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Aula 14 – Transla¸c˜ao (^) M ´ODULO 2 - AULA 14
Aula 14 – Transla¸c˜ao
Objetivos Utilizar transla¸c˜oes de figuras na resolu¸c˜ao de problemas de constru¸c˜oes geom´etricas.
Transla¸c˜ao
Chamamos de transla¸c˜ao de um ponto o deslocamento de um ponto A para um ponto A′^ sobre uma reta r. A reta r sobre a qual foi efetuada a transla¸c˜ao ´e chamada de dire¸c˜ao da transla¸c˜ao e a distˆancia entre os pontos ´e chamada de amplitude. Al´em da dire¸c˜ao e da amplitude devemos, em cada transla¸c˜ao, definir um sentido, pois em uma dire¸c˜ao existem dois sentidos de deslocamento de um ponto. Temos ent˜ao trˆes caracter´ısticas para fazer uma transla¸c˜ao que vamos denominar de vetor v.
A
A’
r
A
A’
r
Figura 37
A transla¸c˜ao de uma figura F segundo uma dire¸c˜ao, uma amplitude e um sentido fixos ´e a figura F ′^ formada por todos os pontos transladados da figura F. Dizemos que F ′^ ´e uma transforma¸c˜ao de F por transla¸c˜ao, e as figuras s˜ao ditas hom´ologas. (^) A transla¸c˜ao, bem como a simetria axial e a homotetia, que estudaremos em seguida, s˜ao chamadas de transforma¸c˜oes de figuras.
V
A
A’
C’
B’
C
B
F F’
Figura 38
Aula 14 – Transla¸c˜ao
Propriedades da Transla¸c˜ao
- Sejam AB e A′B′^ segmentos tais que as extremidades s˜ao hom´ologas por uma transla¸c˜ao, ent˜ao AB = A′B′^ e AB//A′B′.
- Figuras hom´ologas s˜ao congruentes
Aplica¸c˜oes de transla¸c˜ao em constru¸c˜oes geom´etricas
Estudaremos as aplica¸c˜oes de transla¸c˜ao em constru¸c˜oes geom´etricas diretamente em problemas.
Problema 1: Dado um triˆangulo ABC construir um segmento DE = m tal que D ∈ AB, E ∈ AC e DE//r.
r m A
B C
r A
B C
E D
Problema supostamente resolvido
Figura 39
Resolu¸c˜ao:
1.1 Prolonga-se o lado AB do triˆangulo interceptando com r num ponto F ;
1.2 Sobre o mesmo semiplano que cont´em o ponto C, determinado pelo lado AB, marcamos um ponto G sobre r tal que F G = m;
1.3 Pelo ponto G tra¸camos a reta paralela ao lado AB. Esta reta intercep- tar´a o lado AC no ponto E;
1.4 Pelo ponto E tra¸camos a reta paralela a r que intercetar´a no ponto D.
Aula 14 – Transla¸c˜ao
Problema 2: Dadas as duas semi-retas x = − AX−→ e y = − AY→ de mesma origem, construir a circunferˆencia de raio R que seja tangente a x e que intercepte y formando uma corda de comprimento m.
R m
X
x
Y A
Y
Figura 42
R m R O m A
Problema supostamente resolvido
Figura 43
Resolu¸c˜ao:
2.1 Construa um segmento CD sobre uma das semi-retas de medida m;
2.2 Com raio igual a R constr´oiem-se as circunferˆencias de centros em C e D que se interceptar˜ao, no interior do ˆangulo formado pelas semi-retas, em um ponto E;
2.3 Pelo ponto E tra¸ca-se a reta r paralela ao lado do ˆangulo que cont´em CD;
2.4 Trace por um ponto F qualquer do outro lado do ˆangulo uma reta perpendicular e nesta perpendicular constr´oi-se um segmento F G de medida igual ao raio R da circunferˆencia desejada, de tal forma que o ponto G se situe no interior do ˆangulo;
Aula 14 – Transla¸c˜ao (^) M ´ODULO 2 - AULA 14
2.5 Pelo ponto G trace uma reta s paralela ao lado que cont´em F ;
2.6 As retas r e s se encontrar˜ao no centro O da circunferˆencia desejada.
R m
G (^) x
O
D H I
E
C (^) y
r
s F
Figura 44
Justificativa: O ponto O est´a a uma distˆancia R da semi-reta x logo ´e tangente a esta semi-reta. Observe que os triˆangulos ECD e OHI s˜ao is´osceles de mesma altura e laterais iguais portanto s˜ao congruˆentes, e assim CD = HI = m.
Defini¸c˜ao: Dados um segmento AB e um ponto C que n˜ao lhe pertence seja α = A CB̂. Dizemos assim que C ´e um ponto de onde se enxerga o segmento AB segundo o ˆangulo α.
Problema 3: Dadas as duas retas r e s, concorrentes em A, e um ponto B ∈ r. Obtenha um ponto C ∈ s de onde se enxergue AB segundo um ˆangulo de 60 o.
Observando a figura do problema resolvido notamos que existem duas solu¸c˜oes para este problema.
s C 1
60 O
60 O
C 2
r A B
Figura 45
Aula 14 – Transla¸c˜ao (^) M ´ODULO 2 - AULA 14
- Construa o triˆangulo is´osceles com a sua base contida em r, seu ˆangulo da base ´e igual a α e O ´e o seu incentro.
a
r
O
Figura 48
- S˜ao dados dois segmentos r e l, duas retas concorrentes a e b. Construa uma circunferˆencia de raio r, tangente `a reta a e de tal modo que a reta b a intercepte segundo uma corda de comprimento l. (Olhar o problema 2). Dados: A medida do segmento r ´e: 1 cm. A medida do segmento l ´e: 1, 6 cm. a
b
Figura 49
Problema 4: Dadas duas circunferˆencias de centros O 1 e O 2 , secantes nos pontos A e B, considere um segmento de comprimento . Obtenha o segmento P Q tal que A ∈ P Q, P perten¸caa circunferˆencia de centro O 1 e Q perten¸ca `a circunferˆencia de centro O 2. Observando a figura do problema resolvido notamos que existem duas solu¸c˜oes para este problema.
l
A^ Q
P O (^1) O 2
l^ B Figura 50
Aula 14 – Transla¸c˜ao
Resolu¸c˜ao:
Na figura do problema resolvido tracemos as perpendiculares ao seg- mento P Q que passam pelos centro O 1 e O 2. Tais retas interceptam P Q nos pontos C e D que dividem os segmentos P A e AQ no meio, respectiva-
mente. Desta forma o segmento CD possui medida
`
2.^ Supondo o raio da circunferˆencia de centro em O 2 maior que o raio da circunferˆencia de centro em O 1 , transladamos paralelamente o segmento O 1 C at´e apoi´a-lo sobre O 2 D seguindo a dire¸c˜ao de P Q, obtendo em O 2 D um ponto E. O quadril´atero CO 1 ED ´e um retˆangulo e, conseq¨uentemente, o triˆangulo O 1 O 2 E ´e retˆangulo
onde um dos catetos mede
`
- Isto justifica a seguinte constru¸c˜ao:
P
C
A Q D
O 1 O^2
E
2
l
B l Figura 51 3.1 Divide-se o segmento ` ao meio;
3.2 Constr´oi-se a circunferˆencia de diˆametro O 1 O 2 ;
3.3 Com centro em O 1 constr´oi-se um arco de circunferˆencia de raio ` 2 , que interceptar´a a circunferˆencia obtida no item 3.2 nos pontos E 1 e E 2 ;
3.4 Pelo ponto A tra¸cam-se as paralelas aos segmentos O 1 E 1 e O 1 E 2.
O 1 O^2 E 2
E 1
A Q
P
B
l
Figura 52
Aula 14 – Transla¸c˜ao
Observe que o lado do triˆangulo eq¨uil´atero possui suas extremidades nos arcos capazes do ˆangulo de 60o^ relativo aos lados do triˆangulo ABC e passam pelo v´ertice comum aos lados que determinam os arcos. Como os lados s˜ao de medida m´axima, ent˜ao s˜ao paralelos aos segmentos determina- dos pelos centros dos arcos. Podemos ent˜ao resolver o problema efetuando as seguintes constru¸c˜oes:
Considere o triˆangulo ABC.
5.1 Construa os arcos capazes de 60o^ relativo aos lados AB e AC. Obtendo os centros O e O′, respectivamente;
5.2 Pelo ponto A trace a paralela ao segmento OO′^ que interceptar´a os arcos nos pontos B′^ e C′;
5.3 Trace as retas que cont´em os segmentos B′C e C′B. Tais retas se encontrar˜ao no ponto A′;
5.4 O triˆangulo A′B′C′^ ´e o triˆangulo procurado.
B
C
A C’ B’ O^ O’
A’ Figura 55
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Exerc´ıcios:
- Construa o retˆangulo ABCD sabendo que P ∈ AB, Q ∈ BC, R ∈ CD, S ∈ DA e AB = 3, 6 cm.
P
S Q
R A
B
Figura 56
- Construa o quadrado ABCD de per´ımetro m´aximo, sabendo que P ∈ AB, Q ∈ BC e R ∈ AD.
P
R
Q
Figura 57
Resumo
Nesta aula vocˆe aprendeu...
- A solucionar diversos problemas de constru¸c˜ao geom´etrica utilizando transla¸c˜oes de figuras.
