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Exerc´ıcios Resolvidos: Assintota Horizontal
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Atualizado em 06/03/
Como Encontrar?
Primeiro passo: Calcule lim x→+∞
f (x);
Segundo passo: Calcule lim x→−∞
f (x).
Se o primeiro limite existir e for igual a a (a ∈ R) ent˜ao a fun¸c˜ao possui uma assintota
horizontal passando por (0, a).
Se o segundo limite existir e for igual a b (b ∈ R) ent˜ao a fun¸c˜ao possui uma assintota
horizontal passando por (0, b).
Exemplo 1: Encontre a(s) ass´ıntota(s) horizontal(ais) da fun¸c˜ao f (x) =
x 2 − 1
x^2 + 1
Solu¸c˜ao
Primeiro calculamos lim x→∞
f (x)
lim x→∞
x 2 − 1
x^2 + 1
= lim x→∞
x^2
1 +
x^2
Assim f(x) possui assintota horizontal em y = 1.
Agora fazemos lim x→−∞
f (x)
lim x→−∞
x^2 − 1
x^2 + 1
= lim x→−∞
x^2
1 +
x^2
Como ambos os limites s˜ao iguais ent˜ao a fun¸c˜ao f (x) possui somente uma assintota horizon-
tal, que como j´a dito passa em y = 1.
− 5. − 4. − 3. − 2. − 1. 1. 2. 3. 4.
− 3.
− 2.
− 1.
0
Gr´afico de f(x) =
x^2 − 1 x^2 + 1
Exemplo 2: Encontre a(s) ass´ıntota(s) horizontal(ais) da fun¸c˜ao f (x) =
3 x 2 − x − 2
5 x^2 + 4x + 1
Solu¸c˜ao
Primeiro calculamos lim x→∞
f (x) dividindo numerador e denominador da fun¸c˜ao por x 2 .
lim x→∞
3 x^2 − x − 2
5 x^2 + 4x + 1
= lim x→∞
3 − (1/x) − (2/x 2 )
5 + (4/x) + (1/x^2 )
Assim f(x) possui assintota horizontal em y = 3/5.
Calculando lim x→−∞
f (x) chega-se ao mesmo resultado. Concluindo que a assintota encontrada
´e ´unica.
lim x→−∞
2 x^2 + 1
3 x − 5
= lim x→−∞
√^1 x^2
2 x^2 + 1
√^1 x^2
(3x − 5)
= lim x→−∞
2 − (1/x^2 )
(3x/|x|) − (5/|x|)
Como x → −∞ ent˜ao |x| = −x.
lim x→−∞
2 − (1/x^2 )
(− 3 x/x) + (5/x)
= lim x→−∞
2 − (1/x^2 )
−3 + (5/x)
lim x→−∞
(2) + lim x→−∞
(1) · lim x→−∞
x
lim x→−∞
(−3) − lim x→−∞
(5) · lim x→−∞
x
Assim a fun¸c˜ao f(x) possui uma segunda assintota passando pelo ponto (0, −
− 7. − 6. − 5. − 4. − 3. − 2. − 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
− 4.
− 3.
− 2.
− 1.
0 f
g
h
Gr´afico da fun¸c˜ao f(x) com suas duas ass´ıntotas.
Exemplo 4: Encontre a(s) ass´ıntota(s) horizontal(ais) da fun¸c˜ao f (x) =
x^2 + 1 − x
Solu¸c˜ao
Primeiro calculamos lim x→∞
x^2 + 1 − x
= lim x→∞
x^2 + 1 − x
x^2 + 1 + x √ x^2 + 1 + x
= lim x→∞
(x^2 + 1) − x^2 √ x^2 + 1 + x
= lim x→∞
x^2 + 1 + x
Finalmente divide-se denominador e numerador por
x^2.
= lim x→∞
x^2 √ (x^2 /
x^2 ) + (1/x^2 ) + (x/
x^2 )
= lim x→∞
1 /|x| √ 1 + (1/|x|) + (x/|x|)
Como x → ∞ ent˜ao |x| = x.
= lim x→∞
1 /x √ 1 + (1/x) + (x/x)
= lim x→∞
1 /x √ 1 + (1/x) + 1
Assim f(x) possui assintota horizontal em y = 0.
Calculando lim x→−∞
f (x) chega-se ao mesmo resultado. Concluindo que a assintota encontrada
´e ´unica.
Exemplo 5: Encontre a(s) ass´ıntota(s) horizontal(ais) da fun¸c˜ao f (x) =
x √ x^2 + 1
Solu¸c˜ao
Primeiro calcula-se lim x→∞
f (x) dividindo numerador e denominador de f(x) por
x^2
lim x→∞
x √ x^2 + 1
lim x→−∞
lim x→−∞
(1) − lim x→−∞
x
) =^
Assim f(x) possui uma segunda ass´ıntota horizontal em y = −1.
− 4. − 3. − 2. − 1. 1. 2. 3.
− 2.
− 1.
0
f
g
h
Gr´afico de f(x) com suas duas ass´ıntotas
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para [email protected] para que possa ser feito a devida corre¸c˜ao.
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