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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
CURSO DE BACHARELADO EM FÍSICA
Aula 2 - 28 de fevereiro de 2018
Sumário
O divergente sobre campo vetorial..................................... 1
O rotacional sobre um campo vetorial................................... 5
Definição.................................................... 5
Identidades Vetoriais com Operadores............................... 6
Fórmulas Práticas.................................................. 7
Bibliografia:
- David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3
r d
Edition, Prentice Hall, New
Jersey (1999) §1.
- Jonh Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy, Foundation of Electromagnetic
Theory, 4
r d
Edition, Addison Wesley (1967) §1.3 e 1.
- Arfken e Weber, Física Matemática: métodos matemáticos para engenharia e física,
§1.6 a 1.9,
- S. Hassani, Mathematical Methods for Students of Physics and Related Fields, Sprin-
ger, 2000, capítulo s 13 e 14
O divergente sobre campo vetorial
Definição:
∇·)... sobre um campo vetorial na forma de um produto escalar é
V →
i
ε ˆ i
∂ x i
j
V
j
(x 1
, x 2
, x 3
) ε ˆ j
i
j
∂ x i
V
j
(x 1
, x 2
, x 3
ε ˆ i
· ε ˆ j
δ i j
i
∂ x i
V
i
(x 1
, x 2
, x 3
div
V ≡
V =
3 ∑
i = 1
∂ x i
V
i
(x 1
, x 2
, x 3
) Operador Divergente (3)
Observe o reposicionamento do versor ˆ ε i
, sem perda de generalidade.
∇· deve ser interpretado como um operador escalar que atuando sobre um campo ve-
torial retorna em um campo escalar
1
Significado Físico do Divergente de um Campo Vetorial: (usar a notação 3d , (x
1
, x 2
, x 3
b
b
b
b
b
b
b
b
x 3
x 1
x 2
(x 1 , x 2 , x 3 )
(x 1 , x 2 , x 3
(x 1
(x 1
(x 1
- ∆x 1 , x 2
- ∆x 2
- ∆x 2 , x 3 )
Para compreender o significado físico do
divergente de um campo vetorial é con-
veniente recorrer ao conceito de fluxo de
um campo vetorial.
Para isso, vamos considerar como exem-
plo o movimento de uma substância
fluida como a água ou um gás. Vamos
mostrar que o divergente desse campo
vetorial mede o fluxo da substância por
unidade de volume em dado ponto do
espaço.
Supor um fluido descrito pela densidade local ρ (x 1
, x 2
, x 3
) da substância e o campo de veloci-
dades v ~ = v ~ (x 1
, x 2
, x 3
), ou seja o fluxo desse fluido é também um campo vetorial definido por
V = ρ ~ v.
Lembrar o conceito de fluxo material
2
.
Considerar um elemento de volume ∆ V = ∆ x 1
∆ x 2
∆ x 3
e calcular o fluxo de massa por uni-
dade de tempo que atravessa a superfície de ∆ V. Logo, o fluxo resultante ∆ Φ é a diferença de
fluxo entre as superfícies opostas do elemento de volume ∆ V = ∆ x 1
∆ x 2
∆ x 3
, isto é:
( ρ v 1
x 1
∆ x 2
∆ x 3
− ( ρ v 1
x 1
∆ x 2
∆ x 3
( ρ v 2
x 2
∆ x 1
∆ x 3
− ( ρ v 2
x 2
∆ x 1
∆ x 3
( ρ v 3
x 3
∆ x 1
∆ x 2
− ( ρ v 3
x 3
∆ x 1
∆ x 2
Tomando o limite quando ∆ V → 0, ou seja ∆ x 1
→ 0, ∆ x 2
→ 0, ∆ x 3
→ 0 simultaneamente,
podemos usar a definição de derivada parcial
∂ ( ρ v i
∂ x i
= lim
∆ x i
→ 0
∆ x i
[( ρ v i
x i
− ( ρ v i
x i
], i = 1, 2, 3
e escrever que
lim
∆ x i
→ 0
( ρ v i
x i
= lim
∆ x i
→ 0
∂ ( ρ v i
∂ x i
∆ x i
x i
∂ ( ρ v i
∂ x i
d x i
1 Ao contrário do
~ ∇, que atuando sobre um campo escalar retorna um campo vetorial.
2 Fluxo material:
| ρ ~ v |
=
massa
volume
×
distância
tempo
=
massa
área × distância
×
distância
tempo
=
massa
área × tempo
= fluxo de massa
onde a área considerada é normal à direção da velocidade em cada ponto.
Se a taxa f = 0 (não há fontes de massa) então:
∂ ρ
∂ t
∇ · ( ρ ~ v ) = 0 Equação de Continuidade (6)
Se o fluido é incompressível, ou seja
∂ ρ
∂ t
= 0, e se f 6 = 0 então:
∇ · ( ρ ~ v ) = f Equação de Poisson (7)
O divergente pode também ser definido, também, pelo limite de uma integral, isto é:
V = lim
∆ S→ 0
∆ S
S
V · n d Sˆ
onde
V ·
n d S é o fluxo que atravessa perpendicularmente um elemento de área infinitesimal
d s , ou seja ˆn é o versor normal ao elemento de área d s , como será visto mais adiante.
Exemplo 01: Campo de Deslocamento Elétrico
D.
Considerar uma carga pontual q , o campo elétrico (campo vetorial) é dado por:
E =
4 πε 0
q
r
2
r ~
r
Considerando uma superfície esférica de raio r com origem sobre a carga, o fluxo do campo
elétrico sobre essa superfície pode ser calculado facilmente, usando coordenadas esféricas,
isto é:
S
S
E · nd sˆ =
q
4 πε 0
S
r
n ˆ · ~ r
r
3
d s =
q
4 πε 0
π
0
2 π
0
r
2
sen θ d θ d φ
r
2
q
4 πε 0
( 4 π ) =
q
ε 0
Mas,
S
V
d Φ
d V
d V =
V
E d V =
q
ε 0
Por outro lado, a carga total q no interior da superfície S de volume V pode ser obtida a partir
da sua densidade ρ , i.e.
q =
V
ρ d V.
Substituindo na expressão de Φ
S
resulta
S
V
E d V =
ε 0
V
ρ d V , ∴
E =
ρ
ε 0
ou
D = ρ ,
E =
ρ
ε 0
, Primeira equação de Maxwell
onde
D = ε 0
E é chamado de vetor deslocamento elétrico.
Exemplo 02: Campo Magnético.
Como inexistem monopolos magnéticos ρ m
= 0. Logo
B = 0 , Segunda equação de Maxwell
Observação:
- Quando o divergente de um campo vetorial é nulo
V = 0 (exemplo do campo mag-
nético), o campo vetorial é dito ser solenoidal, isto é , suas linhas de força são sempre
curvas fechadas.
O rotacional sobre um campo vetorial
Definição
Definição: Operação diferencial resultante da ação do operador
∇ sobre um campo vetorial
na forma de um produto vetorial.
rot
V ≡
∇ ×
V =
i
∂ x i
ε ˆ i
×
j
V
j
ε ˆ j
i
j
∂ V
j
∂ x i
ε ˆ i
× ε ˆ j
i j k
ǫ i j k
∂ V
j
∂ x i
ε ˆ k
Portanto, a componente k do rotacional será:
∇ ×
V )
k
i j
∂ V
j
∂ x i
ǫ i j k
, (na base ortonormal dextrógira)
Em notação matricial e em coordenadas cartesianas, teremos:
∇ ×
V =
ε ˆ x
ε ˆ y
ε ˆ z
∂ x
∂ y
∂ z
V
x
V
y
V
z
∂ V
z
∂ y
∂ V
y
∂ z
ε x
∂ V
x
∂ z
∂ V
z
∂ x
ε y
∂ V
y
∂ x
∂ V
x
∂ y
ε z
A expressão do triplo produto vetorial corresponde aos dois últimos termos da expressão de
∇ × (
A ×
B ) com as posições trocadas para garantir que o operador diferencial atue apenas
sobre as componentes dos campos indicados.
Fórmulas Práticas
A aplicação combinada de
∇· e
∇× sobre produto ou soma de campos vetoriais ou escala-
res podem ser resumidas com a seguir.
Sejam u (x 1
, x 2
, x 3
) e v (x 1
, x 2
, x 3
) dois campos escalares, e
U (x 1
, x 2
, x 3
) e
V (x 1
, x 2
, x 3
) dois cam-
pos vetoriais quaisquer.
As seguintes expressões podem ser diretamente obtidas usando-se a notação algébrica para
o produto escalar e produto vetorial, em coordenadas cartesianas:
∇ (u + v ) =
∇u +
∇v
U +
V ) =
U +
V
∇ × (
U +
V ) =
∇ ×
U +
∇ ×
V
∇(u v ) = u
∇v + v
∇u
∇ · (u
V ) =
∇u ·
V + u
V
∇ × (u
V ) =
∇u ×
V + u
∇ ×
V
U ·
V ) = (
V ·
U + (
U ·
V +
V × (
∇ ×
U ) +
U × (
∇ ×
V )
U ×
V ) =
V ·
∇ ×
U −
U ·
∇ ×
V
∇ × (
U ×
V ) =
U (
V ) −
V (
U ) + (
V ·
U − (
U ·
V
onde
U e
V são campos vetoriais e u e v representam campos escalares, respectivamente.
Essas expressões são inteiramente válidas em outros sistemas de coordenadas ortogonais,
como será visto em aulas futuras.
