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2.6 Transformação Homogênea
A transformação homogênea é um método prático e compacto de definir uma transformação de coordenadas, englobando em uma única matriz, tanto a transformação de translação como a de rotação.
Define-se os vetores homogêneos P e P 1 , de dimensão 4x1, como abaixo:
P = ( p (^) x , p (^) y , p (^) z , 1 ) t^ , e P 1 = ( p (^) x 1 , p (^) y 1 , p (^) z 1 , 1 ) t^ ,
onde px , py e pz são as coordenadas de um ponto P fixo no espaço. Define-se também, a matriz homogênea, A , de dimensão 4x4;
A =
R x 0 1
Assim, os vetores p e p 1 são aumentados pela adição do número “1” como um quarto elemento, resultando em vetores 4x1, e a matriz de rotação R é estendida para uma matriz 4x pela combinação do vetor x 0 e da quarta linha, composta de zeros e um. Assim, a equação, que define uma transformação de coordenadas,
p = x 0 + Rp 1 , (2-6.1)
fica escrita em termos dos vetores e matriz homogêneos, da seguinte forma:
P = AP 1 , (2-6.2)
ou seja,
p 1
R x 0 1
0 p 1 1
Note que a matriz A representa tanto a posição e a orientação do sistema O 1 -x 1 y 1 z 1 em relação ao sistema O-xyz. A transformação de coordenadas dada pela equação acima é chamada de transformação homogênea.
De forma geral, a matriz homogênea é composta da seguinte forma:
A
i 1 j 1 k 1 x 0
⎣⎢^
onde, i 1 , j 1 e k 1 são os versores do sistema transformado descritos em relação ao sistema original e x 0 é o vetor posição do sistema transformado descrito em relação ao sistema original. Observa-se que, o que vale para matrizes de rotação, em relação à ordem de multiplicação, também vale para matrizes homogêneas.
A vantagem da transformação homogênea é a sua forma compacta de representação, que é conveniente para representar transformações consecutivas. Seja O 2 -x 2 y 2 z 2 um outro
sistema de coordenadas, e p 2 as coordenadas do ponto P em relação a este sistema. A relação entre p 2 e p 1 é dada por:
p 1 = x 1 + R'p 2 , (2-6.3)
onde x 1 é a distância entre O 1 e O 2 e R' é a matriz de rotação entre os sistemas O 1 -x 1 y 1 z 1 e O 2 -x 2 y 2 z 2. Para representar as duas transformações consecutivas, do sistema O-xyz para o sistema O 1 -x 1 y 1 z 1 e deste para o sistema O 2 -x 2 y 2 z 2 , tem-se que substituir a eq. (2-6.3) na eq. (2-6.1), resultando no seguinte:
p = x 0 + Rx 1 + RR'p 2. (2-6.4)
Existem agora, portanto, três termos no lado direito da eq. (2-6.4) e à medida que aumenta o número de transformações, aumenta o número de termos no lado direito. A transformação homogênea fornece uma maneira compacta de representar diversas transformações de coordenadas por um único termo. Considere n transformações consecutivas do sistema n para o sistema 0. Seja a matriz associada com a transformação homogênea do sistema i para o sistema i-1 , então o vetor posição P
A (^) ii − 1 n no sistema^ n^ é transformado em^ P 0 no sistema^^0 por,
P 0 = A A^10 12 ... A (^) n-1n Pn = A P 0 n n
t p
Assim, transformações consecutivas são descritas de maneira compacta, por um único termo.
A transformação homogênea inversa pode ser obtida invertendo-se a eq. (2-6.1), como se segue:
p 1 = − R t^ x 0 + R , (2-6.6)
que escrevendo de forma matricial, com os vetores e matriz homogêneos P , P 1 e A , fica:
P 1 = A −^1 P^ , (2-6.7)
onde,
A
R R
t t (^) x 1
Exemplo 2.4: Ache a matriz homogênea que representa a rotação de um ângulo α em
torno do eixo x , seguida de uma translação de uma distância b ao longo do eixo x , seguida de uma translação de uma distância d ao longo do eixo z , seguida de um rotação
de um ângulo θ sobre o eixo z.
A matriz homogênea que representa esta sequência de transformações é obtida multiplicando-se as matrizes homogêneas de cada transformação, na ordem em que são realizadas. Dessa forma, tem-se o seguinte:
Além disso, também na Figura 2-15 é fornecido um esquema do posicionamento do sistema de coordenadas fixo à garra do robô. Assim, pede-se calcular os seguintes itens:
a) A posição do centro do objeto e a sua orientação em relação ao sistema de coordenadas fixo à base do robô.
b) A orientação e posição da garra do robô para que a mesma pegue o objeto por cima e com o seu eixo y paralelo ao eixo y do objeto.
Resolução:
a) Para se obter a posição e a orientação do objeto, em relação ao sistema fixo à base do robô, tendo-se a transformação dos sistema fixo no objeto em relação ao sistema da câmera e a transformação do sistema da base do robô em relação ao sistema da câmera, basta manipular as matrizes homogêneas da seguinte forma:
A baseobjeto = A basecamera ⋅ A cameraobjeto = ( A camerabase ) ⋅ A cameraobjeto
onde, a inversa da transformação da câmera para a base do robô pode ser obtida aplicando-se a eq. (4-69), na matriz A (^) camerabase , que resulta na matriz abaixo,
A (^) basecamera^ =
Introduzindo-se a matriz acima na expressão anterior obtém a posição e orientação do objeto em relação à base do robô, ou seja,
A (^) baseobjeto^ =
b) Para que o eixo z da garra coincida com o eixo z do objeto, porém com sentido oposto, ele deve ser descrito em relação ao sistema da base do robô pelo vetor ( 0,0,-1 ) t, que é a terceira coluna na matriz homogênea calculada no item (a). Para que o eixo y da garra coincida com o eixo y do objeto, porém com qualquer sentido, deve ser dado pelo vetor ( ±1,0,0 ) t. Conhecendo-se os eixos z e y da garra, o seu eixo x pode ser facilmente obtido, de forma que o sistema da garra siga a regra da mão direita, ou seja,
x = y × z ⇒ ± −
det = ⋅ ± ⋅ + ⋅
i j k 1 0 0 i j k 0 0 1
Obviamente que para pegar o objeto a posição da garra deve ser igual à posição do objeto. Assim, pode-se escrever a posição e orientação da garra em relação ao sistema da base do robô, como a seguinte transformação homogênea:
A (^) basegarra^ = (^) −
ou,.
