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Apostila de probabilidade básica e condicional
Tipologia: Resumos
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Disciplina: Bioestatística Matéria: Probabilidade e Distribuição de Probabilidade Prof.ª Jayne Martins TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. É um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
Experimento aleatório: É um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nas mesmas condições. Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “é provável que meu time ganhe a partida hoje” pode resultar: a. Que, apesar do favoritismo, ele perca; b. Que, como pensamos, ele ganhe; c. Que empate. Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse são chamados de fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Eventos certo, impossível e mutuamente exclusivos
Ex.: 1 Consideremos o experimento Aleatório do lançamento de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair cara. Espaço amostral: = cara, coroa n() = 2 Evento A: A = cara n(A) = 1 Como ( ) ( ) ( ) nB nA P A = , temos 2 1 P ( A )= ou 0,50 = 50% Ex.: 2 No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4? Espaço amostral: = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n() = 6 Evento A: A = 5, 6 n(A) = 2 3 1 ( ) 6 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = = = PA PA n nA PA ou 0,33 = 33% Ex.: 3 No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas: a) pelo menos 2 caras? b) Exatamente 2 caras?
C = cara K = coroa = CCC, CCK, CKC, CKK, KCC, KCK, KKC, KKK n() = 8 a) A = CCC, CCK, CKC, KCC n(A) = 4 50 % 2 1 8 4 P ( A )= = = b) B = CCK, CKC, KCC n(B) = 3 0 , 375 37 , 5 % 8 3 P ( B )= = = Ex.: 4 Vamos formar todos os números de 3 algarismos distintos, permutando os dígitos 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de, escolhendo um número desses ao acaso, ele ser: a) ímpar b) par? C) múltiplo de 6? D) múltiplo de 4? E) maior que 780? = 789, 798, 879, 897, 978, 987 n() = 6 a) Evento A: ser ímpar A = 789, 879, 897, 987 n(A) = 4 0 , 66 66 % 3 2 6 P ( A )=^4 = = = b) Evento B: ser par B = 798, 978 n(B) = 2 0 , 33 33 % 3 1 6 P ( B )=^2 = = = c) Evento C: ser múltiplo de 6 C = 798, 978 0 , 33 33 % 6 2 P ( C )= = = d) Evento D: ser múltiplo de 4 D = n(D) = 0
Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral . Da teoria dos conjuntos sabemos que:
Dividindo os membros da equação por n(), temos:
Exemplo 1: No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar? Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n() = 6 Evento A: número 3 A = {3} n(A) = 1 Evento B: número ímpar b = {1, 3, 5} n(B) = 3 A B = {3} {1, 3, 5} = {3} n(A B) = 1 P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) P(A B) = 6 1 6 3 6 1 (^) + − P(A B) = 6 3 P(A B) = 2 1 ou 50%
Exemplo 2: Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás? N() = 52 Evento A: a carta é vermelha n(A) = 26 Evento B: a carta é ás n(B) = 4 n(A B) = 2 P ( A B )= P ( A )+ P ( B )− P ( A B ) 52 2 52 4 52 26 P ( A B )= + −^ 52 28 P ( A B )= 53 , 8 % 13 P ( A B )=^7
Evento Probabilidade Leitura ou interpretação (como se lê) A ( ) ( ) ( ) = n nA p A^ Probabilidade de ocorrer o evento A A^1 − p ( A )^ Probabilidade de não ocorrer o evento A A B p (^^ A )+ p ( B )− p ( A B )^ Probabilidade de ocorrer A ou B A B p (^^ A B )^ Probabilidade de não ocorrer A e não^ ocorrer B Probabilidade de nem A, nem B A B p (^^ A B )^ Probabilidade de não ocorrer A ou não ocorrer B Probabilidade de não A ou não B A B p (^^ A )− p ( A B )^ Probabilidade de ocorrer A,^ mas não ocorrer B Probabilidade de A, mas não B Probabilidade de um, mas não o outro
A probabilidade condicional de um evento A ocorrer, já tendo ocorrido B é dada por p ( A / B )e é calculada por: ( ) ( ) ( / ) pB p A B p A B = ou p ( A B )= p ( A / B ). p ( B ) Ex.: 1 Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um “ás vermelho” sabendo que ela é de “copas”? Resolução: n ()^ = 52 evento A : sair “ás vermelho” evento B : sair “copas” O que o problema pede é p ( A / B ), ou seja, a probabilidade de sair “ás vermelho” tendo saído “copas”. evento A : ás de copas , ás de ouros evento B : cartas de copas
Logo, 52 1 p ( A B )= e 52 13 p ( B )=. Portanto: 13 1 52 13 52 1 ( ) ( ) ( / ) = = = pB p A B pA B Ex.: 2 Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha 3 homens, já que a primeira criança que nasceu é homem? Resolução:
Dois eventos A e B de um espaço amostral (com p ( A ) 0 e p ( B ) 0 ) são independentes se e somente se p ( A / B )= p ( A )^ , ou de modo^ equivalente: p ( A B )= p ( A ). p ( B ) Com isso, podemos afirmar que dois eventos A e B são dependentes quando p ( A B ) p ( A ). p ( B ). Ex.: 1 Uma moeda perfeita é lançada duas vezes. Considerando os eventos A : sair cara na 1ª jogada e B : sair cara na 2ª jogada, demonstre que os eventos A e B são independentes. Resolução:
2 1 4 2 A = CC , CK p ( A )= = 2 1 4 2 B = CC , KC p ( B )= = 4 1 A B = CC p ( A B )= Como 2 1 . 2 1 4 1 (^) = , então p ( A B )= p ( A ). p ( B ) Logo, A e B são independentes. Ex.: 2 Consideremos uma cria de cachorros com 3 filhotes. Sejam os eventos A : obtenção de pelo menos dois machos e B : obtenção de pelo menos um de cada sexo. Os eventos A e B são independentes? Por quê? Resolução: m : macho; f : fêmea
2 1 A = mmm , mmf , mfm , fmm p ( A )=
4 3 B = mmf , mfm , fmm , mff , fmf , ffm p ( B )=
8 3 A B = mmf , mfm , fmm p ( A B )= Vemos que 4 3 . 2 1 8 3 = Como p ( A B )= p ( A ). p ( B ), temos que A e B são independentes.
dedução. Ou seja, servem para explicar fenômenos aleatórios de observação através de modelo matemático probabilístico. Para descrever as variáveis discretas usaremos a Distribuição Binomial e as variáveis contínuas a Distribuição Normal. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p. Onde p+q=1. p e q são sempre as mesmas em cada tentativa. Determinares a função de probabilidade da variável X, isto é, P(X=k) 𝑃(𝑋 = 𝑥) = ( 𝑛 𝑘)𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘 Exemplo1: Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras? Exemplo 2: Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a probabilidade de nasçam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos. Exemplo 3: Uma prova tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de acertar metade da prova.
Respostas:
