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Divis˜oes de circunferˆencias (^) M ´ODULO 1 - AULA 8
Aula 8 – Divis˜oes de circunferˆencias
Objetivos Obter as poss´ıveis divis˜oes exatas de uma circunferˆencia; Obter algumas divis˜oes aproximadas de uma circunferˆencia; Construir pol´ıgonos regulares e pol´ıgonos estrelados.
A divis˜ao da circunferˆencia em partes iguais ´e a opera¸c˜ao b´asica para a inscri¸c˜ao de pol´ıgonos regulares. Isso equivale a dizer que se dividirmos uma circunferˆencia em um n´umero natural n > 2 de partes iguais e se unirmos o primeiro ponto da divis˜ao com o segundo, o segundo com o terceiro e assim por diante, acabaremos por ter constru´ıdo um pol´ıgono regular inscrito de n lados.
A divis˜ao de uma circunferˆencia em 2 ou at´e 20 partes iguais ´e re- alizada por uma s´erie de processos, onde se encontram processos exatos e aproximados.
Esta aula ser´a dividida em duas etapas: Divis˜oes exatas e Divis˜oes Aproximadas de Circunferˆencias.
Divis˜oes exatas de circunferˆencia
Nos casos a seguir consideramos uma circunferˆencia de centro O e raio R. Problema 1: Dividir uma circunferˆencia em 2, 4, 8, 16 etc partes iguais. Resolu¸c˜ao: 1.1 Trace um diˆametro AB qualquer, dividindo a circunferˆencia em duas partes;
1.2 Trace outro diˆametro CD, perpendicular a AB. Os dois diˆametros AB e CD dividem a circunferˆencia em 4 partes;
1.3 Trace, em seguida, as bissetrizes dos ˆangulos A OĈ e A OD̂ , respectiva- mente, ficando a circunferˆencia dividida em 8 partes iguais;
1.4 O processo segue, assim, sucessivamente.
(Veja a Figura 129).
A justificativa desta constru¸c˜ao ´e bem simples que dispensa detalhes.
Divis˜oes de circunferˆencias
Figura 129
Problema 2: Dividir uma circunferˆencia em 3, 6, 12 etc partes iguais. Resolu¸c˜ao:
2.1 Trace o diˆametro AB da circunferˆencia;
2.2 Trace a mediatriz de AO;
2.3 Esta mediatriz intercepta a circunferˆencia nos pontos C e D;
2.4 Os pontos C, D e B dividem a circunferˆencia em 3 partes iguais;
2.5 Ao determinarmos as bissetrizes de C OD̂ , D OB̂ e C OB̂ , estaremos determinando os pontos E, F e G e, assim, dividindo a circunferˆencia em 6 partes iguais;
2.6 O processo segue, assim, sucessivamente.
Figura 130
Divis˜oes de circunferˆencias
Sendo R o raio da circunferˆencia de centro O e L 10 o lado do dec´agono regular inscrito em uma circunferˆencia de raio R, devemos provar que L R^10 = R−L 10 L 10. Seja AB̂ o arco que corresponde a d´ecima parte da circunferˆencia de raio R.
Figura 132
Temos que:
O AB̂ = O BÂ = 72o^ e A OB̂ = 36o
Tomamos um ponto D sobre ao lado OB tal que AD = L 10. Formamos um triˆangulo is´osceles ADB de base DB. Assim A DB̂ = A BD̂ = 72o, donde D AB̂ = D AÔ = 36o^ = A OD̂. Logo o triˆangulo ADO ´e is´osceles de base AO, da´ı DO = DA = L 10. Neste caso, como OB = R, ent˜ao DB = OB − OD = R − L 10.
Figura 133
Como os triˆangulos ADB e OAB possuem os mesmos ˆangulos internos, ent˜ao eles s˜ao semelhantes gerando a seguinte propor¸c˜ao:
AB OB =^
BD
AB ⇒^
L 10
R =^
R − L 10
L 10
Como quer´ıamos demonstrar.
Divis˜oes de circunferˆencias (^) M ´ODULO 1 - AULA 8
Identificando por L 6 = R o lado do hex´agono regular e por L 5 o lado do pent´agono inscritos na mesma circunferˆencia de raio R e centro O temos a seguinte afirma¸c˜ao.
Afirma¸c˜ao 2: L 6 = R e L 10 s˜ao os catetos de um triˆangulo retˆangulo cuja hipotenusa ´e L 5.
J´a sabemos pela afirma¸c˜ao 1, que: L 10 R =^
R − L 10
L 10 ⇒^ L
210 = R(R − L 10 ). (1)
Numa circunferˆencia de centro O e raio R, constru´ımos um segmento AB de comprimento L 10 , prolongamos o segmento AB a um ponto C tal que AC seja igual a R.
Como o triˆangulo ACO ´e is´osceles de ˆangulo oposto `a base igual a 72o e lados iguais a R, ent˜ao a base OC ´e igual a L 5 (1).
Pelo ponto C tra¸camos uma tangente a circunferˆencia e chamamos D o ponto de tangˆencia. Assim, o triˆangulo ODC ´e retˆangulo em D, onde a hipotenusa ´e OC = L 5 e um dos catetos ´e OD = R = L 6. Resta mostrar que o outro cateto CD tem a mesma medida de L 10. (^) (1)Em um pent´agono regular inscrito em uma circunferˆencia de raio R e centro O, se unirmos o centro a dois v´ertices consecutivos, formamos um triˆangulo is´osceles de ˆangulo oposto 360 o a base igual 5 = 72o.
Figura 134
Da potˆencia de C em rela¸c˜ao `a circunferˆencia (Veja Geometria B´asica) temos:
(CD)^2 = CA.CB ⇒ (CD)^2 = R(R − L 10 ). (2)
Das igualdades (1) e (2), obtemos:
(CD)^2 = L^210 ⇒ CD = L 10.
Divis˜oes de circunferˆencias (^) M ´ODULO 1 - AULA 8
Problema 4: Dividir uma circunferˆencia em 7, 14, 28,... partes iguais. Note que, assim como nos casos anteriores, para efetuarmos todas estas divis˜oes basta obtermos a divis˜ao por 7 partes iguais.
4.1 Trace um diˆametro AB;
4.2 Com centro em B, constru´ımos uma circunferˆencia de raio OB, inter- ceptando a circunferˆencia dada nos pontos C e D;
4.3 O segmento CD interceptar´a OB em seu ponto m´edio M ;
4.4 O segmento M C tem a medida aproximada do hept´agono inscrito.
A B
D
C
O M
Figura 137
A medida exata para o lado do hept´agono regular, inscrito em uma circunferˆencia de raio R, ´e de 2R.sen( 1807 o) ∼= 0, 867767 R, pela constru¸c˜ao CM = R
√ 3 2 ∼= 0,^866 R, o que d´a um erro por falta de aproximadamente 0,001767 de raio, que ´e menor que 2 mil´esimos do raio.
Problema 5: Dividir uma circunferˆencia em 9, 18, 36,... partes iguais.
5.1 Trace duas retas suportes de dois diˆametros perpendiculares AB e CD;
5.2 Com centro em A e raio OA, constru´ımos uma circunferˆencia que in- tercepta a circunferˆencia dada num ponto E;
5.3 Com centro em B e raio BE, constru´ımos uma circunferˆencia que in- tercepta a reta suporte de CD em um ponto F externo `a circunferˆencia dada;
5.4 Com centro em F e raio F B, constru´ımos um arco de circunferˆencia que intercepta o diˆametro CD num ponto G;
Divis˜oes de circunferˆencias
5.5 O segmento CG tem medida aproximada do lado do ene´agono inscrito na circunferˆencia.
Figura 138
A medida exata para o lado do en´agono regular, inscrito em uma cir- cunferˆencia de raio R ´e de 2R.sen( 1809 o) ∼= 0, 68404 R. Pela constru¸c˜ao, temos:
- BF = BE = GF = 2R.cos 30 o^ = R.
• OF =
(BF )^2 − R^2 = R
• CF = CO + OF = R + R
• CG = CF − GF = R + R
2 − R
3 ∼= 0, 68216 R
Gerando um erro por falta de aproximadamente 0,00188 de raio.
Problema 6: Dividir uma circunferˆencia em 11, 22, 44,... partes iguais. 6.1 Trace dois diˆametros: primeiro AB e, em seguida, CD perpendiculares `a AB;
6.2 Unindo o ponto m´edio M de OD `a A e vocˆe encontrar´a o ponto m´edio N de AM ;
6.3 O segmento AN tem a medida aproximada do lado pol´ıgono regular de 11 lados, inscrito na circunferˆencia.
A medida exata para o lado do pol´ıgono de 11 lados regular, inscrito em uma circunferˆencia de raio R, ´e de 2R.sen( 18011 o ) ∼= 0, 563465 R. Pela
Divis˜oes de circunferˆencias
- Os triˆangulos retˆangulos CF D e EOD s˜ao semelhantes e geram a pro- por¸c˜ao CF CD =^
OE
ED ⇔^ CF^ =^
CD.OE
ED ;
- No triˆangulo retˆangulo EOD, aplicando o Teorema de Pit´agoras, temos
ED =
R^2 + (R 4 )^2 = R
- Como CD = 2R e OE = OA 4 , ent˜ao temos que:
CF =
2 R.R 4
R√ 17 4
=^2 R
∼= 0, 485071 R;
O que nos d´a um erro por excesso de aproximadamente 0,00644 de raio, que ´e menor que 7 mil´esimos do raio.
Problema 8: Dividir uma circunferˆencia em 15, 30, 60,... partes iguais.
8.1 Trace dois diˆametros: primeiro AB e, em seguida, CD perpendiculares `a AB;
8.2 Com centro em A e abertura AC, constru´ımos uma circunferˆencia que intercepta o raio OB no ponto E;
8.3 O segmento OE tem medida aproximada do lado do pol´ıgono regular de 15 lados, inscrito na circunferˆencia.
Figura 141
A medida exata para o lado do pol´ıgono de 15 lados regular, inscrito em uma circunferˆencia de raio R, ´e de 2R.sen( 18015 o ) ∼= 0, 4158233 R. Pela constru¸c˜ao, temos OE = R
2 − R ∼= 0, 4142135 R, gerando um erro por falta de aproximadamente 0,0016098 de raio.
Divis˜oes de circunferˆencias (^) M ´ODULO 1 - AULA 8
Existem diversas t´ecnicas para a divis˜ao aproximada de uma circun- ferˆencia em n-partes iguais. Apresentaremos, nesta aula, duas das mais im- portantes: o Processo de Bion e o Processo de Tempier.
Processo de Bion
B.1 Divida um diˆametro AB em n- partes iguais;
B.2 Construa as circunferˆencias com centros em A e B e raios 2R que se encontram num ponto P ;
B.3 Tome um ponto C no diˆametro AB tal que AC = 2 .AB n ;
B.4 Construa a semi-reta de origem em P que passe por C e intercepte a circunferˆencia no ponto D tal que C esteja entre P e D;
B.5 O segmento AD tem a medida aproximada do lado do pol´ıgono de n-lados.
Figura 142
Esta aproxima¸c˜ao acarreta os seguintes erros:
- n = 5 ⇒ erro= − 0 , 0007;
- n = 8 ⇒ erro= +0, 004;
- n = 16 ⇒ erro= +0, 04;
Percebe-se que, ent˜ao, que os erros v˜ao aumentando `a medida que a quantidade de lados do pol´ıgono inscrito aumenta. No pr´oximo processo, que pode ser visto como uma varia¸c˜ao do Processo de Bion, ocorre o inverso.
Divis˜oes de circunferˆencias (^) M ´ODULO 1 - AULA 8
Figura 144
Exerc´ıcios:
- Construa um ˆangulo de 64o^ aproximadamente.
- Construa um pol´ıgono estrelado de 9 pontas pulando 4 a 4 v´ertices.
- Construa um pol´ıgono de 11 lados circunscrito a uma circunferˆencia de raio R.
Figura 145
Resumo
Nesta aula, vocˆe aprendeu...
- a dividir circunferˆencia por processos exatos e por processos aproxima- dos;
- a construir pol´ıgonos regulares aproximados ou exatos, inscritos ou circunscritos a uma circunferˆencia;
- a construir pol´ıgonos estrelados.
