Probabilidade e Esperança: Conceitos Básicos de Probabilidade Condicional, Notas de estudo de Probabilidade

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Probabilidade e Esperança

Condicional

• (^) Como definir apropriadamente F X ( x | Y = y ) e E( X | Y = y )?
• (^) Duas situações:
  • (^) Y discreto
  • (^) Y contínuo

Caso Discreto

( | ) ( contínua ) ( | ) ( | ) ( discreta ) xf x Y y dx X E X Y y xP X x Y y X X x            ( ) ( , ) ( | ) ( | ) P Y y P X x Y y F x Y y P X x Y y X        

Exemplo

O número de pessoas que visita uma academia diariamente tem distribuição de Poisson com parâmetro l. Cada visitante tem probabilidade p de ser homem, independentemente dos demais visitantes. Qual é a probabilidade de que n homens visitem a academia?

Exemplo

O número mensal de sinistros em uma dada carteira de seguros tem distribuição de Poisson com parâmetro l. O valor de cada sinistro tem distribuição exponencial de média m. Qual é o valor esperado para o total de sinistros pagos em um dado mês?

Propriedades (caso contínuo)

• P( X  B ) =  P( X  B | Y = y ) f

Y ( y ) dy

• (^) F X

( x ) = P( X ≤ x ) = P( X ≤ x | Y = y ) f

Y ( y ) dy

• (^) F X , Y ( x , y ) = P( X ≤ x , Y ≤ y ) =

t  P( X ≤ x | Y = t ) f Y ( t ) dt

• E( X ) = E( X | Y = y ) f

Y ( y ) dy (ou seja, E( X ) = E(E( X | Y ))

Caso contínuo

( | ) lim ( | [ , ]) 0 F x Y y P X x Y y y y y X       

• (^) Caso geral:
• (^) Quando X e Y tem distribuição conjunta contínua: ( ) ( , ) ( | ) , f y f x y f x Y y Y X Y X  

Exemplo

• (^) Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um instante escolhido ao acaso entre 18 horas e meia-noite e desligado em um instante escolhido ao acaso entre o instante em que foi ligado e meia-noite. a) Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite? b) Qual é a probabilidade de que seja desligado depois das 22 horas? c) Qual é a probabilidade de que seja ligado antes da novela e desligado depois?

Exemplo

Se X e Y são independentes e têm densidades f X e f Y , qual é a densidade de X + Y?

Somas e médias de v.a. i.i.d.

Dada uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. X 1

, X

2

, …, X

n , obter a distribuição de: n n

S  X  X ... X

1 2 n X X X n S X n n      ... 1 2

Somas e médias de v.a. i.i.d.

Em geral, é complicado calcular a distribuição exata de S n e X

• (^) Fácil calcular médias e variâncias n n X S n X n X ES nEX n EX EX n n 2 (^21) 1 1 1 Var( ) Var( ) Var( ) , Var( ) ,   m m        

Desigualdade de Markov

Seja X uma variável aleatória tal que X  0 e E X = m. Então, para todo a >0: a m a EX P ( X  a ) 

Desigualdade de Chebyshev

Seja X uma variável aleatória tal que E X = m e Var( X ) =  2

. Então, para todo d > 0: 2 2 2 Var (| | ) d   d  m d  X P X

Lei Forte dos Grandes Números

(Kolmogorov, 1925)

• (^) Sejam X 1

, X

2 , … v.a. i.i.d, com E X 1 = m. Então:

• (^) Em consequência, para todo d > 0: ( lim  )  1  

P X m

n lim (|  | )  0   P X m d n

Observações

Se E|X| = + , então X não é limitada (logo não converge ), com probabilidade 1.

• (^) Exemplos
  • (^) Jogo de São Petersburgo
  • (^) X~Cauchy ( f X ( x ) = 1/(1+ x 2 ))