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Divis˜ao de ˆangulos em partes iguais. (^) M ´ODULO 1 - AULA 5
Aula 5 – Divis˜ao de ˆangulos em partes iguais.
Objetivos Efetuar a divis˜ao de um ˆangulo qualquer em 2 n^ partes iguais; Obter a divis˜ao de um ˆangulo em trˆes partes iguais.
Angulos^ ˆ
Vimos na terceira aula como efetuar o transporte de um ˆangulo qualquer apoiando um de seus lados sobre uma semi-reta com seu v´ertice na origem.
As medidas de ˆangulos s˜ao associados a n´umeros reais e desta forma podem ser somados, subtra´ıdos ou multiplicados e divididos por um n´umero diferente de zero, graficamente. Em outras palavras, podemos, de um modo geral, operar graficamente os ˆangulos. E como conseq¨uˆencia, podemos efetuar algumas opera¸c˜oes gr´aficas, como:
- adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao;
- multiplica¸c˜ao por um n´umero natural;
Outras opera¸c˜oes necessitam de processos distintos dos utilizados para resolu¸c˜ao das opera¸c˜oes supracitadas, como a divis˜ao de um ˆangulo em partes iguais, por exemplo.
A divis˜ao gr´afica exata dos ˆangulos por um n´umero n˜ao ´e sempre poss´ıvel. Podemos dividir graficamente com precis˜ao um ˆangulo qualquer em duas partes, em quatro, em oito etc.; no entanto, n˜ao poderemos dividi- lo em trˆes partes, exceto quando o ˆangulo for reto.
Na pr´oxima se¸c˜ao veremos a divis˜ao de um ˆangulo qualquer em uma potˆencia de 2(2,4,8,16,...), atrav´es do uso sucessivo da constru¸c˜ao de bisse- trizes.
Divis˜ao de um ˆangulo em 2 n^ partes iguais
Dividir um ˆangulo em duas partes corresponde a determinar a sua bis- setriz. Antes de obtermos a constru¸c˜ao da bissetriz de um ˆangulo, lembremos que ela ´e um lugar geom´etrico definido da seguinte forma:
Defini¸c˜ao 1: A bissetriz de um ˆangulo determinado por duas retas con- correntes ← AB→ e ← AC→, ´e o lugar geom´etrico dos pontos do plano que eq¨uidistam dessas retas.
Divis˜ao de ˆangulos em partes iguais.
Figura 73
Embora nesta aula o nosso objetivo seja mostrar a divis˜ao de um ˆangulo, ´e sempre v´alido lembrar que duas retas concorrentes formam quatro ˆangulos: dois pares de ˆangulos iguais opostos pelo v´ertice, e dois pares de ˆangulos adjacentes suplementares. Neste caso, o lugar geom´etrico dos pontos eq¨uidis- tantes `as retas concorrentes s˜ao as duas bissetrizes dos ˆangulos distintos que tais retas determinam. Essas bissetrizes s˜ao perpendiculares.
Figura 74
Justificativa: Note, pela Figura 2, que a medida do ˆangulo entre as bissetrizes ´e dado por α + β, onde α = A^ OB̂ 2 e β = B^ OC 2 ̂. Assim
α + β = A
OB̂
2 +^
B OĈ
2 =^
A OB̂ + B OĈ
180 o 2 = 90
o.
Vamos agora trabalhar um pouco com demonstra¸c˜oes que auxiliar˜ao na compreens˜ao destes conceitos.
Problema 1: Achar a bissetriz de um ˆangulo dado A BĈ qualquer.
Resolu¸c˜ao: 1.1 Com uma medida qualquer do compasso e fazendo centro em B, des- crevemos um arco de circunferˆencia que corte os lados do ˆangulo dado. Marque os pontos como D e E;
Divis˜ao de ˆangulos em partes iguais.
Figura 76
2.4 Unindo os pontos C e D obtemos a bissetriz do ˆangulo entre r e s.
Justificativa: Como o ponto D pertence a bissetriz do ˆangulo formado pelas retas r e t, e tamb´ema bissetriz do ˆangulo formado pelas retas s e t, temos que D ´e eq¨uidistante das retas r e t e tamb´em s e t, isto ´e, D ´e eq¨uidistante das retas r e s. Logo D pertence a bissetriz do ˆangulo formado pelas retas r e s. Da mesma forma podemos concluir que o ponto C tamb´em pertencea bissetriz do ˆangulo formado pelas retas r e s. Portanto, a reta que passa por C e D deve ser a bissetriz procurada.
Exemplo 8 Construa uma circunferˆencia que seja tangente simultaneamente as retas r e t, e que tenha centro pertencentea reta s, dadas a seguir.
Figura 77
(1) Qual seria a posi¸c˜ao da reta s para que o problema tenha uma ´unica solu¸c˜ao?
Divis˜ao de ˆangulos em partes iguais. (^) M ´ODULO 1 - AULA 5
Resolu¸c˜ao: Como a circunferˆencia procurada ´e tangente as retas r e t ent˜ao o centro, por ser eq¨uidistantes a estas retas, deve pertencera uma das bissetrizes dos ˆangulos formados por elas. Neste caso o problema pode apresentar at´e duas solu¸c˜oes(1)^ que depender˜ao da possibilidade de interse¸c˜oes de s com tais bissetrizes, visto que o centro pertence a s. Pela figura, nota-se que teremos duas solu¸c˜oes. Neste caso os centros s˜ao os pontos C e C′^ obtidos pela intercepta¸c˜ao de com as bissetrizes. Pelos pontos C e C′^ tra¸camos as perpendiculares `a reta r para obter os raios das circunferˆencias e assim constru´ı-las.
Figura 78
Exerc´ıcios:
- Obtenha a circunferˆencia inscrita no triˆangulo ABC (figura 79).
Sugest˜ao: Lembre-se que o centro da circunferˆencia inscrita num triˆangulo ´e o incentro do mesmo, que ´e obtido pela interse¸c˜ao das bissetrizes.
A
B
C
Figura 79
Divis˜ao de ˆangulos em partes iguais. (^) M ´ODULO 1 - AULA 5
a.1) Marca-se um segmento AB qualquer sobre uma reta suporte r qualquer; a.2) Com abertura do compasso no comprimento de AB, descrevemos dois arcos de circunferˆencia com centros respectivamente em A e B; a.3) Os arcos devem se interceptar num ponto C, com o qual devemos unir o ponto A ou B. Fa¸camos com A; a.4) O ˆangulo C AB̂ mede 60o.
Figura 81
Portanto basta agora tra¸car a bissetriz do ˆangulo C AB̂ para obtermos o ˆangulo de 30o.
Figura 82
b) O ˆangulo n˜ao ´e reto.
Neste caso, a constru¸c˜ao n˜ao pode ser feita com r´egua e compasso. Ser´a dada uma solu¸c˜ao aproximada. Consideremos um ˆangulo com lados sobre as retas r e s que concorrem em O.
Divis˜ao de ˆangulos em partes iguais.
b.1) Com centro no v´ertice do ˆangulo, indicado por O, constru´ımos uma circunferˆencia com raio qualquer. Tal circunferˆencia inter- cepta os lados do ˆangulo nos pontos A e B; b.2) Prolongamos os lados do ˆangulo no sentido oposto ao das semi- retas que o definem e que devem interceptar a circunferˆencia cons- tru´ıda nos pontos C e D. Consideremos D sobre a reta que passa por A e O e C sobre a reta que passa por B e O; b.3) Tra¸camos a bissetriz do ˆangulo dado, que deve interceptar a cir- cunferˆencia no ponto E que est´a no interior do ˆangulo A OB̂ ; b.4) Sobre a bissetriz tomamos um ponto F de modo que E seja ponto m´edio de OF , isto ´e, OE = EF ; b.5) Unimos o ponto F com os pontos C e D. Os segmentos devem interceptar a circunferˆencia nos pontos G e H respectivamente.
Os pontos G e H dividem o ˆangulo A OB̂ em trˆes partes aproximada- mente iguais.
Figura 83
Justificativa: Vamos considerar A OB̂ = 2a e H OĜ = 2x.
Note que no triˆangulo OCF temos que O CF̂ = 12 (a + x), pois ´e um ˆangulo inscrito na circunferˆencia que compreende um arco de medida a + x, e tamb´em temos que C F Ô = 12 (a − x), pois ao prolongarmos a bissetriz obtemos um ˆangulo oposto ao ˆangulo E OB̂ = a pelo v´ertice, que, por ou- tro lado, ele ´e ˆangulo externo ao triˆangulo OCF n˜ao-adjacente aos ˆangulos
Divis˜ao de ˆangulos em partes iguais.
4.2 Unindo o sim´etrico A′^ de A com o ponto B, obtemos um ponto C sobre a reta r;
4.3 As retas definidas pelos pares de pontos A e C, e B e A′^ formam com r ˆangulos iguais.
Figura 85
Justificativa: Como ACA′^ ´e um triˆangulo is´osceles e a reta r divide o segmento AA′^ no ponto m´edio D, temos que r ´e bissetriz de A CÂ ′, isto ´e, A CD̂ = D CÂ ′^ que ´e oposto pelo v´ertice ao ˆangulo formado por r e a semi- reta determinada de origem em C que passa por B, que, neste caso, devem ser iguais. Problema 5: Tra¸car a reta que passa por um ponto A e pela interse¸c˜ao de duas retas r e s, sem usar a interse¸c˜ao destas retas. A id´eia ´e considerar o ponto A como ortocentro(1)^ de um triˆangulo com dois v´ertices situados respectivamente sobre as retas r e s e terceiro v´ertice sendo a interse¸c˜ao destas retas.
(1) Lembremos que o ortocentro de um triˆangulo ´e o ponto de encontro das alturas deste triˆangulo.
5.1 Tra¸camos por A uma perpendicular `a r. Tal perpendicular intercepta s em um ponto B;
5.2 Tra¸camos por A uma perpendicular `a s. Tal perpendicular intercepta r em um ponto C.
5.3 Unindo os pontos B e C obtemos o lado oposto ao v´ertice desconhecido do triˆangulo;
Divis˜ao de ˆangulos em partes iguais. (^) M ´ODULO 1 - AULA 5
5.4 Tra¸camos a reta que passa por A perpendicular ao segmento BC. Tal reta ´e a reta suporte da altura relativa ao v´ertice desconhecido, assim, obrigatoriamente passar´a pela interse¸c˜ao das retas r e s.
Figura 86
Justificativa: A id´eia inicial justifica a constru¸c˜ao.
Exerc´ıcios:
- Construa um oct´ogono regular inscrito em uma circunferˆencia de raio r.
Figura 87
- Construa um ene´agono regular(aproximado) inscrito em uma circun- ferˆencia de raio r.
Figura 88
- Em um jogo de bilhar, para uma determinada jogada, o jogador en- contra somente uma possibilidade para efetu´a-la. Ele deve utilizar as tabelas esquerda, superior e direita da mesa para que a bola saia do ponto A e bata na bola que est´a no ponto B. Observando a figura da
