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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE BACHARELADO EM FÍSICA
Aula 3 - 5 de março de 2018
Sumário
Operador Laplaciano............................................... 1
Teorema Divergente ou Teorema de Gauss................................ 2
Corolário: Teorema de Green...................................... 4
Teorema de Stokes................................................. 5
Campos Vetoriais Conservativos....................................... 8
Potencial Associado a um Campo Conservativo........................ 9
Potencial Central.................................................. 12
Apêndices: 14
Interpretação Física do Rotacional..................................... 14
Revisão sobre integrais vetoriais....................................... 16
Integrais de Linha.............................................. 16
Integrais de Superfície........................................... 17
Integrais de Volume............................................ 18
Bibliografia:
- David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3
r d
Edition, Prentice Hall, New
Jersey (1999) §1.
- Jonh Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy, Foundation of Electromagnetic
Theory, 4
r d
Edition, Addison Wesley (1967) §1.3 a 1.
- Arfken e Weber, Física Matemática: métodos matemáticos para engenharia e física,
§1.6 a 1.9,
- S. Hassani, Mathematical Methods for Students of Physics and Related Fields, Sprin-
ger, 2000, capítulo s 13 e 14
Operador Laplaciano
Considerar um campo vetorial definido pelo gradiente de um campo escalar (dito potencial):
V (x 1
, x 2
, x 3
∇ Φ (x 1
, x 2
, x 3
3 ∑
j = 1
∂ x j
ε ~ j
Obter a divergência desse campo vetorial, i.e.
V =
3 ∑
k = 1
∂ x k
k
3 ∑
k = 1
∂ x k
∂ x k
k
2
Φ
∂ x
2
k
2
k
2
∂ x
2
k
... Operador Laplaciano
O Laplaciano aparece em muitas equações diferenciais da Física.
Por exemplo, a solução para o potencial eletrostático (ou gravitacional) Φ é dada pelas equa-
ções diferenciais:
E =
ρ
ε 0
2
ρ
ε 0
, Equação de Poisson
onde
E = −
∇ Φ. Na ausência de cargas (ou massa),
E = 0 → ∇
2
Φ = 0, Equação de Laplace
A equação de onda (eletromagnética ou não) é dada por
2
ψ =
a
2
2
ψ
∂ t
2
, Equação de Onda
ou a equação de difusão ou da condução do calor é dada por
2
a
2
∂ t
, Equação de Difusão
onde t é o tempo e a é o módulo da velocidade de propagação.
Teorema Divergente ou Teorema de Gauss
Considerar o campo vetorial
V (x 1
, x 2
, x 3
O teorema de Gauss estabelece que a integral do divergente de um campo vetorial em um vo-
lume definido V é igual à integral do fluxo de
V através da superfície S que delimita o volume
V , isto é:
V
V d v =
S
V · n d Sˆ (1)
onde usamos a identidade vetorial
∇ · (V a ~ ) = V
✟
✟
✟
✟✯
0
∇ · a ~ ) + a ~ ·
∇V.
Comparando os lados direitos das expressões acima, resulta
S
V (x 1
, x 2
, x 3
n d s =
V
∇V (x 1
, x 2
, x 3
) d v (4)
Supor agora outro caso especial
V (x 1
, x 2
, x 3
) = aˆ ×
E (x 1
, x 2
, x 3
Nesse caso,
S
( aˆ ×
E ) · n d sˆ =
S
E × nˆ) · a d sˆ = − aˆ
S
( nˆ ×
E ) d s (fluxo),
onde usamos a identidade cíclica do triplo produto misto (
A ×
B )·
C = (
B ×
C )·
A e que (
E × nˆ)· aˆ =
a ˆ · (
E × nˆ) = − aˆ · ( nˆ ×
E ). Por outro lado,
V
∇ · ( aˆ ×
E ) d v = − aˆ ·
V
∇ ×
E ) d v (integral de volume)
onde usamos a identidade vetorial
a ×
E ) =
E ×✘
✘✘
✘ ✘✿ 0
∇ ×
a ) −
a (
∇ ×
E ).
Comparando os lados direitos das expressões acima, resulta
S
( nˆ ×
E ) d s =
V
∇ ×
E ) d v (5)
Corolário: Teorema de Green
Sejam dois campos escalares u (x 1
, x 2
, x 3
) e v (x 1
, x 2
, x 3
Calcule,
∇ · (u
∇v ) = u
∇v ) + (
∇u ) · (
∇v )
∇ · (v
∇u ) = v
∇u ) + (
∇u ) · (
∇v )
Subtraindo lado a lado
∇ · (u
∇v − v
∇u ) = u
∇v ) − v
∇u )
Integrando sobre um volume arbitrário finito
V
∇ · (u
∇v − v
∇u ) d v =
V
[u
∇v ) − v
∇u )]d v
Aplicando o Teorema Divergente ao lado esquerdo acima, resulta:
V
[u
∇v ) − v
∇u )]d v =
S
(u
∇v − v
∇u ) · nd sˆ (6)
b
b b
b
b
b
b
~ V
~ V
(x 1 , x 2 ) (x 1
(x 1
- ∆x 1 , x 2
- ∆x 2 (x ) 1 , x 2
- ∆x 2 )
ˆn S
C
j
j
Teorema de Stokes
Considerar uma superfície aberta
1
S delimitada por
uma curva C , como mostra a figura ao lado.
Dividir a superfície em um conjunto de células ele-
mentares cada uma de superfície ∆ S j
, cujos verso-
res normais são ˆn j
, como indicado na figura ao lado.
Considerar uma célula particular j e definir a traje-
tória C j
= [ 1 → 2 → 3 → 4 ], como esquematizada
na parte inferior da figura, e calcular a circulação do
campo nesta trajetória, ou seja:
circulação
C j
V · d
l =
4 ∑
i = 1
i
V
i
d l i
4 ∑
i = 1
V
i
∆ l i
Tomando, a partir de um ponto de referência (x 1
, x 2
incrementos infinitesimais para célula podemos escrever:
circulação
C j
≃ V
1
(x 1
, x 2
) ∆ x 1
+ V
2
(x 1
, x 2
) ∆ x 2
− V
1
(x 1
, x 2
) ∆ x 1
− V
2
(x 1
, x 2
) ∆ x 2
onde usamos que:
∆ l 1
= ∆ x 1
, sobre o percurso 1
∆ l 2
= ∆ x 2
, sobre o percurso 2
∆ l 3
= − ∆ x 1
, sobre o percurso 3
∆ l 4
= − ∆ x 2
, sobre o percurso 4
Usando a definição de derivada no limite ∆ x 1
, ∆ x 2
V
2
(x 1
, x 2
) ≃ V
2
(x 1
, x 2
∂ V
2
∂ x 1
∆ x 1
V
1
(x 1
, x 2
) ≃ V
1
(x 1
, x 2
∂ V
1
∂ x 1
∆ x 1
∂ V
1
∂ x 2
∆ x 2
V
2
(x 1
, x 2
) ≃ V
2
(x 1
, x 2
∂ V
2
∂ x 2
∆ x 2
1
A superfície deve ter lados bem definidos, isto é, não pode ter laços, por exemplo, como uma fita de Möebius.
Esta condição é necessária para se definir inequivocamente o vetor normal à superfície em cada ponto.
que á uma expressão análoga à do divergente.
Exemplo: Verificação do Teorema de Stokes
Considerar o campo vetorial
V (x , y ) = κ (x
2
y ε ˆ x
2
ε ˆ y
e verificar o Teorema de Stokes sobre o círculo de
raio a centrado na origem, como mostrado na figura
ao lado.
y
x
a
Para resolver a integral de linha sobre a circunferência de raio
a centrada na origem, é conveniente usar a parametrização:
x = a cos t , y = a sent , 0 ≤ t ≤ 2 π
∴ d x = −a sent d t , d y = a cos t d t
Portanto, a integral de linha será:
C
V · d
l =
C
κ (x
2
y ε ˆ x
2
ε ˆ y
) · (d x ε ˆ x
C
V · d
l = κ
2 π
0
[(a cos t )
2
(a sent )(−a sent ) + (a cos t )(a sent )
2
(a cos t )]
= 0
d t = 0
Para calcular a integral de superfície sobre o círculo de raio a é necessário primeiro obter
∇×
V
ou seja:
∇ ×
V = κ
ε ˆ x
ε ˆ y
ε ˆ z
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z
x
2
y x y
2
= κ (y
2
− x
2
) ε ˆ z
Logo a integração será:
S
∇ ×
V ) · n d sˆ =
S
κ (y
2
− x
2
)d x d y
uma vez que a superfície é plana e está imersa no plano (x , y ).
Usando coordenadas polares:
x = ρ cos φ , y = ρ sen φ , d x d y = d s = ρ d ρ d φ
resulta
S
∇×
V )· nd sˆ = κ
a
0
2 π
0
( ρ
2
sen
2
φ − ρ
2
cos
2
φ ) ρ d ρ d φ =
a
0
ρ
3
d ρ
2 π
0
(sen
2
φ −cos
2
φ )d φ = 0,
onde usamos que
cos
2
d u =
(u + sen u cos u ), e
sen
2
d u =
(u − sen u cos u )
Portanto, o teorema se verifica.
Campos Vetoriais Conservativos
Os campos vetoriais conservativos são aqueles cuja integral de linha ao longo de qualquer
superfície C fechada é nulo, isto é
C
V (x 1
, x 2
, x 3
) · d
l = 0, ∀ C
Em decorrência, podemos provar o seguinte Teorema:
Teorema:
A integral de linha de um campo conservativo entre dois pontos
arbitrários do espaço é independente da trajetória utilizada.
Prova: Considerar dois pontos arbitrários P
1
e P 2
conectados por duas trajetórias arbitrárias
P
1
P
1
P
2
P
2
-C
2
C
1
C
1
C
2
Figura 1: Duas possíveis trajetórias de integração C 1
e C 2
entre os pontos P 1
e P 2
. −C 2
corresponde à
trajetória reversa de C 2
.
C
1
e C 2
, como mostra a figura 1. Definir as duas integrais de linha entre os pontos P 1
e P 2
I
1
C 1
V · d
l , I 2
C 2
V · d
l
Considerar a integral reversa de I
′
2
−C 2
V ·d
l que significa integrar sobre a trajetória C 2
entre
os pontos P 2
e P 1
I
′
2
−C 2
V · d
l =
P 1
P 2
V · d
l
ou
∆Φ = Φ (y 1
, y 2
, y 3
) − Φ (x 1
, x 2
, x 3
P 2
P 1
V · d
l
que fornece a diferença de potencial entre os pontos P 2
e P 1
Se os pontos P 2
e P 1
estão afastados entre si por um deslocamento infinitesimal d r ~ então a
diferença de potencial será:
d Φ = −
V · d ~ r
Por outro lado, sendo d Φ a diferencial de uma função escalar Φ (x 1
, x 2
, x 3
) podemos escrever:
d Φ =
∂ x 1
d x 1
∂ x 2
d x 2
∂ x 3
d x 3
∇ Φ ) · d r ~ , ∴ −
V · d r ~ = (
∇ Φ ) · d r ~
ou seja
V (x 1
, x 2
, x 3
∇ φ (x 1
, x 2
, x 3
em outras palavras,
Um campo vetorial conservativo
V pode sempre ser escrito como o nega-
tivo do gradiente de uma função potencial (ou campo escalar) Φ , definido
por:
Φ (x 1
, x 2
, x 3
P
P 0
V · d
l
onde (x 1
, x 2
, x 3
) são as coordenadas de P , e a integral é feita ao longo de
qualquer trajetória conectando P 0
a P.
Propriedade importante
Considere a integral de linha de um campo conservativo
V em uma trajetória fechada que
contorna uma área infinitesimal ∆ s. Pela definição de campo conservativo esta integral é
nula.
C
V · d
l = 0,
Por outro lado, pelo teorema de Stokes essa integral corresponde ao fluxo do rotacional de
V
nesta área infinitesimal, isto é
C
V · d
l ≃ (
∇ ×
V ) · nˆ ∆ s
No limite em que ∆ s → 0 a igualdade se verifica, e como ∆ s é arbitrária resulta que
∇ ×
V ) = 0
Está propriedade mostra que se o campo vetorial é conservativo em certo domínio D seu ro-
tacional é nulo! Para que a recíproca seja verdadeira é necessário garantir que
V não possua
singularidades em D. Como um exemplo dessa impossibilidade considere o campo vetorial
V (x , y , z ) =
κ y
x
2
2
ε ˆ x
κ x
x
2
2
ε ˆ y
cujo rotacional é:
∇ ×
V =
∂ V
y
∂ x
∂ V
x
∂ y
ε ˆ z
= 2 κ
x
2
2
x
2
2
(x
2
2 )
2
Porém, a integral de linha de
V sobre o círculo de raio a no plano (x , y ) centrado na origem é
C
V · d
l =
C
[V
x
d x + V y
d y ]
Tomando a parametrização: x = a cos t , y = a sent , 0 ≤ t ≤ 2 π , com d x = −a sent d t e
d y = a cos t d t resulta:
C
V · d
l = − κ
2 π
0
d t = − 2 π κ
Portanto, o campo
V não é conservativo neste domínio que inclui o (0, 0) onde o campo veto-
rial diverge!
Conclusão:
Um campo vetorial
V é dito ser conservativo em um domínio D, sobre o
qual é bem definido se alguma das 3 propriedades equivalentes, se veri-
fica:
C
V · d
l = 0,
V = −
∇ ×
V = 0,
onde Φ = −
P
P 0
V · d
l.
[
∇V
r
(r ) × rˆ ] =
∂ V
r
(r )
∂ r
rˆ × rˆ
= 0
Em geral, quando o rotacional de um campo vetorial é nulo em todos os pontos de um domí-
nio o campo vetorial é dito ser irrotacional, nesse domínio.
Apêndices:
Interpretação Física do Rotacional
O rotacional de um campo vetorial fornece uma medida
do grau de rotação espacial da direção do campo.
Exemplo: Rotor rígido com velocidade angular constante.
Rotor em 3D
b
b
b
b
O
~v 0
~v
~ω
~r
Supor um rotor rígido com velocidade angular ω~ = ω ~ε 3
O campo vetorial das velocidades de cada ponto material
do rotor em relação ao referencial O’ que contém o eixo
ε ~ 3
é dado por:
v ~
′
= ω~ × r ~
Para um referencial O, arbitrário, em relação ao qual o
corpo se desloca com velocidade v ~ 0
, usaremos a expres-
são da velocidade relativa entre observadores que se des-
locam entre si com velocidade constante, isto é:
v ~ P / O
= v ~ P / O
′
′ / O
para obter
v ~ = v ~
′
= ω~ × ~ r + v ~ 0
∴ v ~ = v ~ 0
onde ~ r é o vetor de posição de cada ponto a partir de um ponto do eixo e v ~ 0
é a velocidade
deste ponto em relação à origem O.
Tomando o rotacional do campo vetorial das velocidades v ~ teremos:
∇ × v ~ =
∇ × v ~ 0
∇ × ( ω~ × r ~ ) =
= ω~ (
∇ · ~ r ) + (r ~ ·
∇) ω~ − r ~ (
∇ · ω~ ) − ( ω ~ ·
∇)r ~ (19)
onde usamos a identidade vetorial
3
demonstrada na Aula 4 e o fato que
∇ × v ~ 0
= 0 supondo
v ~ 0
constante.
3
~ ∇ × (
~ A ×
~ B ) =
~ A(
~ ∇ ·
~ B ) −
~ B (
~ ∇ ·
~ A) + (
~ B ·
~ ∇)
~ A − (
~ A ·
~ ∇)
~ B
Revisão sobre integrais vetoriais
Integrais de Linha
Considerar um curva C definida no espaço 3D cujo elemento de comprimento em coordena-
das cartesianas é definido por:
d r ~ = d x
ε x
ε y
ε z
Os três principais tipos de integrais de linha sobre a curva C envolvendo campos escalares φ
e vetoriais
V são:
(a)
C
φ d r ~ , (b)
C
V · d ~ r , (c)
C
V × d ~ r
onde a curva C pode ser aberta (com um ponto inicial e um final) ou uma curva fechada. O
primeiro caso (a), o mais simples, pode ser escrito como:
C
φ d ~ r = ε ˆ x
C
φ (x , y , z ) d x + ε ˆ y
C
φ (x , y , z ) d y + ε ˆ z
C
φ (x , y , z ) d z
quando se considera coordenadas cartesianas porque ˆ ε i
é constante e pode ser colocado fora
da integral, o que não ocorre em coordenadas curvilíneas. Para realizar cada uma das 3 inte-
grais é necessário conhecer a equação da trajetória, isto é, para conhecer y (x ) e z (x ) e resolver
por exemplo a primeira das integrais. Via de regra, usa-se uma parametrização da curva C ,
isto é:
x = f (t ), y = g (t ), z = h(t ) ∴ d x = f
′
(t )d t , d y = g
′
(t )d t , d z = h
′
(t )d t
ou seja
C
φ d ~ r = ε ˆ x
C
φ (t ) f
′
(t ) d t + ε ˆ y
C
φ (t ) g
′
(t ) d t + ε ˆ z
C
φ (t ) h
′
(t ) d t
que pode ser calculada caso a função φ (t ) seja integrável.
O caso (b) é exatamente da mesma forma do cálculo do trabalho realizado por uma força
exercida sobre uma partícula ao longo de uma trajetória C ,
W =
C
V · d r ~ =
F
x
(x , y , z ) d x +
F
y
(x , y , z ) d y +
F
z
(x , y , z ) d z
O caso (c), também pode ser expresso como a soma de integrais, isto é:
C
V × d ~ r =
ε x
C
(V
y
d z − V z
d y ) +
ε y
C
(V
z
d x − V x
d z ) +
ε z
C
(V
x
d y − V y
d x )
Portanto, em todos os casos, as integrais podem ser calculadas conhecendo-se as equações
que definem a curva C relacionando x , y , z entre si ou de forma parametrizada, como mos-
trado acima.
Exemplo:
Considerar o campo vetorial
V (x , y , z ) = κ x y
2
ε ˆ x
2
y ε ˆ y
(a,a)
(0,0)
a
a
x
y
e calcular a integral
C
V · d r ~ ao longo da trajetória for-
mada por um círculo centrado em (0, a ) com raio a en-
tre os pontos (0, 0) e (a , a ), mostrado na figura ao lado. A
equação que parametriza tal trajetória é:
x = a − a cos t , y = a sen t , 0 ≤ t ≤
π
Logo, d x = a sen t d t , d y = a cos t d t e a integral fica:
C
(V
x
d x +V y
d y ) =
π/ 2
0
[ κ a ( 1 −cos t )(a
2
sen
2
t ) a sen t + κ a
2
( 1 −cos t )
2
(a sen t ) a cos t ] d t =
= κ a
4
π/ 2
0
( 1 −3 cos
2
t +2 cos
3
t )sen t d t = κ a
4
− cos t
π/ 2
0
3
t
π/ 2
0
cos
4
t
π/ 2
0
κ a
4
Tente calcular por outra trajetória, por exemplo pela reta y = x entre os mesmos pontos inicial
e final. Neste caso, a parametrização não é necessária.
Integrais de Superfície
No caso de um superfície S , o elemento infinitesimal de área d σ~ é definido por ˆnd s onde ˆn
é um versor normal à superfície em cada ponto. Se a superfície é fechada, a direção positiva é
sempre a direção ´´para fora". Se a superfície é aberta, a direção positiva é dada pela regra da
mão direita quando se considera o sentido da circulação em que se percorre o perímetro de S.
De maneira análoga ao caso da integral de linha, 3 tipos principais de integrais de superfície
podem ser definidos envolvendo campos escalares e vetoriais, a saber:
(a)
S
φ d σ~ , (b)
S
V · d σ~ , (c)
S
V × d σ~
O caso (b) é mais freqüente em Física e corresponde à definição de fluxo total do campo ve-
torial
V em S , definido por:
S
S
V · n d sˆ
Em todos os casos, as integrais são reduzidas a integrais duplas em d x d y (em coordenadas
cartesianas) e dependem do versor ˆn que embora tenha módulo unitário sua direção depende
