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Constru¸c˜oes de Triˆangulos I (^) M ´ODULO 1 - AULA 9
Aula 9 – Constru¸c˜oes de Triˆangulos I
Objetivos Efetuar as constru¸c˜oes fundamentais de triˆangulo utilizando suas proprieda- des iniciais; Desenvolver constru¸c˜oes de triˆangulos utilizando sua altura.
Os triˆangulos s˜ao pol´ıgonos que se classificam de acordo, com a na- tureza de seus ˆangulos, e proporcionalidade de seus lados. Antes de iniciar- mos as constru¸c˜oes fundamentais de triˆangulos, faremos algumas observa¸c˜oes hist´oricas sobre os triˆangulos retˆangulos.
Vocˆe sabia que:
- ...o famoso teorema de Pit´agoras j´a era conhecido pelos antigos eg´ıpcios, no caso particular do triˆangulo de lados 3, 4 e 5?
- ...o triˆangulo retˆangulo de lados 3, 4 e 5 ´e conhecido como “triˆangulo eg´ıpcio”?
- ...segundo Plutarco, a trindade divina eg´ıpcia Os´ıris, ´Iris e Orus, era simbolizada por esse “triˆangulo eg´ıpcio”?
- ...a maneira mais simples de tra¸car um ˆangulo reto, que ´e por meio de uma esquadro, j´a era conhecida dos antigos eg´ıpcios?
- ...para construir-se um esquadro, era necess´ario saber tra¸car um triˆangulo retˆangulo?
- ...n˜ao se sabe quem primeiro tra¸cou um triˆangulo retˆangulo?
Problema 1: Construir um triˆangulo sendo dados os trˆes lados.
Resolu¸c˜ao:
S˜ao dados os segmentos L 1 , L 2 e L 3.
1.1 Sobre uma reta r trace o segmento AC igual a L 1 ;
1.2 Com centro em A e raio igual a L 2 dado, descreva um arco;
1.3 Com centro em B e raio igual ao L 3 dado, trace outro arco que corte o primeiro em C;
1.4 Ligue os pontos A, B e C e obtenha o triˆangulo pedido.
Constru¸c˜oes de Triˆangulos I
Observa¸c˜ao: Pela condi¸c˜ao de existˆencia de triˆangulos (veja Geometria B´asica), este problema ´e imposs´ıvel se a soma de dois lados n˜ao for maior que o terceiro.
L 1 L 2 L 3
L 1 r (^) A B
C
Figura 146
O pr´oximo problema ´e um axioma da Geometria B´asica.
Problema 2: Construir um triˆangulo sendo dados dois lados e o ˆangulo de- terminado por eles.
Resolu¸c˜ao:
S˜ao dados os segmentos L 1 , L 2 e um ˆangulo α.
2.1 Sobre uma reta r trace o segmento AB igual a L 1 ;
2.2 Na extremidade A, construa um ˆangulo igual ao ˆangulo α dado;
2.3 Prolongue este lado construindo o segmento AC de mesma medida que L 2 ;
2.4 Ligue os pontos A, B e C e obtenha o triˆangulo pedido (veja a Fi- gura 147).
L 1 L 2
L 1 r (^) A B
C
a
Figura 147
Constru¸c˜oes de Triˆangulos I
L 1 h 1
L 2
t
S^ C (^1) C 2
r (^) R A B s
Figura 149
Justificativa: Observe que, se os pontos C 1 e C 2 est˜ao sobre t, ent˜ao eles devem estar uma distˆancia h 1 de r que ´e a reta suporte da base AB. Logo, as alturas relativas a AB nos triˆangulos ABC 1 e ABC 2 ´e a altura dada. Al´em disso, por constru¸c˜ao AB = L 1 e AC 1 = AC 2 = L 2 que s˜ao os lados dados.
Exerc´ıcios:
- Construir um triˆangulo conhecendo dois lados e a altura relativa ao lado desconhecido.
L 1
L 2
h 3
Figura 150
Sugest˜ao: Construa a altura perpendicular a uma reta r, logo a seguir construa os lados utilizando a extremidade da altura que n˜ao pertence a r obtendo os outros v´ertices sobre r. Este exerc´ıcio possui duas solu¸c˜oes.
Constru¸c˜oes de Triˆangulos I (^) M ´ODULO 1 - AULA 9
Problema 4: Construir um triˆangulo conhecendo dois lados e uma mediana.
Chamamos de mediana de um triˆangulo qualquer, segmento tra¸cado de um de seus v´ertices ao ponto m´edio do lado oposto; ent˜ao, nessa constru¸c˜ao, o lado oposto pode ser um dos lados conhecidos ou n˜ao. Resolveremos o caso em que a mediana ´e relativa ao lado desconhecido e deixamos como exerc´ıcio o outro caso.
Resolu¸c˜ao:
Vamos investigar o problema supostamente resolvido. Seja ABC o triˆangulo solu¸c˜ao para o problema, onde AB e AC s˜ao os lados dados. Efetuemos as seguintes constru¸c˜oes no triˆangulo ABC:
- Unindo o v´ertice A ao ponto m´edio M do lado BC obtemos a mediana dada;
- Prolonguemos a mediana AM at´e um ponto D tal M D = AM ;
- Observe que M ´e ponto m´edio de BC e AD. Assim BC e AD s˜ao as diagonais do paralelogramo ABDC, logo BD = AC;
- Do triˆangulo ABD s˜ao conhecidos os trˆes lados: AB, BD = AC e AD = 2.AM , onde AM ´e a mediana, s˜ao dados do problema. Neste caso ´e poss´ıvel construir o triˆangulo ABD. A
B C
M
D Figura 151
Pela an´alise feita anteriormente podemos solucionar o problema atrav´es dos seguintes passos:
Constru¸c˜oes de Triˆangulos I (^) M ´ODULO 1 - AULA 9
Problema 5: Construir um triˆangulo conhecendo os pontos m´edios dos trˆes lados.
Resolu¸c˜ao:
Vamos investigar o problema supostamente resolvido. Seja ABC o triˆangulo solu¸c˜ao para o problema, M 1 , M 2 e M 3 os pontos m´edios dos lados BC, AC e AB, respectivamente. Efetuemos as seguintes constru¸c˜oes em ABC:
- Unindo os pontos M 1 , M 2 e M 3 , formamos um triˆangulo onde M 1 M 2 = AB 2 , M 1 M 3 = AC 2 e M 2 M 3 = BC 2 , pela propriedade de base m´edia de triˆangulo;
- Os quadril´ateros AM 3 M 1 M 2 , BM 3 M 2 M 1 e CM 1 M 3 M 2 s˜ao paralelogra- mos.
A
M≥≥ 2 M≥≥ 3
C≥ (^) M≥≥ 1 B
Figura 154
Neste caso podemos solucionar o problema atrav´es dos seguintes passos:
5.1 Constr´oi-se o triˆangulo M 1 M 2 M 3 unindo os trˆes pontos;
5.2 Constr´oi-se o triˆangulo AM 2 M 3 , considerando AM 2 = M 1 M 3 e AM 3 = M 1 M 2 ;
5.3 No prolongamento de AM 3 tomamos o ponto B tal que AM 3 = BM 3 ;
5.4 Prolongando os segmentos AM 2 e BM 1 obtemos o ponto C;
Constru¸c˜oes de Triˆangulos I
5.5 O triˆangulo ABC ´e a solu¸c˜ao do problema; A
M≥≥ 3 M≥≥ 2
C≥ B M≥≥ 1
Figura 155
Problema 6: Construir um triˆangulo conhecendo um lado e duas alturas.
Este problema apresenta dois casos:
Primeiro Caso: As alturas dadas s˜ao relativas aos lados desconhecidos;
Segundo Caso: Uma das alturas ´e relativa ao lado dado.
Faremos o primeiro caso e deixamos como exerc´ıcio o segundo caso.
Resolu¸c˜ao:
Vamos investigar o problema supostamente resolvido. Seja ABC o triˆangulo solu¸c˜ao para o problema. Estamos supondo que o lado AB e as alturas relativas aos lados AC e BC s˜ao dados.
- Sejam P 1 e P 2 os p´es das alturas relativas aos lados AC e BC;
- Assim  P 1 B e  P 2 B s˜ao ˆangulos retos. Dessa forma P 1 e P 2 devem pertencer `a semicircunferˆencia de diˆametro AB, que ´e o arco capaz do segmento AB sob um ˆangulo de 90o.
P 1
P 2
A B
C
Figura 156
Constru¸c˜oes de Triˆangulos I
Existem alguns problemas de constru¸c˜oes de triˆangulos que exigem co- nhecimento de certas propriedades que n˜ao s˜ao muito comuns.
Os p´es das alturas de um triˆangulo formam um triˆangulo chamado triˆangulo ´ortico. Chama-se ortocentro o ponto de encontro das alturas e incentro o ponto de encontro das bissetrizes internas. Vocˆe sabia que o or- tocentro de um triˆangulo coincide com o incentro de seu triˆangulo ´ortico? Vejamos a demonstra¸c˜ao deste fato.
Sejam ABC um triˆangulo, D, E e F os p´es das alturas relativas aos v´ertice A, B e C, respectivamente, e O o ortocentro deste triˆangulo. Devemos provar que O ´e o incentro do triˆangulo DEF. Neste caso AD ´e bissetriz de E DF̂ , BE ´e bissetriz de D EF̂ e CF ´e bissetriz de E F D̂.
Mostraremos que AD ´e bissetriz de E DF̂ , os outros casos s˜ao an´alogos. Isso equivale mostrar que A DF̂ = E DÂ ou O DF̂ = E DÔ.
Comparando os triˆangulos ABE e ACF notamos que o ˆangulo em A ´e comum e al´em disso s˜ao triˆangulos retˆangulos. Logo s˜ao semelhantes e da´ı F CÂ = E BÂ = α ou O CÊ = O BF̂ = α.
B D C
F E
A
a (^) a a a
O
Figura 159
Como o quadril´atero F ODB possui dois ˆangulos opostos retos, a sa- ber, nos v´ertices F e D, ent˜ao este quadril´atero ´e inscrit´ıvel em uma circun- ferˆencia. Em tal circunferˆencia os ˆangulos inscritos O BF̂ e O DF̂ compre- endem o mesmo arco, logo O BF̂ = O DF̂. Da mesma forma mostra-se que O DÊ = O CÊ.
Assim temos O DF̂ = O BF̂ = O CÊ = O DÊ como quer´ıamos demons- trar.
Observe que se o ortocentro de um triˆangulo coincide com o incentro de seu triˆangulo ´ortico, ent˜ao as alturas do triˆangulo possuem a mesma reta
Constru¸c˜oes de Triˆangulos I (^) M ´ODULO 1 - AULA 9
suporte das respectivas bissetrizes do triˆangulo ´ortico. Assim os lados do triˆangulo, por serem perpendiculares as alturas, devem ser perpendicularesas bissetrizes dos triˆangulo ´ortico. Logo s˜ao bissetrizes externas do triˆangulo ´ortico.
Problema 7: Construir um triˆangulo conhecendo os p´es das trˆes alturas.
Sejam D, E e F os p´es das trˆes alturas. A propriedade anterior justifica a seguinte constru¸c˜ao:
7.1 Constr´oi-se o triˆangulo ´ortico;
7.2 Tra¸ca-se as bissetrizes externas do triˆangulo ´ortico. Tais bissetrizes se interceptam duas a duas em trˆes A, B e C, que s˜ao os v´ertices do triˆangulo procurado.
D
B
E
F
A
Figura 160
Pela Geometria B´asica, sabemos que a ´area de um triˆangulo corres- ponde `a metade do produto da medida de um de seus lados por sua altura relativa. Neste caso, se um triˆangulo possui os lados de medidas a, b e c de alturas relativas ha,hb e hc, ent˜ao temos que:
a.ha = b.hb = c.hc ⇔ a 1 ha
= b 1 hb
= c 1 hc
Isto ´e, os lados de um triˆangulo s˜ao inversamente proporcionais `as suas alturas.
Assim, para constru´ırmos um triˆangulo conhecendo as trˆes alturas ´e necess´ario que saibamos o processo de invers˜ao de um segmento, isto ´e, de- terminar o segmento de medida (^) h^1 sendo dado o segmento de medida h. Para isso, precisamos estabelecer o segmento que representa a unidade, u.
Constru¸c˜oes de Triˆangulos I (^) M ´ODULO 1 - AULA 9
h 1 h 2 h 3 A^ B
B 1 C B 3 B 2
A 3 r A 2 A 1
D
Figura 162
Segunda Etapa: Construir o triˆangulo utilizando os inversos das alturas.
Se os lados de um triˆangulo s˜ao inversamente proporcionais `as alturas relativas, ent˜ao tais lados s˜ao diretamente proporcionais aos inversos das alturas relativas. Assim, o triˆangulo procurado ´e semelhante ao triˆangulo constru´ıdo com os inversos das alturas.
8.8 Constr´oi-se um triˆangulo utilizando os inversos das alturas como lados, obtidos na primeira etapa, apoiando (^) h^11 sobre uma reta s;
8.9 Tra¸ca-se a altura relativa a (^) h^11 , neste triˆangulo;
8.10 No prolongamento desta altura marque um segmento de medida h 1 , a partir do p´e da altura, obtendo o v´ertice A;
8.11 Pelo ponto A tra¸ca-se as retas paralelas aos lados (^) h^12 e (^) h^13 , obtendo os v´ertices B e C. O triˆangulo ABC ´e o triˆangulo pedido.
1/h 2
1/h 3
1/h 1
h 2
h 3
h 1
1/h (^2) 1/h 3
B
s^ C 1/h 1
A
Figura 163
Constru¸c˜oes de Triˆangulos I
Exerc´ıcios:
- Construir um triˆangulo retˆangulo conhecendo a hipotenusa e um cateto.
Hipotenusa Cateto
Figura 164
- Construir um triˆangulo retˆangulo conhecendo a hipotenusa e um ˆangulo agudo.
Hipotenusa
a
Figura 165
Resumo
Nesta aula vocˆe aprendeu...
- Algumas constru¸c˜oes fundamentais de triˆangulos;
- Que certos problemas de constru¸c˜ao de triˆangulos exigir˜ao conhecimen- tos profundos de Geometria B´asica.
