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aula 18 eletromagnetismo, Notas de aula de Eletromagnetismo

Universidade Federal da Paraíba (UFPB)Eletromagnetismo

gjffyi uiguiguig ugugu uguig uguig

Tipologia: Notas de aula

2022

Compartilhado em 04/06/2026

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FI425 Eletromagnetismo L1 - 2017.2 - Notas de Aulas 18 1
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Física
Curso de Licenciatura em Física
Aula 18 - 2 de maio de 2018
Magnetostática I: forças magnéticas
Sumário
LeideForçadeLorentz............................................ 1
Força Magnética entre circuitos: Lei da Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
LeideBiot-Savart ............................................... 6
Exemplo 1: campo ~
Bproduzido por um fio reto infinito com corrente I. . . . . . . 7
Bibliografia:
•David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics,3rd Edition, Prentice Hall, New
Jersey (1999) §5.1 e 5.2
Lei de Força de Lorentz
A primeira observação que uma corrente elétrica produz campos magnéticos é atribuída ao físico
dinamarquês H. C. Oersted que verificou, em 21 de abril 1820, a ocorrência de deflexões na agulha
magnetizada de uma bússola na presença de uma corrente elétrica1, isto é, quando a corrente era
desligada e/ou religada.
Em 11 de setembro do mesmo ano A-M. Ampère demonstrou que fios portando correntes elétri-
cas podiam se atrair ou se repelir se as correntes estivessem no mesmo sentido ou em sentidos
contrários, respectivamente. A deflexão da agulha da bússola também foi observada e estudada
na França no mesmo ano, por Jean-Baptiste Biot e por Felix Savart. A figura 1 abaixo ilustra
esse fenômeno.
As observações experimentais apontam que a força entre os fios paralelos portando correntes
é proporcional ao produto das correntes e inversamente proporcional à distância entre os fios,
indicando não se tratar de um fenômeno eletrostático.
Para entender a natureza dessa força consideremos inicialmente a ação de um campo magnético
sobre uma carga de prova em movimento em relação ao referencial do campo.
Um campo magnético pode ser produzido por uma corrente (outras cargas em movimento) ou
1Na verdade, esse fenômeno foi reportado primeiramente pelo italiano Gian Domenico Romagnosi (vide
http://en.wikipedia.org/wiki/Gian_Domenico_Romagnosi) em 1802, mas seu trabalho ficou desconhecido pela
comunidade da época.
Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE
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Centro de Ciências Exatas e da Natureza

Departamento de Física

Curso de Licenciatura em Física

Aula 18 - 2 de maio de 2018

Magnetostática I: forças magnéticas

Sumário

Lei de Força de Lorentz............................................ 1

Força Magnética entre circuitos: Lei da Ampère........................... 4

Lei de Biot-Savart............................................... 6

Exemplo 1: campo

B produzido por um fio reto infinito com corrente I....... 7

Bibliografia:

  • David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics , 3

r d

Edition, Prentice Hall, New

Jersey (1999) §5.1 e 5.

Lei de Força de Lorentz

A primeira observação que uma corrente elétrica produz campos magnéticos é atribuída ao físico

dinamarquês H. C. Oersted que verificou, em 21 de abril 1820, a ocorrência de deflexões na agulha

magnetizada de uma bússola na presença de uma corrente elétrica

1

, isto é, quando a corrente era

desligada e/ou religada.

Em 11 de setembro do mesmo ano A-M. Ampère demonstrou que fios portando correntes elétri-

cas podiam se atrair ou se repelir se as correntes estivessem no mesmo sentido ou em sentidos

contrários, respectivamente. A deflexão da agulha da bússola também foi observada e estudada

na França no mesmo ano, por Jean-Baptiste Biot e por Felix Savart. A figura 1 abaixo ilustra

esse fenômeno.

As observações experimentais apontam que a força entre os fios paralelos portando correntes

é proporcional ao produto das correntes e inversamente proporcional à distância entre os fios,

indicando não se tratar de um fenômeno eletrostático.

Para entender a natureza dessa força consideremos inicialmente a ação de um campo magnético

sobre uma carga de prova em movimento em relação ao referencial do campo.

Um campo magnético pode ser produzido por uma corrente (outras cargas em movimento) ou

1

Na verdade, esse fenômeno foi reportado primeiramente pelo italiano Gian Domenico Romagnosi (vide

http://en.wikipedia.org/wiki/Gian_Domenico_Romagnosi) em 1802, mas seu trabalho ficou desconhecido pela

comunidade da época.

Figura 1: Deflexão na agulha da bússola causada pela presença de uma corrente elétrica.

por um material magnético que possui momentos magnéticos permanentes ou induzidos, como

será visto mais adiante.

b

θ

~v

B

B

B

F

mag

O comportamento de uma carga em movimento em

relação a um campo magnético é descrito pela Lei de

Lorentz , introduzida por Hendrik Lorentz

2

em 1895,

embora tenha sido formulada muito antes como re-

portada em trabalhos de Maxwell em 1865 e também

deduzida por Oliver Heaviside em 1889.

A Lei de Lorentz estabelece que a força sofrida por

uma carga de prova q , com velocidade v ~ , em relação

ao referencial de um campo magnético

B , é dada por

F

mag

= q ( v ~ ×

B ), Força de Lorentz (1)

como mostra a figura ao lado.

Se, além do campo magnético, houver um campo elétrico

E a força de Lorentz se somará à força

de Coulomb resultando em

F = q [

E + v ~ ×

B ], (2)

Nota: A Lei da Força de Lorentz é uma lei empírica decorrente das observações experimentais

dos trabalhos de Oersted, Ampère, Biot e Savart, entre outros, assim como a Lei de Coulomb

para a atração entre cargas elétricas.

Observações:

  • A força de Lorentz não produz trabalho, por ser sempre normal à trajetória.

2 Físico holandês, que dividiu o prêmio Nobel de Física em 1902 com Pieter Zeeman.

Unidade de corrente:

1 Ampère =

1 Coulomb

segundo

Portanto a corrente pode ser vista microscopicamente como

um fluxo de partículas de cargas q , com densidade n (par-

tículas por unidade de volume) que atravessa a seção trans-

versal do fio S com velocidade média v , isto é

I = q n (v S ) → [I] = C

L

3

L

T

L

2

C

T

Portanto, um elemento de fio d ℓ com uma corrente I sofrerá

uma força de Lorentz elementar d

F

d

F = (q n S d ℓ )

carga total em dl

v ~ ×

B (3)

onde v ~ é a velocidade média das cargas ao longo da direção do fio que pode ser também escrita

como

v d ~ ℓ → v d

ℓ ∴ d

F = (q n v S )

corrente I

d

ℓ ×

B → d

F = I d

ℓ ×

B

Força Magnética entre circuitos: Lei da Ampère

Como mencionamos acima, a observação experimental da força entre dois fios paralelos portando

correntes estacionárias I

1

e I

2

, contatou que a força é:

  • proporcional ao produto das correntes, isto é ∝ I 1

I

2

  • inversamente proporcional à distância d entre os fios, isto é ∝ d

−

  • é atrativa quando as correntes são paralelas e repulsiva quando são antiparalelas.

como ilustrado na figura abaixo:

correntes paralelas - atração correntes antiparalelas - repulsão

No caso geral, a força entre dois circuitos arbitrários, portando correntes I

1

e I

2

, é dada por:

I 1

I 2

d

~

l 1

d

~ l 2

~r 12

F

12

μ 0

4 π

I

1

I

2

d

1

× (d

2

× rˆ 12

|r 12

2

F

12

é a força do circuito #2 sobre circuito #1.

Mas

a ~ × (

b × c ~ ) = ( a ~ · c ~ )

b − ( a ~ ·

b ) c ~

d

1

× (d

2

× rˆ 12

) = −(d

1

· d

2

) rˆ 12

  • d

2

(d

1

· rˆ 12

logo

F

12

μ 0

I

1

I

2

4 π

(d

1

· d

2

|r 12

2

rˆ 12

  • d

2

(d

1

r 12

|r 12

2

A integral (5) pode ser reescrita como

F

12

μ 0

I

1

I

2

4 π

(d

1

· d

2

|r 12

2

rˆ 12

μ 0

I

1

I

2

4 π

d

2

(d

1

· rˆ 12

|r 12

2

No segundo termo da expressão acima a integral em d

1

é da forma

(x

2

  • y

2

  • z

2 )

3 / 2

x d l 1 x

  • y d l 1 y

  • z d l 1 z

que corresponde a uma diferencial exata, cuja integral em trajetória fechada #1 é nula.

Logo resta:

F

12

μ 0

4 π

(I

1

d

1

) · (I

2

d

2

) rˆ 12

|r 12

2

Lei de Ampère (7)

Observações:

Para o caso geral de uma corrente I , o campo ele-

mentar d

B produzido pelo elemento de corrente I d

sobre um ponto r ~ , como mostrado na figura ao lado,

será:

d

B =

μ 0

4 π

I

d

′

× ( ~ r − ~ r

′

)

| ~ r − ~ r

′ |

3

sendo d

′

é o elemento infinitesimal (orientado) do

condutor localizado no ponto ~ r

′

Portanto, dado um circuito com corrente I definido

em uma trajetória fechada C

′

, o campo produzido

em um ponto r ~ será:

b

b

I

~r − ~r

′

d

B

P

d

l

′

~r

~r

′

B (r ~ ) =

μ 0

4 π

I

C ′

d

′

× (r ~ − r ~

′

)

|r ~ − r ~

′ |

3

Lei de Biot-Savart (10)

expressão conhecida por Lei de Biot-Savart.

Exemplo 1: campo

B produzido por um fio reto infinito com corrente I.

Considerar a geometria definida na figura abaixo e usar a (10) tomando a origem no ponto P

(r ~ = 0 ) e considerando o fio infinito na direção ε ˆ

z

em coordenadas cilíndricas.

Neste caso, teremos

d

′

×(−r ~

′

) = d ℓ

′

(− ε ˆ z

)×(− ~ r

′

) = d ℓ

′

ε ˆ z

× r ~

′

= d ℓ

′

ε ˆ z

×[r

′

cos θ ε ˆ z

+r

′

sen θ (− ε ˆ ρ

)] = r

′

sen θ d ℓ

′

(− ε ˆ φ

Portanto, o módulo do campo resulta

B | =

μ 0

4 π

I

r

′

sen θ d l

r

′ 3

Observando que

| ~ r | = (R

2

  • z

2

1 / 2

com R = r sen θ = constante

B | =

μ 0

4 π

I R

∞

−∞

d z

(R

2

  • z

2 )

3 / 2

μ 0

I R

4 π

R

2

z

(R

2

  • z

2 )

1 / 2

∞

−∞

μ 0

I

4 π R

μ 0

I

2 π R

P

I

R

d

l

~r

B

b

Finalmente, o campo pode ser escrito por:

B =

μ 0

2 π

I

R

ε φ

) Lei de Biot-Savart (11)

Por simetria o campo é normal ao plano do papel, saindo.

As linhas de forças são círculos concêntricos ao fio, como mostra a

parte inferior da figura, com o sentido obedecendo à regra da mão

direita.

Observação:

B | ∼ R

− 1

(análogo ao campo eletrostático de um fio de cargas), mas

com caráter vetorial diferente!