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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE BACHARELADO EM FÍSICA DA UFPE
Aula 15 – 23 de abril de 2018
Sumário
Dielétricos ou Isolantes.................................. 1
(a) Dipolos Induzidos................................ 2
(b) Dipolos Permanentes.............................. 6
Polarização Elétrica.................................... 6
Interpretação física das cargas ligadas......................... 11
Bibliografia:
- David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3
rd
Edition, Prentice Hall, New
Jersey (1999) §4.1 e 4.
- Jonh Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy, Foundation of Electromagnetic
Theory, 4
rd Edition, Addison Wesley (1967) §4.
Eletrostática em Meios Dielétricos I
Objetivo:
- Estudar a Eletrostática em meios dielétricos.
- Polarização Elétrica e Vetor Deslocamento Elétrico.
Dielétricos ou Isolantes
Em um meio material (sólido, líquido ou gasoso) isolante ou dielétrico as cargas – sejam
elétrons ou ions positivos – estão de certa forma associadas ou ligadas aos átomos e/ou
moléculas e não podem transitar livremente pelo material, tendo seu movimento restrito às
vizinhanças dos seus respectivos centros de força. Ao contrário, nos meios materiais di-
tos condutores as cargas (eletrons ou íons) podem se deslocar em distâncias maiores que as
distâncias interatômicas formando correntes de cargas elétricas. A distinção entre os compor-
tamentos dielétrico ou condutor depende, em geral, do valor campo elétrico externo aplicado
ao meio. A maioria dos materiais possuem um campo elétrico limite acima do qual o material
se torna condutor, dito campo de ruptura dielétrica ou rigidez dielétrica. Esse campo é dado
em unidades de kV/mm porque é estimado em função da espessura da camada do material
usado no experimento. Na tabela abaixo, mostramos valores da rigidez dielétrica de alguns
materiais em unidades de kV/mm.
Material (kV/mm) Material (kV/mm)
Ar 30 Baquelite 240
Neopreno 120 Nylon 140
Papel 160 Polistireno 240
Vidro Pyrex 140 Quartzo 80
Óleo de Silicone 150 Titanato de Estrôncio 80
Teflon 600
Tabela 1:
O efeito coletivo desse movimento local gera campos elétricos internos que tendem a diminuir
a ação dos campos externos minimizando a energia potencial eletrostática global.
A ação de um campo elétrico externo
E sobre um material dielétrico pode modificar a distri-
buição espacial de cargas em cada átomo ou molécula basicamente de duas maneiras:
(a) deformando espacialmente a distribuição de cargas de maneira que as cargas negativas
se deslocam em relação às cargas positivas induzindo a formação de momentos de
dipolo.
(b) rotacionando a orientação dos dipolos elétricos existentes nas ditas moléculas polares.
i.e. que possuem momentos de dipolo elétrico permanentes.
(a) Dipolos Induzidos
A ação de um campo elétrico externo sobre um átomo ou molécula neutra (carga total nula),
produz uma deformação na sua distribuição espacial das cargas. Em primeira ordem, essa
deformação corresponde à indução de um momento de dipolo elétrico. Os elétrons são atraí-
dos pelo campo e tendem a se deslocalizar em relação aos núcleos ou íons, que são repeli-
dos, formando o dipolo induzido, como ilustra a figura abaixo.
1
1 O valor do campo externo não pode ser excessivamente alto para não ionizar o átomo ou molécula.
- Para qualquer direção o campo decai com a distância com 1 /r
3 .
- A distância d entre os centros de carga positiva e negativa dependerá do valor do mó-
dulo do campo elétrico externo
E
- O dipolo induzido estará sempre orientado paralelamente ao campo externo
Regime Linear
Para valores baixos do campo externo (campos fracos ou regime linear) o momento de dipolo
induzido é verificado experimentalmente ser proporcional ao campo externo, isto é,
~p = α
E
onde α é chamada de polarizabilidade atômica ou molecular.
O valor da polarizabilidade depende da estrutura do átomo ou molécula em questão.
Polarizabilidade: é a tendência relativa que uma distribuição de cargas – uma
nuvem de elétrons, átomo ou molécula – tem para se deformar em presença de
um campo elétrico externo formando dipolos elétricos induzidos.
No sistema S.I. as unidades de α são C m
2
V
− 1
= A
2
s
4
kg
− 1
, enquanto no c.g.s é dada por α
′
em unidades de cm
3 , com α = 4πǫ 0
α
′ .
Na tabela 2
3 , mostramos alguns valores da polarizabilidade de alguns átomos:
H He Li Be C Ne Na Ar K Cs
0,667 0,205 24,3 5,60 1,76 0,396 24,1 1,64 43,4 59,
Tabela 2: Polarizabilidade [α/ 4 πǫ 0
] em unidades de 10
− 30 m
3 .
b b c b
d
a
~ E
~ E = 0
+q +q
−q −q
Exemplo 1:
Para verificar a sua dependência com a estrutura consi-
derar um modelo bem simples e primitivo.
Supor uma distribuição uniforme e esférica de cargas ne-
gativas de raio a com uma carga positiva q igual em seu
centro.
Sob ação de um campo externo a distribuição esférica de
cargas negativas permanece inalterada enquanto a carga
positiva se desloca de uma distância d, como ilustra a figura ao lado.
Nesse caso, no equilíbrio, a força externa sobre a carga positiva q dada por
F
ext
= q
E
ext
deve
3 Fonte: Handbook of Chemistry and Physics, 78
th edition, Boca Raton: CRC Press, Inc, (1997)
ser igual de sentido oposto à força exercida pelo campo gerado pela distribuição uniforme e
esférica de cargas negativas, ou seja
q
E
ext
= −q
E
elétrons
E
ext
E
elétrons
E
ext
E
elétrons
O campo gerado por uma distribuição esférica e uniforme de cargas, na distância r
′ do centro,
é radial e tem módulo dado pela Lei de Gauss por
1
4 πǫ 0
q
′
/r
′ 2
, onde q
′
é a carga total no interior
da esfera de raio r
′
. Neste caso, sobre a carga q distante d será
E
elétrons
4 πǫ 0
q
′
d
2
4 πǫ 0
d
2
ρ
′
πd
3
q
′
4 πǫ 0
d
2
q
4
3
πa
3
ρ
′
πd
3
4 πǫ 0
q d
a
3
Comparando com Eext resulta
p = q d = 4πǫ 0 a
3
Eext =⇒ α = 4πǫ 0 a
3
= 3ǫ 0 v, v =
4 πa
3
ou seja α depende de ǫ 0
e de propriedades geométricas do átomo
4 .
Observação:
- No sistema S.I. as unidades da polarizabilidade são C m
2
V
− 1
= A
2
s
4
kg− 1. Mas, como
pode ser visto no exemplo simples acima, essas unidades correspondem a [ǫ 0
][L
3
].
Comumente usa-se expressar e polarizabilidade em unidades de [ǫ 0
] e cm
3
, ou seja
α(cm
3
)
valor usual
6
4 πǫ 0
α(C · m
2
· V
− 1
)
valor no S.I.
- No caso de moléculas, a polarizabilidade pode depender da direção do campo aplicado
em relação à estrutura da molécula ou a um certo eixo de simetria, podendo ter um
valor ao longo da direção do eixo e outro perpendicular a esta direção, de modo que o
momento dipolo resultante poderia ser decomposto como
~p = α ⊥
E
⊥
E
‖
- Para moléculas ainda mais complexas a componente do momento dipolo em certa di-
reção pode depender da componente do campo nas outras direções, gerando um com-
portamento assimétrico relacionando ~p e
E na forma geral:
p x
= α xx
E
x
E
y
E
z
py = αyx Ex + αyy Ey + αyz Ez
p z
= α zx
E
x
E
y
E
z
Neste caso os nove números {α ij
} se constituem no tensor polarizabilidade cujas com-
ponentes, obviamente, dependem da escolha dos eixos cartesianos em relação à es-
trutura da molécula.
4 v = volume do átomo do modelo primitivo.
Polarização Elétrica ≡ momento dipolo elétrico por unidade de volume,
P =
V
i
~p i
≃ N ~p¯
onde
- N é o número médio de átomos e/ou moléculas por unidade de volume
- ~p¯ é o momento dipolo médio em um elemento de volume finito – com número macros-
cópico de dipolos – em um ponto ~r, onde as flutuações são desprezadas.
Considerar um objeto macroscópico com polarização
P e vamos calcular o campo elétrico
gerado pela polarização em um ponto P(~r) fora da distribuição de dipolos, como ilustrado na
figura abaixo:
O potencial no ponto P(~r) longe da origem, causado por um dipolo isolado ~p localizado na
origem é dado por
6
:
Φ(~r) =
4 πǫ 0
~p · ~r
r
3
4 πǫ 0
~p · rˆ
r
2
Considerar um elemento de volume dv
′ no interior do corpo e escrever o potencial elementar
dΦ(~r) causado pelo momento dipolo elétrico P (
r
′ ), desse elemento de volume, em um ponto
exterior ~r ao corpo:
dΦ(~r) =
4 πǫ 0
P (~r
′ ) · (~r − ~r
′ )
|~r − ~r
′ |
3
dv
′
4 πǫ 0
P (~r
′
) ·
′
|~r − ~r
′ |
dv
′
6 ver Aula 06, Exemplo 2.
onde usamos a identidade
′ (1/|r − r
′ |) = (~r − ~r
′ )/|r − r
′ |
3 , sendo o gradiente é realizado
sobre as variáveis ~r
′ .
Integrando em todo o volume onde
P (~r
′ ) 6 = 0 resulta:
Φ(~r) =
4 πǫ 0
V
P (~r
′
) ·
′
|~r − ~r
′ |
dv
′
Usando a identidade vetorial
∇ · f
A = f
A +
A ·
∇f
e escolhendo f = 1/|~r − ~r
′ | e
A =
P resulta:
Φ(~r) =
4 πǫ 0
V
′
·
P (~r
′ )
|~r − ~r
′ |
dv
′
−
4 πǫ 0
V
′ ·
P (~r
′ )
|~r − ~r
′ |
dv
′
Aplicando o teorema divergente na primeira integral do lado direito resulta:
Φ(~r) =
4 πǫ 0
S
P (~r
′ ) · ˆn
′
|~r − ~r
′ |
ds
′
−
4 πǫ 0
V
′ ·
P (~r
′ )
|~r − ~r
′ |
dv
′
Definir:
σ b
P · ˆn
′
densidade superficial de cargas ligadas
ρ b
P densidade volumétrica de cargas ligadas
Conclusões:
- O potencial Φ, produzido por um objeto polarizado, pode ser visto como sendo equiva-
lente àquele produzido por uma distribuição de cargas superficiais σ b
, na superfície S,
e por uma distribuição volumétrica de cargas ρ b
contida no volume V , i.e.
Φ(~r) =
4 πǫ 0
S
σ b
(~r
′
)
|~r − ~r
′ |
ds
′
4 πǫ 0
V
ρ b
(~r
′
)
|~r − ~r
′ |
dv
′
- Para calcular o potencial de um objeto polarizado não é necessário somar as contri-
buições microscópicas de cada dipolo, mas obter as densidades de cargas ligadas,
superficial σb e volumétrica ρb, e usá-las como fonte do potencial
7
.
7 O subíndice b vem do inglês bond que significa ligado.
Como r cos θ = z o campo dentro da esfera será
E = −
P
3 ǫ 0
ˆǫ z
E = −
3 ǫ 0
P , r ≤ a
que é constante e proporcional à polarização.
Observações:
Esse resultado foi obtido no problema 2 da Lista 2
8 .
!
d
a
E
−q +q
Nesse problema o campo elétrico é calculado na região de su-
perposição de duas esferas uniformemente carregadas com
cargas ±q (raio a), cujos centros estão distantes d < 2 a. O
resultado é um campo
E constante e igual a
E = −
4 πǫ 0
q
a
3
d
onde
d é o vetor do centro da esfera de carga negativa para
o centro da esfera de carga positiva, como mostra a figura ao
lado.
Logo, o produto q
d representa o dipolo do conjunto de esferas deslocadas.
Se o deslocamento for muito pequeno, o volume da região de superposição se aproxima do
volume da esfera, ou seja
P ≃
~p
4
3
πa
3
, → (polarização)
e o campo pode ser escrito como
E = −
3 ǫ 0
P
Para pontos fora da esfera, o potencial será
4 πǫ 0
~p · ˆǫ r
r
2
, r ≥ a, com ~p =
πa
3 ~ P
que é o potencial de um dipolo ~p igual ao dipolo total da esfera polarizada.
O campo, então, será o campo de um dipolo (em pontos distantes).
As linhas de força do campo produzido pela esfera com polarização uniforme estão mostradas
na figura abaixo:
8 Problema 2.18 do livro de David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3
rd Edition, Prentice Hall, New
Jersey (1999) )
Interpretação física das cargas ligadas
As densidades de cargas ligadas σ b
e ρ b
aparecem com analogia matemática para se obter o
potencial de um objeto polarizado.
Mas, podem ser vistas como sendo de fato a carga residual física que se acumula nas super-
fícies e no interior dos objetos devido à polarização induzida ou permanente.
Considere uma linha de dipolos de cargas ±q com um número finito de dipolos, como mostra
a figura abaixo.
+q + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − + − −q
Linha de dipolos
Em cada extremidade ("superfície") da linha resta uma carga q ou −q enquanto no miolo (in-
terior) a carga total é nula.
Considerando agora um feixe de linhas de dipolo
formando um tubo de seção reta A.
Formaremos um tubo de material polarizado na di-
reção longitudinal, como mostra a figura ao lado.
O momento dipolo de uma fatia fina de espessura d
será portanto p = P (A d).
