
Solução:
A combinação linear nula dos vetores (^)
^ =
a b conduz ao sistema
a b 0 , onde,
escolhendo (^) b como parâmetro livre, tem-se que (^) a = b , ou seja, o conjunto solução resulta
^ =
^ =
b b
b
b
a com b livre. Desde que existem infinitas combinações nulas dos vetores, tal conjunto é
linearmente dependente.
c.
Solução:
A combinação linear nula dos vetores
a b c conduz ao sistema
b c
a b
a
cuja única
solução é a = b = c = 0. Por isso, tal conjunto é linearmente independente.
d.
Solução:
A combinação linear nula dos vetores
a b c conduz ao sistema
a
a b c
a b c
que
produz o processo de eliminação
→ −
→ −
3 3 1
2 2 1 L L L
L L L
. Assim, temos o
sistema
b c
c
a b
Da segunda equação, temos que c = 0 , da terceira, b = 0 e da primeira, a = 0. Desta
forma, a única solução é a = b = c = 0. Com isto concluímos que o conjunto é linearmente independente.
e.
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
Solução:
A combinação linear nula do vetor
a conduz ao sistema
a 0 , que tem como única solução
a = 0. Assim, tal conjunto é linearmente independente.
f.
Solução:
A combinação linear nula dos vetores
a b c conduz ao sistema
b c
b
a c
cuja única
solução é (^) a = b = c = 0. Com isto concluímos que o conjunto é linearmente independente.
3. Diga se cada subconjunto a seguir é um subespaço do conjunto referido
a.
2 : 1 0
W R ⊂ R
= x ; b.
2 W R ⊂ R
1
y y
c.
3 W R ⊂ R
y y ; d.
3 W R ⊂ R
1
y z
z
y.
e.
3 W R ⊂ R
1
: ,
x y x y
x
; f.
3 W R ⊂ R
1 1
: ,
x y x y
x y
.
a.
2 : 1 0
W R ⊂ R
= x
Solução:
Se escolhermos dois elementos de W , só podem ser
e
Quanto à aditividade, temos que (^) ∈ W
^ =
^ +
Quanto a homogeneidade, temos que (^) ∈ W
^ =
r , para qualquer r ∈ R.
Assim, o conjunto W é um subespaço de
2 R e portanto, um espaço vetorial real.
b.
2 W R ⊂ R
1
y y
Solução:
Escolhemos dois elementos de W , (^)
1
y
e (^)
2
y
Quanto à aditividade, temos que (^) ∈ W
^ +
1 2 1 2
y y y y
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
Quanto à aditividade, temos que ∉ W
1 1 2 2
1 2
2 2
2
1 1
1
x y x y
x x
x y
x
x y
x
. Isto indica que a
aditividade não é satisfeita.
Assim, o conjunto W não é um subespaço de
3 R e portanto, não é um espaço vetorial real.
f.
3 W R ⊂ R
1 1
: ,
x y x y
x y
Solução:
Escolhemos dois elementos de W ,
1 1
1 1
x y
x y
e
2 2
2 2
x y
x y
.
Quanto à aditividade, temos que ∈ W
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
x x y y
x x y y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
Quanto a homogeneidade, temos que ∈ W
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
rx r y
rx ry
r x y
r x y
x y
x y
r , para qualquer r ∈ R.
Assim, o conjunto W é um subespaço de
3 R e portanto, um espaço vetorial real.
4. Encontre a matriz de mudança de base indicada:
a. da base canônica de
2 R para a base
Solução:
Se
B 1 é a base canônica de
2 R e
B 2 , então
[ ]
^ →
→ −
1 1
2 |^1
L 2 L 2 L 1 B B ,
e a matriz (^)
B 1 B 2
P.
b. da base
para a base
Solução:
Se
B 1 e
B 2 , então
[ ]
^ →
→^
^ ^ →
→ + → −
2
1
2
1
2
(^2 ) 1
2 2 1 1 2
1 L 2 L 2 L 1 L L L L B B
e a matriz (^)
2
1
2
1
B 1 B 2
P.
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
c. da base
para a base canônica de
3 R ;
Solução:
Se
B 1 e
B 2 , então [ ]
B 2 (^) | B 1 e a matriz
→^ =
B 1 B 2
P.
d. da base
para a base
Solução:
Se
B 1 e
B 2 , então
[ ]
2 |^1
→ −
→ −
→ −
3 3 2
3 3 1
2 2 1
L L L
L L L
L L L B B
e a matriz
B 1 B 2
P.
5. Considere B 1 como sendo a base canônica de
2 R e
B 2. Encontre PB (^1) → B 2 e determine
a equação na base B 2 das seguintes equações dadas na base canônica B 1 :
a. 7 x − 2 y = 2 ;
Solução:
Observamos que [^ ]^
^ →
→ −
1 1
2 |^1
L 2 L 2 L 1 B B ⇒ (^)
B 1 B 2
P.
Também, [ ]
B 1 | B 2 ⇒
B 2 B 1
P.
Assim
B 1 B 2
^ =
y
x
y
x
y x y
x x e então a equação 7 x − 2 y = 2 fica
Capítulo 4: Espaços Vetoriais
Solução:
A equação cartesiana
2 4 2
2 2 x − xy + yz + z + x + y + z =
na base canônica B 1 pode ser escrita como
[ ] [ 1 1 1 ] 2
1 1
1
B B
B
z
y
x
z
y
x
x y z
Também, lembramos que
B 1 B 2
z
y
x
z
y
x
e tomando transposta à igualdade anterior, temos que
[ ] [ ]
B 1 B 2 x y z x y z.
Substituindo na equação cartesiana temos que
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] 2
2 2
2
2 2
2
1 1
1
B B
B
B B
B
B B
B
z
y
x
z
y
x
x y z
z
y
x
z
y
x
x y z
z
y
x
z
y
x
x y z
ou seja, a equação quadrática 2 4 2
2 2 x − xy + yz + z + x + y + z = na base canônica B 1 transforma-se na
forma quadrática
( ') ( ') 4 ( ') 2 ' ' ' 2 ' 3 ' 2
2 2 2 x − y + z + yz + x + y + z =
na base B 2.
