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3.1 A CircunferÍncia
3.1A Obtenha a equaÁ„o e esboce o gr·Öco da circunferÍncia caracterizada por: (a) Centro C ( 2 ; 1) e raio r = 5; (b) Passa pelos pontos A (5; 1) ; B (4; 2) e C ( 2 ; 3) ; (c) Inscrita no tri‚ngulo determinado pelas retas 4x 3 y = 65; 7 x 24 y +55 = 0 e 3 x+4y = 5; (d) O centro est· sobre a reta y = x 1 e corta o eixo x nos pontos A ( 1 ; 0) e B (3; 0) ; (e) Passa pelos pontos A (1; 2) e B (1; 2) e tem raio r = 2; (f) Circunscrita ao tri‚ngulo formado pelas retas x + y = 8; 2 x + y = 14 e 3 x + y = 22; (g) Um di‚metro È o segmento que une os pontos A (0; 1) e B ( 2 ; 3) :
3.1B Determine a equaÁ„o da circunferÍncia de raio 5 ; tangente ‡ reta 3 x + 4y = 16 no ponto A (4; 1) :
3.1C Determine a equaÁ„o da circunferÍncia de centro C ( 2 ; 3) e tangente ‡ reta 20 x 21 y =
3.1D Calcule o comprimento da corda da circunferÍncia x^2 + y^2 = 25 que jaz sobre a reta x 7 y + 25 = 0:
3.2 A Elipse
3.2A Uma haste de 30 cm move-se com seus extremos apoiados em dois Öos perpendiculares. IdentiÖque o lugar geomÈtrico descrito pelo ponto mÈdio da haste.
3.2B Encontre a equaÁ„o, os elementos principais (focos, vÈrtices, excentricidade, centro e eixos) e esboce o gr·Öco da elipse caracterizada por: (a) Focos F 1 (3; 0), F 2 ( 3 ; 0) e soma dos raios focais igual a 12; (b) Dois vÈrtices em A 1 (3; 4) e A 2 (3; 4) e dist‚ncia focal igual a 4; (c) VÈrtices em A 1 ( 5 ; 0) ; A 2 (5; 0) ; B 1 (0; 4) e B 2 (0; 4) ;
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(d) Focos sobre o eixo y, dist‚ncia focal igual a 8 e excentricidade e = 2= 3 ; (e) Centro C (2; 1) e passa nos pontos A ( 3 ; 1) e B (2; 3) ; (f) Focos F 1 ( 2 ; 2), F 2 (2; 2) e soma dos raios focais igual a 12.
3.2C Determine a equaÁ„o e a excentricidade da elipse que tem seu centro na origem, um dos vÈrtices no ponto B 1 (0; 7) e passa no ponto A(p 5 ; 14 =3):
3.2D Determine as retas tangentes ‡ elipse x
2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1^ com declividade^ m^ = 1:^ [resp. y = x pb^2 + a^2 ]:
3.2E Um arco tem a forma de uma semi-elipse com 48 metros de largura na base e 20 metros de altura. Determine o comprimento de uma viga colocada a 10 metros da base, paralelamente a mesma.
3.2F O teto de um corredor de 20 m de largura tem a forma de uma semi-elipse e a altura no centro È 18 m. Se a altura das paredes laterais È 12 m, determine a altura do teto a 4 m de uma das paredes.
3.2G IdentiÖque o lugar geomÈtrico dos pontos P (x; y) cuja soma das dist‚ncias aos pontos F 1 (4; 1) e F 2 (4; 7) È igual a 12.
3.2H Determine a equaÁ„o da elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados e que passa nos pontos A ( 6 ; 4) ; B ( 8 ; 1) ; C (2; 4) e D (8; 3) :
3.2I Determine o centro e os focos da elipse 9 x^2 + 16y^2 36 x + 96y + 36 = 0:
3.2J Determine a interseÁ„o entre a elipse de vÈrtices ( 5 ; 0) e (0; 1) e a circunferÍncia x^2 + y^2 = 4:
3.2H A Ögura ao lado mostra a elipse x
2 a^2 +^
y 2 b^2 = 1, com focos nos pontos F 1 e F 2. Mostre que a reta normal ‡ elipse no ponto P (x; y) È bissetriz do ‚ngulo F 1 P F 2. (sug.: a declividade da reta normal È mN = a
(^2) y b^2 x ).
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3.24 Se È o ‚ngulo agudo de inclinaÁ„o de uma assÌntota da hipÈrbole x
2 a^2 ^
y^2 b^2 = 1, mostre que a excentricidade da hipÈrbole È sec :
3.25 Esboce no mesmo sistema de coordenadas as curvas x^2 y^2 = k para os seguintes valores de k : 2 ; 1 ; 0 ; 1 e 2
3.4 A Par·bola
3.4A Encontre a equaÁ„o, os elementos principais (foco, vÈrtice, excentricidade, eixo e diretriz ) e esboce o gr·Öco da par·bola caracterizada por: (a) Foco F (3; 0) e diretriz r : x + 3 = 0; (b) Foco F (0; 2) e diretriz r : y = 2; (c) Foco F ( 2 ; 0) e diretriz r : x = 4; (d) Foco F ( 4 ; 1) e diretriz r : y = 3; (e) VÈrtice V (2; 0) e foco F (0; 0) ; (f) VÈrtice V (4; 1), eixo focal r : y = 1 e passa no ponto P (3; 3) ; (g) Foco F (0; 0) e diretriz r : x + y = 2; (h) VÈrtice V ( 2 ; 3) e foco F (1; 3) ; (i) Eixo paralelo ao eixo y e passa nos pontos A (4; 5) ; B ( 2 ; 11) e C ( 4 ; 21) ; (j) VÈrtice na reta 2 y 3 x = 0, eixo paralelo ao eixo x e passa nos pontos A (3; 5) e B (6; 1) :
3.27 Mostre que a circunferÍncia com centro no ponto C (4; 1) e que passa no foco da par·bola x^2 + 16y = 0 È tangente ‡ diretriz da par·bola.
3.28 IdentiÖque o lugar geomÈtrico descrito pela trajetÛria de uma partÌcula em movimento, onde a dist‚ncia da partÌcula ‡ reta r : x + 3 = 0 È sempre duas unidades maior que sua dist‚ncia ao ponto (1; 1) :
3.5 CÙnicas Gerais
3.5A Determine os valores de m e q de modo que a equaÁ„o x^2 + qy^2 + 2mx = 1 represente:
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(a) uma circunferÍncia (b) uma elipse (c) uma par·bola (d) uma hipÈrbole (e) uma reta (f) duas retas (g) o conjunto vazio (h) um ponto 3.30 Seja l a reta de equaÁ„o x = 2 e considere o ponto F ( 1 ; 0). IdentiÖque o lugar geomÈtrico dos pontos P (x; y) tais que jj F P ! jj = e dist(P ; l); sendo: (a) e = 1; (b) e = 1= 2 e (c) e = 2:
3.5.1 A EquaÁ„o Geral do 2o^ Grau em 2 Vari·veis
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 (3.1) A equaÁ„o geral do 2o^ grau (3.1) pode representar qualquer uma das cÙnicas (circunferÍncia, elipse, hipÈrbole ou par·bola) mas tambÈm pode representar um reta ou um par de retas. Tudo depende dos valores dos coeÖcientes A; B; C; D; E e F: Para identiÖcar a natureza da cÙnica podemos usar a rega pr·tica do identiÖcador . De fato: suponhamos que uma determinada cÙnica seja descrita pela equaÁ„o (3.1) e seja = B^2 4 AC. (i) Se = 0, ent„o a cÙnica È uma par·bola; (ii) Se < 0 , ent„o a cÙnica È uma elipse; (iii) Se > 0 , ent„o a cÙnica È uma hipÈrbole. A ˙nica informaÁ„o que essa regra nos d· È sobre a natureza da cÙnica. Uma maneira mais eÖciente de identiÖc·-la consiste em efetuar mudanÁas de coordenadas (translaÁ„o e/ou rotaÁ„o) e escrever a equaÁ„o na forma padr„o:
CircunferÍncia: (x x 0 )^2 + (y y 0 )^2 = R^2 Elipse: (x^ ^ x^0 )
2 a^2 +
(y y 0 )^2 b^2 = 1 Par·bola: x^2 = 4py ou y^2 = 4px HipÈrbole: (x^ ^ x^0 )
2 a^2 ^
(y y 0 )^2 b^2 = 1 De forma geral, podemos dizer que a translaÁ„o "elimina"os termos Dx e Ey do 1o^ grau, enquanto a rotaÁ„o tem a Önalidade de "eliminar"o termo Bxy da equaÁ„o. A seguir apresentamos de modo sucinto como essas operaÁıes atuam na equaÁ„o da cÙnica. Do ponto de vista geomÈtrico, s„o necess·rios 5 pontos para se determinar uma cÙnica e, no caso da par·bola, 4 pontos s„o suÖcientes, tendo em vista a equaÁ„o B^2 AC = 0: Se, por exemplo, A 6 = 0 ent„o a equaÁ„o (3.1) se reduz a x^2 + B^0 xy + C^0 y^2 + D^0 x + E^0 y + F 0 = 0, onde B^0 = B=A; C^0 = C=A ...etc, e essa ˙ltima equaÁ„o contÈm 5 coeÖcientes a determinar.
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e na forma matricial, obtemos: 2 4 x y
4 cos^ ^ sen^ sen cos
4 x y
A matriz A =
4 cos^ ^ sen^ sen cos
(^5) È denominada matriz de rotaÁ„o.
Exemplo 2 ApÛs uma rotaÁ„o de = = 4 , as coordenadas do ponto P (1; 1) ser„o x = 2 e y = 0: De fato: (^2)
4 x y
p 2 = 2 p 2 = 2 p 2 = 2 p 2 = 2
p 2 0
Exemplo 3 Uma hipÈrbole eq¸il·tera Vejamos como atua uma rotaÁ„o de = 4 sobre a equaÁ„o xy = 1: Usando as equaÁıes de mudanÁa: x = x cos y sen y = x sen + y cos ;
com = = 4 , encontramos x =
p 2 2 x^
p 2 2 y^ e^ y^ =
p 2 2 x^ +
p 2 2 y^ e a equaÁ„o^ xy^ = 1^ se transforma em: x^2 2 ^
y^2 2 = 1
que representa a hipÈrbole eq¸il·tera.
3.5.4 O ¬ngulo de RotaÁ„o
Analisemos a equaÁ„o geral do 2o^ grau (3.1) em dois casos.
Caso 1 B = 0 e A ou C n„o nulo
Nesse caso, a equaÁ„o (3.1) se reduz a
Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 (3.2)
e uma simples translaÁ„o (completamento de quadrados) leva a equaÁ„o ‡ forma padr„o. Note que em (3.2) os coeÖcientes A e C n„o s„o ambos nulos, de modo que a equaÁ„o pode representar qualquer uma das cÙnicas.
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Caso 2 B 6 = 0
Esse È o caso onde È necess·rio efetuar uma rotaÁ„o no sistema de coordenados, de modo a eliminar o termo Bxy da equaÁ„o original. A partir daÌ, o problema se reduz ao caso anterior. A rotaÁ„o de um ‚ngulo nos leva ‡s relaÁıes j· estabelecidas:
x = x cos y sen y = x sen + y cos ;
e levando os valores de x e y na equaÁ„o (3.1), obtemos:
A x^2 cos^2 + y^2 sin^2 2 x y sen cos ^ + B x^2 sen cos + xy cos^2 x y sin^2 y^2 sen cos ^ + +C x sin^2 + y^2 cos^2 + 2x y sen cos ^ + D (x cos y sen ) + E (x sen + y cos ) + F = 0
isto È: A cos (^2) + C sin (^2) + B sen cos (^) x (^2) + 2 A sen cos + B cos (^2) sin (^2) (^) + 2C sen cos (^) x y+
- A sin^2 + C cos^2 B sen cos ^ y^2 + R (; x; y) = 0;
onde o resto R (; x; y) n„o envolve os termos do 2o^ grau : x^2 ; y^2 ou x y: Para eliminarmos na ˙ltima express„o o termo misto x y È suÖciente considerarmos
2 A sen cos + B cos^2 sin^2 ^ + 2C sen cos = 0
e efetuando a simpliÖcaÁ„o encontramos:
cotg 2 = A^ B^ C; (3.3)
que È o ‚ngulo procurado. Exemplo 4 Quando consideramos no exemplo precedente o ‚ngulo de rotaÁ„o = = 4 para identiÖcar a cÙnica xy = 1, tÌnhamos em mente a express„o (3.3). Para a equaÁ„o xy = 1 temos B = 1; F = 1 e os outros coeÖcientes A; C; D e E iguais a zero e, portanto, cotg 2 = 0. Logo, 2 = = 2 e = = 4 :
3.31 Por meio de uma translaÁ„o escreva a equaÁ„o da cÙnica na forma padr„o e identiÖque seus elementos principais.
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rotaÁ„o, se necess·rio for, podemos admitir que o eixo x È a reta que passa pelo foco, perpendic- ularmente ‡ reta q l; e que o eixo y È a reta l. Assim, o foco È F (c; 0) e a equaÁ„o (3.4) nos d· (x c)^2 + y^2 = e jxj ou seja: 1 e 2 (^) x (^2) + y (^2) 2 cx + c (^2) = c (^2) : (3.5)
De acordo com o valor de e, a equaÁ„o (3.5) pode representar uma par·bola, uma elipse ou uma hipÈrbole. Por exemplo, a cÙnica com um foco F (0; 0), diretriz l : x = 5 = 2 e excentricidade e = 2= 3 È a elipse de equaÁ„o: p x^2 + y^2 =^23 jx + 5= 2 j ;
isto È, 5 x^2 + 9y^2 20 x = 25:
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Respostas e Sugestıes
3.1 (a) (x + 2)^2 + (y 1)^2 = 25 (b) (x 1)^2 + (y + 2)^2 = 25 (c) x^2 + y^2 20 x + 75 = 0 (d) (x 1)^2 + y^2 = 4 (e) (x 1)^2 + y^2 = 4 (f) x^2 + y^2 6 x + 4y = 12 (g) (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 2 3.2 (x 7)^2 + (y 5)^2 = 25 e (x 1)^2 + (y + 3)^2 = 25 3.3 x^2 + y^2 + 4 x 6 y = 12 3.4 5 p 2 3.5 Um arco da circunferÍncia x^2 + y^2 = 225 3.6 (a) x^2 =36 + y^2 =27 = 1; A ( 6 ; 0) ; B(0 p27); C (0; 0) e e = 1= 2 (b) (x 3)^2 =12 + y^2 =16 = 1; B(p 27 ; 0); F (3; 2); C (3; 0) ee = 1= 2 (c) x^2 =256 + y^2 =16 = 1; F ( 3 ; 0) ; C (0; 0) e e = 3= 5 (d) x^2 =20+(y y 0 )^2 =36 = 1 (e) (x 2)^2 =25+(y + 1)^2 =16 = 1; A 1 (7; 1) ; A 2 ( 3 ; 1) ; B 1 (2; 3) ; B 2 (2; 5); F 1 F 2 ( 2 ; 1) ; C (2; 1) e e = 3= 5 (f) 8 x^2 + 8y^2 2 xy = 212 3.7 x
2 9 +^
y^2 p^49 = 1;^ e^ = 41 14 3.9^24
p 3 3.10 84 = 5 m 3.11 A elipse (x 4)^2 36 +
(y 3)^2 20 = 1^ 3. (x 2)^2 100 +
(y 1)^2 25 = 1^ 3.13^ Centro^ C^ (2;^ 3)^ e Focos^ F^ (2
p 7 ; 3) 3.14 x = 5 =p 8 ; y =
p 7 = 8 3.16 (a) x
2 9 ^
y^2 16 = 1;^ V^ (^3 ;^ 0) ;^ C^ (0;^ 0) ;^ e^ = 5=3;^ y^ =^ ^4 x=^3 (b)^
4 (y + 1)^2 25 4 (x 2)^2 119 = 1;^ V^1 (2;^3 =2) ;^ V^2 (2;^7 =2)^ C^ (2;^ 1) ;^ e^ = 12=5;^ y^ =^ ^5 x=
p 119 (c) (y 3)^2 16 (x 2)^2 20 = 1;^ F^1 (2;^ 3) ;^ F^2 (2;^ 9)^ C^ (2;^ 3) ;^ y^ =^ x=^5 (d)^ y
(^2) 4 x (^2) = 4; F (0; p5); C (0; 0) ; e = p 5 = 2 (e) xy 4 y = 2 3.17 A = 12 3.18 A hipÈrbole 4 x (^2) y (^2) = 36 3.19 x^2 36 ^
y^2 64 = 1 3.20 A hipÈrbole 9 x^2 + 8xy 13 y^2 x + 19y = 22 3.21 e = p 13 = 3 ; C (1; 2) ; F (1; 2 p13) e assÌntotas: 3 x + 2y = 1 e 3 x 2 y = 7 3.22 13 e 5 3.23 9 x^2 25 ^
9 y^2 225 = 1;^ y^ =^ ^3 x 3.35 3. (a) y^2 = 12x, V = (0; 0) (b) x^2 = 8 x; V = (0; 0) (c) y^2 = 12(x 1); V = (1; 0) (d) (x + 4)^2 = 4(y 2); V = ( 4 ; 2) (e) y^2 = 8(x 2), diretriz x = 4 (f) (y + 1)^2 = 4(x 4); F = (3; 1), diretriz x = 5 (g) x^2 + y^2 2 xy + 4x + 4y = 4 (h) y^2 6 y 12 x 15 = 0 (i) x^2 4 x 2 y + 10 = 0 (j) y^2 6 y 4 x + 17 = 0
3.28 A par·bola (y 3)^2 + x = 10 3.29 (a) Se q = 1 a equaÁ„o representa a circunferÍncia
