Baixe Aula18-Construções Geométricas e outras Notas de aula em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Aula 18 – Tra¸cado de Ovais I (^) M ´ODULO 2 - AULA 18
Aula 18 – Tra¸cado de Ovais I
Objetivos
- Concordar arcos de circunferˆencias com retas.
- Concordar arcos de circunferˆencias com arcos de circunferˆencias.
Concordˆancia de Curvas
Defini¸c˜ao: Chama-se concordˆancia de duas linhas curvas ou de uma reta com uma curva, `a liga¸c˜ao entre elas , executada de tal forma, que se possa passar de uma para outra, sem ˆangulo, inflex˜ao nem solu¸c˜ao de conti- nuidade, em outras palavras, as retas tangentes as curvas no ponto de con- cordˆancia sejam coincidentes.
Figura 141
A concordˆancia entre arcos de c´ırculo e retas se baseia no seguinte princ´ıpio:
- Para concordar um arco com uma reta, ´e necess´ario que o ponto de concordˆancia e o centro do arco, estejam ambos sobre uma mesma per- pendicular `a reta.
Figura 142
Aula 18 – Tra¸cado de Ovais I
A concordˆancia entre arcos e arcos se baseia no seguinte princ´ıpio fun- damental:
- Para concordar dois arcos, o ponto de concordˆancia assim como os centros dos arcos, devem estar sobre uma mesma reta, que ´e normal aos arcos no ponto de concordˆancia.
Figura 143
Constru¸c˜oes envolvendo concordˆancia entre arcos e re-
tas.
Problema 1: Concordar um segmento de reta AB conhecido com um arco de circunferˆencia de raio r, considerando como ponto de concordˆancia a extremidade B do segmento.
Seja AB o segmento de reta conhecido e r o raio do arco de circun- ferˆencia. Sendo dados o segmento e o raio, devemos encontrar o centro do arco.
Resolu¸c˜ao:
1.1 Levante uma perpendicular ao segmento AB pelo seu extremo B e marque nesta perpendicular o segmento de reta OB, cuja medida ´e igual ao raio r.
1.2 O ponto O ´e raio do arco. Assim, basta construir um arco de centro em O que passe por em B como origem do arco.
Figura 144
Aula 18 – Tra¸cado de Ovais I
3.3 Com centro em O e raio OA trace o arco que concordar´a com as duas linhas.
Figura 146
Problema 4: Concordar uma reta dada r num ponto ponto dado A ∈ r, com uma reta dada s por meio de um arco de circunferˆencia, sendo conhecido o ponto O de interse¸c˜ao entre as retas r e s.
Sejam r e s as duas retas convergentes. Como arco de circunferˆencia a ser constru´ıdo deve ser tangente as retas dadas, ent˜ao o centro do arco deve pertencera bissetriz do ˆangulo formado pelas retas.
Resolu¸c˜ao:
4.1 Trace a bissetriz do ˆangulo formado pelas retas.
4.2 Marque o ponto B sobre s tal que OB = OA.
4.3 Levante por A uma perpendicular `a r que cortar´a a bissetriz em C.
4.4 Com centro em C e raio CA ou CB, faz-se a concordˆancia.
Figura 147
Aula 18 – Tra¸cado de Ovais I (^) M ´ODULO 2 - AULA 18
Exerc´ıcios
- Concorde com a reta r um arco de raio R que contenha o ponto A.
Figura 148
- Concorde um arco de raio R com as retas r e s.
Figura 149
- Concorde com as retas r e s um arco de circunferˆencia considerando A o ponto de concordˆancia em r, sem utilizar o ponto de encontro das retas.
Figura 150
- Concorde com as retas r e s um arco de circunferˆencia que seja tangente `a reta t.
Figura 151
Aula 18 – Tra¸cado de Ovais I (^) M ´ODULO 2 - AULA 18
6.3 Trace a mediatriz do segmento F E que interceptar´a a perpendicular que passa por B no ponto O.
6.4 Trace a semi-reta que passa por O e E e construa o arco de centro em O com origem B at´e tocar nesta semi-reta no ponto G.
6.5 Construa o arco de centro em E que passa pelo ponto G at´e o ponto D.
Figura 153
Como OB = OG ent˜ao EG = F B = DE o que justifica a constru¸c˜ao feita.
Segundo caso: Os segmentos possuem sentidos opostos.
6.1 Una o pontos B e D e tome um ponto C′^ ∈ BD qualquer.
6.2 Trace pelos pontos B e D as retas perpendiculares aos respectivos seg- mentos.
6.3 Trace as mediatrizes dos segmentos BC′^ e C′D interceptando as per- pendiculares nos pontos O e O′^ respectivamente.
6.4 Construa o arco de centro em O do ponto B ao ponto C′^ e o arco de centro O′^ do ponto C′^ ao ponto D.
Figura 154
Aula 18 – Tra¸cado de Ovais I
Problema 7: Concordar duas semi-retas n˜ao paralelas de origem em A e B, respectivamente, atrav´es de dois arcos de circunferˆencia con- siderando como ponto de concordˆancia as origens das semi-retas.
Resolu¸c˜ao:
7.1 Trace as perpendiculares as semi-retas em suas origens.
7.2 Marque nestas perpendiculares os segmentos AC e BD de igual medida.
7.3 Una os pontos C e D e trace a mediatriz do segmento formado. Tal mediatriz deve interceptar uma das semi-retas. Consideremos neste problema que a semi-reta interceptar´a a semi-reta de origem em A.
7.4 A reta mediatriz neste caso, interceptar´a a perpendicular que passa por B em um ponto O.
7.5 Trace a reta r que passa pelos ponto O e C. Construa o arco de circunferˆencia de centro em O com origem no ponto B at´e o ponto E sobre r.
7.6 Construa o arco de circunferˆencia de centro em C do ponto E ao ponto A.
Figura 155
A justificativa ´e an´aloga a do Problema 6.
Aula 18 – Tra¸cado de Ovais I
8.5 Basta ent˜ao construir o arco de centro O” do ponto A ao ponto C. r
Figura 157
Exerc´ıcio
- Concordar dois arcos de circunferˆencias dado de centros em O e O′, respectivamente, por meio de um arco de raio dado R dado.
Figura 158
Resumo
Nesta aula vocˆe aprendeu...
- concordar retas com arcos.
- concordar duas retas via dois arcos.
- concordar dois arcos por um outro arco.
