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1. Uma variável aleatória discreta X tem função densidade de probabilidade dada por: X 1 0 1 2 3 P (X =x 1 ) 1/10 1/5 m 1/ (a) Determine o valor de m. (b) Construa a função distribuição de probabilidade da variável aleatória X. 2. Seja X a variável aleatória que representa o número de computadores vendidos, por dia, numa loja de um Centro Comercial. A função densidade de probabilidade da v.a. X dada por: X 1 0 1 2 3 P (X =x) 1/6 p 1/30 3/ (a) Determine a probabilidade de vender um computador por dia. (b) Calcule P(1 ≤ X < 4); P(X > 2); P(X ≤ 1); P(X > 1/ X < 3). 3. Seja X um v.a. que nos indica o número de automóveis procurados por um dia num certo stand de vendas. A função de probabilidade da v.a. X dada por: X 1 0 1 2 3 4 P (X =x) 1/20 p q 1/3 1/ (a) Sabendo que, em 75% dos dias são procurados pelo menos dois automóveis, calcule p e q. (b) Calcule a probabilidade de virem a ser procurados 3 automóveis, num dia em que as procuras foram em número de pelo menos dois. 4. Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função densidade de probabilidade: X 1 -2 -1 0 1 2 P (X =x) 0,1 0,3 0,1 0,2 0, (a) Calcule E[X] e Var[X]. (b) Determine a função de distribuição de probabilidade de X. (c) Determine a distribui o de probabilidade da variável aleatória Y = X 2. 3-175. Seja a variável aleatória X igualmente provável de ter valores iguais a 1/8, 1/4 e 3/8. Determine a média e a variância de X. 3-176. Seja X o número de bits recebidos com erro em um canal digital de comunicação, e considere que X seja uma variável aleatória binomial com p = 0,001. Se 1.000 bits forem transmitidos, determine o seguinte: (a) P(X = 1)
(b) P(X ≥ 1) (c) P(X ≤ 2) (d) média e variância de X 3-177. Bateladas que consistem em 50 molas helicoidais, provenientes de um processo de produção, são verificadas com relação à conformidade em relação às requisições dos consumidores. O número médio de molas não conformes em uma batelada é igual a cinco. Considere que o número de molas não conformes em uma batelada, denotado por X, seja uma variável aleatória binomial. (a) Quais são os valores de n e p? (b) Qual é P(X ≤ 2)? (c) Qual é P(X ≥ 49)? 3-178. Um carregador automático de cartelas de ovos tem uma probabilidade de 1% de quebrar um ovo, e o consumidor reclamará se mais de um ovo por dúzia for quebrado. Considere que cada carregamento de ovo seja um evento independente. (a) Qual é a distribuição de ovos quebrados por dúzia? Inclua os valores dos parâmetros. (b) Qual é a probabilidade de uma cartela de uma dúzia de ovos resultar em reclamação? (c) Quais são a média e o desvio-padrão do número de ovos quebrados em uma cartela de uma dúzia? 3-179. Um total de 12 células é replicado. DNA, recém-sintetizado, não pode ser replicado novamente até que a mitose esteja completa. Dois mecanismos de controle foram identificados - um positivo e um negativo -, que são usados com igual probabilidade. Considere que cada célula use independentemente um mecanismo de controle. Determine as seguintes probabilidades. (a) Todas as células usam um mecanismo positivo de controle. (b) Exatamente metade das células usa um mecanismo positivo de controle. (c) Mais de quatro, porém menos de sete células usam um mecanismo positivo de controle. 3-180. Uma rede congestionada de computadores tem 1% de chance de perder um bloco de dados, e perdas de blocos são eventos independentes. Uma mensagem de e-mail requer 100 blocos. (a) Qual é a distribuição de blocos de dados que devem ser reenviados? Inclua os valores dos parâmetros. (b) Qual é a probabilidade de no mínimo um bloco ter de ser reenviado? (c) Qual é a probabilidade de dois ou mais blocos terem de ser reenviados? (d) Quais são a média e o desvio-padrão do número de blocos que têm de ser reenviados? (e) Se há 10 mensagens e cada uma contém 100 blocos, qual é a probabilidade de no mínimo uma mensagem requerer que dois ou mais blocos sejam reenviados? 3-181. Em seu caminho matinal, você se aproxima de determinado sinal de trânsito, que está verde 20% do tempo. Suponha que cada manhã represente uma tentativa independente.
(a) Se você chamar 10 vezes, qual será a probabilidade de que exatamente nove de suas chamadas sejam respondidas dentro de 30 segundos? (b) Se você chamar 20 vezes, qual será a probabilidade de que no mínimo 16 chamadas sejam respondidas em menos de 30 segundos? (c) Se você chamar 20 vezes, qual será o número médio de chamadas que serão respondidas em menos de 30 segundos? 3-188. A probabilidade de sua chamada para uma linha de serviço ser respondida em menos de 30 segundos é 0,75. Considere que suas chamadas sejam independentes. (a) Qual é a probabilidade de você ter de chamar quatro vezes para obter a primeira resposta em menos de 30 segundos? (b) Qual é o número médio de chamadas até que você tenha respondido em menos de 30 segundos? 3-189. A probabilidade de sua chamada para uma linha de serviço ser respondida em menos de 30 segundos é 0,75. Considere que suas chamadas sejam independentes. (a) Qual é a probabilidade de você ter de chamar seis vezes de modo que duas de suas chamadas sejam respondidas em menos de 30 segundos? (b) Qual é o número médio de chamadas para obter duas respostas em menos de 30 segundos? 3-190. O número de mensagens enviadas para um boletim em um computador é uma variável aleatória de Poisson, com uma média de cinco mensagens por hora. (a) Qual é a probabilidade de cinco mensagens chegarem em uma hora? (b) Qual é a probabilidade de 10 mensagens chegarem em 1,5 hora? (c) Qual é a probabilidade de menos de duas mensagens chegarem em meia hora? 3-191. Um site da internet é operado por quatro servidores idênticos. Somente um deles é usado para operar o site; os outros são sobressalentes, que podem ser ativados no caso de o servidor ativo falhar. A probabilidade de uma solicitação ao site da internet gerar uma falha no servidor ativo é de 0,0001. Suponha que cada solicitação seja uma tentativa independente. Qual é o tempo médio até a falha de todos os quatro computadores? 3-192. O número de erros em um livro-texto segue uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,01 erro por página. Qual é a probabilidade de haver três ou menos erros em 100 páginas? 3-193. A probabilidade de um indivíduo se recuperar de uma doença em um período de uma semana, sem tratamento, é de 0,1. Suponha que 20 indivíduos independentes, sofrendo dessa doença, sejam tratados com uma droga e quatro se recuperem em um período de uma semana. Se a droga não tiver efeito, qual será a probabilidade de quatro ou mais pessoas se recuperarem no período de uma semana?
3-194. A resposta de um paciente a um medicamento genérico para controlar dor é pontuada em uma escala de cinco pontos, em que o 5 indica alívio completo. Historicamente, a distribuição de pontos é 1 2 3 4 5 0,05 0,1 0,2 0,25 0, Dois pacientes, considerados independentes, são pontuados. (a) Qual é a função de probabilidade da pontuação total? (b) Qual é a função de probabilidade da pontuação média? 3-195. Em um processo de fabricação que lamina várias camadas de cerâmica, 1% dos arranjos tem defeitos. Considere que os arranjos sejam independentes. (a) Qual é o número médio de arranjos que necessitam ser verificados, de modo a se obter cinco arranjos com defeitos? (b) Qual é o desvio-padrão do número de arranjos que necessitam ser verificados, de modo a se obter cinco arranjos com defeitos? (c) Determine o número mínimo de arranjos que necessita ser verificado de modo que a probabilidade de no mínimo um arranjo com defeito exceda 0,95. 3-196. Considere o circuito do Exemplo 2-35. Suponha que os dispositivos falhem de forma independente. Qual é a probabilidade de dois ou menos dispositivos falharem? 3-197. Determine a constante c de modo que a seguinte função seja a função de probabilidade: f(x) = cx, para x = 1, 2, 3, 4. 3-198. Um fabricante de produtos eletrodomésticos espera que 2% das unidades falhem durante o período de garantia. Uma amostra de 500 unidades independentes é rastreada para desempenho de garantia. (a) Qual é a probabilidade de que nenhuma falhe durante o período de garantia? (b) Qual é o número esperado de falhas durante o período de garantia? (c) Qual é a probabilidade de que mais de duas unidades falhem durante o período de garantia? 3-199. Mensagens que chegam em uma central de serviços de um fabricante de sistemas de informação foram classificadas com base no número de palavras-chave (usadas para ajudar o rastreamento de mensagens) e no tipo de mensagem - e-mail ou voz. Além disso, 70% das mensagens chegam por e-mail, e o resto é voz.
3-204. Um técnico de instalação de um sistema especializado de comunicação é enviado para uma cidade, somente quando existirem três ou mais ordens de serviço. Suponha que as ordens de serviço sigam a distribuição de Poisson, com uma média de 0,25 por semana, para uma cidade com uma população de 100.000, e suponha que sua cidade contenha uma população de 800.000. (a) Qual é a probabilidade de que um técnico seja requisitado depois de um período de uma semana? (b) Se você for o primeiro na cidade a solicitar uma ordem de serviço, qual será a probabilidade de que você tenha de esperar mais de duas semanas, a partir do tempo da solicitação da ordem de serviço, até que o técnico seja despachado? 3-205. De 500 consumidores, um grande fabricante de aparelhos eletrônicos selecionará aleatoriamente uma amostra sem reposição. A companhia estima que 25% dos consumidores fornecerão dados úteis. Se essa estimativa for correta, qual é a função de probabilidade do número de consumidores que fornecerão dados úteis? (a) Considere que a companhia amostra cinco consumidores. (b) Considere que a companhia amostra 10 consumidores. 3-206. Suspeita-se de que alguns dos reservatórios de produtos químicos comprados de um fornecedor excedam o conteúdo padrão de umidade. Amostras de 30 reservatórios devem ser testadas em relação ao teor de umidade. Considere os reservatórios como independentes. Determine a proporção de reservatórios provenientes do fornecedor que têm de exceder o teor padrão de umidade, de modo que a probabilidade seja 0,90 de no mínimo um reservatório falhar no teste em uma amostra com 30 reservatórios. 3-207. Mensagens chegam a um servidor de computadores, de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de 10 por hora. Determine o tamanho de um intervalo de tempo, tal que 0,90 seja a probabilidade de nenhuma mensagem chegar durante esse intervalo. 3-208. Falhas ocorrem no interior de plástico usado em automóveis, seguindo uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,02 falha por painel. (a) Se 50 painéis forem inspecionados, qual será a probabilidade de que não haja falhas? (b) Qual é o número esperado de painéis que necessitam ser inspecionados antes que uma falha seja encontrada? (c) Se 50 painéis forem inspecionados, qual será a probabilidade de que o número de painéis que tenham duas ou mais falhas seja menor que ou igual a 2? 3-209. Cactos Saguaro são grandes cactos indígenas do sudoeste dos Estados Unidos e do México. Admita que o número de cactos em uma região siga uma distribuição de Poisson com uma média de 280 por quilômetro quadrado. Determine o seguinte: (a) Número médio de cactos por 10.000 metros quadrados. (b) A probabilidade de nenhum cacto em 10.000 metros quadrados.
(c) A área de uma região tal que a probabilidade de no mínimo dois cactos na região seja 0,9. 3-210. Suponha que 50 locais em um paciente contenham lesões. Uma biópsia seleciona oito locais aleatoriamente (sem reposição). Qual é o número mínimo de locais com lesões, de modo que a probabilidade de no mínimo um ser selecionado contendo lesões é maior do que ou igual a 0,95? Refaça para o caso de maior que ou igual a 0,99.
