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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE BACHARELADO EM FÍSICA DA UFPE
Aula 4
Sumário
Coordenadas Curvilíneas................................. 1
Sistema de Coordenadas Curvilíneas Ortogonal................. 3
Coordenadas Cilíndricas.............................. 4
Coordenadas Esféricas Ortogonais........................ 6
Coordenadas Elípticas Cilíndricas......................... 9
Operadores Diferenciais em Coordenadas Curvilíneas................. 10
O gradiente..................................... 10
O divergente..................................... 10
O rotacional..................................... 12
Bibliografia recomendada
G. B. Arfken e H. J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, §2.1-2.6.
S. Hassani, Mathematical Methods for Students of Physics and Related Fields, Springer,
2000, §16.1-16.4, §17.1 a 17.
Coordenadas Curvilíneas
Exemplo de uma família de
superfícies 3D com 4 folhas.
Considerar o espaço euclideano 3d e uma base or-
tonormal cartesiana {ˆǫ 1 , ˆǫ 2 , ˆǫ 3 }, cujas coordenadas
são {x 1 , x 2 , x 3 }, respectivamente.
Definir três famílias de superfícies dadas pelas fun-
ções:
q 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = q 1
q 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = q 2 (1)
q 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = q 3
onde q 1 , q 2 e q 3 são constantes, ditas novas coordenadas, e qi(x 1 , x 2 , x 3 ) ∀ i = 1, 2 , 3 são
funções contínuas e diferenciáveis nas três coordenadas (x 1 , x 2 , x 3 ).
Cada ponto do espaço euclideano (x
0 1 , x
0 2 , x
0 3 )^ corresponde à interseção de três superfícies,
sendo uma de cada família, i.e.
q
0 1 =^ q^1 (x
0 1 , x
0 2 , x
0 3 )
q
0 2 =^ q^2 (x
0 1 , x
0 2 , x
0 3 )^ (2)
q
0 3 =^ q^3 (x
0 1 , x
0 2 , x
0 3 )^
Superfície Cilíndrica
Plano
Plano
Ponto de interseção das 3 superfícies
Exemplo da interseção
de três superfícies 3D.
Portanto, existirá uma correspondência biunívoca
(x
0 1 , x
0 2 , x
0 3 )^ ⇐⇒^ (q
0 1 , q
0 2 , q
0 3 )
Observe que, no sistema de coordenadas cartesi-
ano, cada ponto (x
0 1 , x
0 2 , x
0 3 )^ é bem definido pela in-
terseção de três planos (ortogonais entre si)
x 1 = x
0 1 ,^ x^2 =^ x
0 2 ,^ x^3 =^ x
0 3
Além disso, os versores {ˆǫ 1 , ˆǫ 2 , ˆǫ 3 }, os quais defi-
nem a base, são normais a cada um dos planos no
ponto (x
0 1 , x
0 2 , x
0 3 ).
Assim, é possível determinar uma nova base
de versores que sejam normais às superfícies
qi(x 1 , x 2 , x 3 ) = qi em cada ponto.
Considerar a distância ds entre dois pontos infinitesimalmente próximos, (x 1 , x 2 , x 3 ) e (x 1 +
dx 1 , x 2 + dx 2 , x 3 + dx 3 ), i.e.
ds
2 = dx
2 1 +^ dx
2 2 +^ dx
2 3 (3)
Para escrever ds
2 em termos das novas coordenadas (q 1 , q 2 , q 3 ) devemos considerar as trans-
formações inversas
x 1 = x 1 (q 1 , q 2 , q 3 )
x 2 = x 2 (q 1 , q 2 , q 3 ) (4)
x 3 = x 3 (q 1 , q 2 , q 3 )
e usar a que
dxi =
j
∂xi
∂qj
dqj (5)
Substituindo na equação (3) resulta
ds
2
i
[
j
∂xi
∂qj
dqj
] [
k
∂xi
∂qk
dqk
]
jk
[
i
∂xi
∂qj
∂xi
∂qk
]
dqj dqk → ds
2
jk
hjk dqj dqk (6)
Observações importantes:
hj dqj é o elemento de arco e tem dimensão de comprimento.
Logo dqj não necessariamente deverá ter dimensão de comprimento.
- O elemento de área infinitesimal é dσjk = dsj dsk =
hj hk dqj dqk.
- O elemento de volume infinitesimal é dvijk = dsi dsj dsk =
hi hj hk dqi dqj dqk.
hj pode ser interpretado como um fator de escala da transformação de coordenadas.
Coordenadas Cilíndricas Ortogonais
Considerar a mudança de coordenadas {x, y, z} → {ρ, φ, z} definida pelas equações:
x = x(ρ, φ, z) = ρ cos φ, 0 ≤ ρ < ∞
y = y(ρ, φ, z) = ρ senφ, 0 ≤ φ ≤ 2 π (10)
z = z(ρ, φ, z) = z, −∞ < z < +∞
No sistema de coordenadas cartesianas, a distância ds entre dois pontos infinitesimalmente
próximos é dada por:
ds
2 = dx
2
2
2 (11)
No novo sistema de coordenadas essa mesma distância pode ser calculada através das equa-
ções (10) calculando a diferencial de cada variável, i.e.
dx =
∂x
∂ρ
dρ +
∂x
∂φ
dφ +
∂x
∂z
dz = cos φ dρ − ρ senφ dφ,
dy =
∂y
∂ρ
dρ +
∂y
∂φ
dφ +
∂y
∂z
dz = senφ dρ + ρ cos φ dφ,
dz =
∂z
∂ρ
dρ +
∂z
∂φ
dφ +
∂z
∂z
dz = dz
e substituindo em (11), isto é:
ds
2 = (cos φ dρ − ρsenφ dφ)
2
2
2
= cos φ
2 dρ
2
2 senφ
2 dφ
2 − 2 ρ cos φ senφ dρ dφ+
+senφ
2 dρ
2
2 cos φ
2 dφ
2
2 = dρ
2
2 dφ
2
2
Observações:
a) Os termos em dρ dφ se cancelaram.
Esta é uma característica das mudanças de variáveis para sistemas de coordenadas
ditos ortogonais.
b) Identificamos, que hρ = 1, hφ = ρ
2 e hz = 1, os quais podem ser também calculados
diretamente da equação (9), fazendo-se as correspondências:
(x, y, z) ←→ (x 1 , x 2 , x 3 ) e (ρ, φ, z) ←→ (q 1 , q 2 , q 3 ),
respectivamente.
b
b
b
b
b
b
b
b
~ǫx
~ǫx
~ǫy
~ǫy
~ǫz
~ǫz
~ǫρ
~ǫρ
~ǫρ
~ǫρ
~ǫφ
~ǫφ
~ǫφ
~ǫφ
x
x
x
y
y
y
z
z
z (^) ρ
φ
φ
Coordenadas Cartesianas (x, y, z)
Coordenadas Cil´ındricas (ρ, φ, z)
As variáveis do novo sistema de coordenadas
{ρ, φ, z} podem ser escritas em termos das
variáveis cartesianas {x, y, z} por:
ρ = ρ(x, y, z) =
x
2
2
φ = φ(x, y, z) = arctan
y
x
(12)
z = z(x, y, z) = z
Essas equações, para valores fixos de ρ 0 , φ 0
e z 0 , definem três superfícies que são mutua-
mente ortogonais em cada ponto:
x^2 + y^2 corresponde a uma su-
perfície cilíndrica circular reta de raio ρ 0
e eixo de simetria coincidindo com ~ǫz.
- φ 0 = arctan(y/x) corresponde a um
semi-plano que contém o eixo de sime-
tria zˆ e faz ângulo φ 0 com o plano (x, z).
- z 0 = z, corresponde a um plano pa-
ralelo ao plano (x, y) contendo o ponto
(0, 0 , z 0 ) (em cor cinza).
como esquematizado na figura, ao lado
O elemento de superfície infinitesimal sobre
a superfície cilíndrica corresponde a desloca-
mentos infinitesimais em φ e z é dado por:
dσφ,z =
hφhz dφ dz → da = ρ dφ dz
Observe que ρ dφ é o elemento infinitesimal de arco correspondente ao deslocamento infini-
tesimal dsφ, ou seja ρ dφ tem dimensão de comprimento, enquanto dφ é adimensional.
e substituindo em (11), isto é:
ds
2 = (senθ cos φ dr − r cos θ cos φ dθ − rsenθ senφ dφ)
2
+(senθ senφ dr + r cos θ senφ dθ + r senθ cos φ dφ)
2
+(cos θ dr − r senθ dθ)
2
e reagrupando para fatorar dr, dθ e dφ resulta:
ds
2 = dr
2
2 dθ
2
2 sen
2 θ dφ
2 (14)
Observações:
a) Os termos cruzados em dρ dθ, dρ dφ e dθ dφ se cancelaram indicando que o novo siste-
mas de coordenadas é ortogonal.
b) Identificamos, que hr = 1, hθ = r
2 e hφ = r
2 sen
2 θ, os quais podem ser também
calculados diretamente da equação (9), fazendo-se as correspondências:
(x, y, z) ←→ (x 1 , x 2 , x 3 ) e (r, θ, φ) ←→ (q 1 , q 2 , q 3 ),
respectivamente.
b
b
b
z
y
x
~ǫz
~ǫx ~ǫy
(r, θ, φ)
r
θ
φ
b
z
y
x
~ǫr
~ǫθ
~ǫφ
Coordenadas Esf´ericas
As variáveis do novo sistema de coordenadas
{r, θ, φ} podem ser escritas em termos das
variáveis cartesianas {x, y, z} por:
r = r(x, y, z) =
x^2 + y^2 + z^2
θ = θ(x, y, z) = arccos
[
z √ x^2 + y^2 + z^2
]
φ = φ(x, y, z) = arctan
y
x
(15)
Essas equações, para valores fixos de
{r, θ, φ}, definem três superfícies em coorde-
nadas cartesianas que são mutuamente orto-
gonais em cada ponto:
x
2
2
2 corresponde a uma
superfície esférica de raio r centrada na
origem.
2
2
2 )
1 / 2 ] descreve
um cone de ângulo de abertura 2 θ e eixo
de simetria coincidindo com o eixo zˆ.
- φ 0 = arctan(y/x) corresponde a um
semi-plano que contém o eixo de sime-
tria z.
como esquematizado na figura ao lado.
O elemento de superfície infinitesimal sobre a superfície esférica corresponde a deslocamen-
tos infinitesimais em θ e φ é dado por:
dσθ,φ =
hθ hφ dθ dφ, → d a = r
2 senθ dθ dφ
Observe que r dφ e r senθ dφ são os elementos infinitesimais de arco correspondentes respec-
tivamente aos deslocamento infinitesimal em dθ e dφ. Ambos têm dimensão de comprimento,
embora dφ e dθ sejam adimensionais.
O elemento de volume é:
dσr,θ,φ =
hr hθ hφ dθ dφ, → d v = r
2 senθ dφ dθ dr
Para o deslocamento diferencial d~r = dx~ǫx + dy ~ǫy + dz ~ǫz , podemos obter, substituindo
{dx, dy, dz} em termos de {dr, dθ, dφ}:
d~r = (senθ cos φ ~ǫx + senθ senφ ~ǫy + cos θ ~ǫz ) dr +
+(r cos θ cos φ ~ǫx + r cos θ senφ ~ǫy − r senθ ~ǫz ) dθ +
+(−r senθ senφ ~ǫx + r senθ cos φ ~ǫy) dφ =
= dr ~ǫr + r dθ ~ǫθ + r senθ dφ ~ǫφ
onde identificamos os vetores {~ǫr,~ǫθ,~ǫφ} por:
~ǫr = senθ cos φ ~ǫx + senθ senφ ~ǫy + cos θ ~ǫz
~ǫθ = cos θ cos φ ~ǫx + cos θ senφ ~ǫy − senθ ~ǫz
~ǫφ = −senφ ~ǫx + cos φ ~ǫy
ou
~ǫr
~ǫθ
~ǫφ
senθ cos φ senθ senφ cos θ
cos θ cos φ cos θ senφ −senθ
−senφ cos φ 0
~ǫx
~ǫy
~ǫz
Observe que a nova base {~ǫr,~ǫθ,~ǫφ} é ortonormalizada
2 e seus versores são ortogonais à
sua respectiva família de superfícies (definidas em (15)) ponto-a-ponto, como mostrado na
figura.
(^2) Verifique como exercício.
Operadores Diferenciais em Coordenadas Curvilíneas
O gradiente
O gradiente é um vetor cujo módulo é a máxima derivada direcional de um campo escalar e
sua direção é aquela que maximiza a derivada direcional.
Em um sistema de coordenadas curvilíneas (q 1 , q 2 , q 3 ) cuja base ortonormal é (ˆǫ 1 , ˆǫ 2 , ˆǫ 3 ), o
gradiente será dado formalmente por
∇^ ~Φ(q 1 , q 2 , q 3 ) = ˆǫ 1
∂s 1
∂s 2
∂s 3
∑^3
j=
ˆǫj
∂sj
A componente do gradiente ∇~Φ na direção ˆǫj mede a taxa de variação do campo escalar
Φ(q 1 , q 2 , q 3 ) ao longo de um deslocamento infinitesimal dsj sobre a superfície qj (x 1 , x 2 , x 3 ),
na direção considerada, i.e.
(∇~Φ)j = ˆǫj · ∇~Φ =
∂sj
→ (∇~Φ)j =
∂qj
∂qj
∂sj
hj
∂qj
onde usamos que dsj =
hj dqj.
Desta maneira, em termos das coordenadas (q 1 , q 2 , q 3 ) o gradiente será escrito por
∇^ ~Φ(q 1 , q 2 , q 3 ) =
∑^3
j=
ˆǫj √ hj
∂qj
∑^3
j=
ˆǫj √ hj
∂qj
Observação importante: tanto o versor ˆǫj como o fator 1 /
hj estão posicionados antes da
derivada ∂/∂qj , para que não sofram a ação (indevida) desta operação diferencial.
O divergente
Por definição, a divergência de um campo vetorial V~ (q 1 , q 2 , q 3 ) mede o fluxo deste campo
sobre um elemento de volume infinitesimal dv em torno do ponto (q 1 , q 2 , q 3 ), i.e.
∇ ·^ ~ V~ (q 1 , q 2 , q 3 ) =^ lim ∆v→ 0
∆v
S
V^ ~ · n dσˆ = lim ∆v→ 0
∆F
∆v
onde S é a superfície que limita o volume elementar ∆v e dσ o elemento de área infinitesimal.
O cálculo do fluxo ∆F sobre um elemento de volume ∆v = ∆s 1 ∆s 2 ∆s 3 em torno do ponto
(q 1 , q 2 , q 3 ), mostrado na figura ao lado, é dado por:
∆s 2 ∆s 3
∣ ∣ ∣ q 1 +dq 1 ,q 2 ,q 3
∆s 2 ∆s 3
∣ ∣ ∣ q 1 ,q 2 ,q 3
(q 1 + dq 1 , q 2 , q 3 )
(q 1 , q 2 , q 3 )
ǫ ~ 3
ǫ ~ 1
ǫ ~ 2
Elemento de volume
∆v = ∆s 1 ∆s 2 ∆s 3.
∆ F =
[
V 1 ∆s 2 ∆s 3
q 1 +∆q 1
− V 1 ∆s 2 ∆s 3
q 1
]
[
V 2 ∆s 1 ∆s 3
q 2 +∆q 2
− V 2 ∆s 1 ∆s 3
q 2
]
[
V 3 ∆s 1 ∆s 2
q 3 +∆q 3
− V 3 ∆s 1 ∆s 2
q 3
]
ou
∆ F =
[
V 1
h 2
h 3
q 1 +∆q 1
− V 1
h 2
h 3
q 1
]
∆q 2 ∆q 3 +
[
V 2
h 1
h 3
q 2 +∆q 2
− V 2
h 1
h 3
q 2
]
∆q 1 ∆q 3 + (19)
[
V 3
h 1
h 2
q 3 +∆q 3
− V 3
h 1
h 2
q 3
]
∆q 1 ∆q 2
No limite ∆qi → 0 podemos considerar que
(Vi
hj hk)|qi+∆qi ≃
∂(Vi
hj hk)
∂qi
∆qi + (Vi
hj hk)|qi
Substituindo em (20) teremos
∆ F =
∂(V 1
h 2 h 3 )
∂q 1
∆q 1 ∆q 2 ∆q 3 +
∂(V 2
h 1 h 3 )
∂q 2
∆q 2 ∆q 1 ∆q 3 +
∂(V 3
h 1 h 2 )
∂q 3
∆q 3 ∆q 1 ∆q 2 ∴
dividindo por ∆v e tomando o limite ∆v → 0 resulta
lim ∆v→ 0
F
∆v
= lim ∆v→ 0
∆q 1 ∆q 2 ∆q 3
∆s 1 ∆s 2 ∆s 3
[
∂(V 1
h 2 h 3 )
∂q 1
∂(V 2
h 1 h 3 )
∂q 2
∂(V 3
h 1 h 2 )
∂q 3
]
ou seja
∇ ·^ ~ V~ (q 1 , q 2 , q 3 ) =^
h 1 h 2 h 3
[
∂(V 1
h 2 h 3 )
∂q 1
∂(V 2
h 1 h 3 )
∂q 2
∂(V 3
h 1 h 2 )
∂q 3
]
(20)
Finalmente, tomando o limite quando
∆σij = ∆si∆sj → 0 resulta
[∇ ×~ V~ ]k = lim ∆si,∆sj → 0
∆si∆sj
[
(∂Vj
hj )
∂qi
∂(Vi
hi)
∂qj
]
∆qi ∆qj ∴
[∇ ×~ V~ ]k =
hihj
[
(∂Vj
hj )
∂qi
∂(Vi
hi)
∂qj
]
Combinando todas as componentes o rotacional poderá ser escrito como
∇ ×^ ~ V~ =
h 1 h 2 h 3
Det
h 1 ˆǫ 1
h 2 ˆǫ 2
h 3 ˆǫ 3
∂q 1
∂q 2
∂q 3
√ h 1 V 1
h 2 V 2
h 3 V 3
(22)
