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Tra¸cados de Perpendiculares (^) M ´ODULO 1 - AULA 2
Aula 2 – Tra¸cados de Perpendiculares
Objetivos Desenvolver t´ecnicas variadas de constru¸c˜oes de retas e segmentos perpen- diculares a uma reta ou um segmento, considerando pontos pertencentes ou n˜ao-pertencentes `a reta ou ao segmento; Resolver os primeiros problemas alg´ebricos atrav´es de constru¸c˜ao geom´etrica.
Problema 1: Tra¸car a mediatriz de um segmento dado AB.
Solu¸c˜ao:
Como sabemos, a mediatriz ´e uma reta, ent˜ao basta encontrarmos dois pontos que pertencem a esta reta para construirmos. Tais pontos devem ser eq¨uidistantes das extremidades do segmento AB. Assim podemos construi-la da seguinte maneira: (^) (1)Sendo a abertura do compasso menor que a metade do segmento AB os arcos n˜ao poderiam se interceptar, devido a condi¸c˜ao de existˆencia de triˆangulos.
1.1. Fixa-se uma abertura qualquer, maior que a metade do comprimento do segmento AB(1), podendo ser do comprimento de AB;
1.2. Em seguida constr´oiem-se duas circunferˆencias com centros em cada uma das extremidades do segmento AB;
1.3. Tais circunferˆencias devem se cortar em dois pontos C e D que s˜ao eq¨uidistantes dos pontos A e B, visto que os raios das circunferˆencias s˜ao iguais;
1.4. Unindo os pontos C e D, obtemos a mediatriz.
Figura 17: Mediatriz do segmento
Tra¸cados de Perpendiculares
Exemplo 3
Dada a figura a seguir, obtenha o ponto D sobre a reta r que seja eq¨uidistante dos pontos A e B.
Figura 18
Solu¸c˜ao:
Como o ponto D procurado ´e eq¨uidistante dos pontos A e B, ent˜ao ele deve pertencer `a mediatriz do segmento AB. Por outro lado, ele tem que estar sobre a reta r. Logo, o ponto D ´e a interse¸c˜ao dessas duas figuras.
Figura 19
Exerc´ıcios:
- S˜ao dados dois pontos B e C e uma circunferˆencia λ. Construa um triˆangulo ABC is´osceles, de base BC, sabendo que o v´ertice A pertence `a λ.
Figura 20
Tra¸cados de Perpendiculares
Justificativa: Observe que a reta constru´ıda pelo ponto C ´e a mediatriz do segmento AD, logo ´e perpendicular ao mesmo. Como o ponto D pertence a reta que passa por A e B, ent˜ao as retas suportes dos segmentos AB e AD devem ser coincidentes. Portanto, a reta constru´ıda ´e perpendiculara reta que cont´em os pontos A eB.
No problema anterior, o ponto F de interse¸c˜ao da reta perpendicular com a reta dada r ´e chamado p´e da perpendicular baixado do ponto C sobre r.
Exerc´ıcios:
- Tra¸car a altura relativa ao v´ertice A do triˆangulo ABC, abaixo:
Figura 23
- Construir o lugar geom´etrico dos pontos que s˜ao p´es das perpendicula- res baixados do ponto A sobre as retas que passam pelo ponto B.
Figura 24
Problema 3: Por um ponto, C situado em uma reta dada, passar uma outra reta perpendicular a esta reta.
Solu¸c˜ao:
J´a que o objetivo ´e construir uma reta que passe pelo ponto C, ent˜ao, basta determinarmos um ponto D de maneira que o segmento CD seja per- pendicular `a reta dada. Para isso, siga os seguintes passos:
Tra¸cados de Perpendiculares (^) M ´ODULO 1 - AULA 2
3.1. Com uma abertura qualquer no compasso, construa uma circunferˆencia de centro em C, objetivando obter dois pontos A e B sobre a reta dada; Note que o ponto C ser´a ponto m´edio do segmento AB.
3.2. Com uma abertura agora um pouco maior do que a abertura j´a feita, construa dois arcos de circunferˆencias, de mesmos raios, com centros nos pontos A e B para que se encontrem em um ponto D; Note que os segmentos AD e BD possuem o mesmo comprimento.
3.3. Unindo os pontos C e D, obtemos a solu¸c˜ao para o problema.
Observe que o triˆangulo ABD ´e um triˆangulo is´osceles de base AB e que CD ´e a mediana relativa `a base, logo coincide com a altura.
Figura 25
Exerc´ıcios:
- Considerando a figura, determine o v´ertice A do triˆangulo ABC, sa- bendo que est´a situado na reta r e o p´e da altura que lhe refere ´e o ponto D.
Figura 26
Tra¸cados de Perpendiculares (^) M ´ODULO 1 - AULA 2
Note que, com as t´ecnicas at´e agora adquiridas, a constru¸c˜ao do Pro- blema 3 ser´a poss´ıvel somente no caso em que se ´e permitido o prolongamento da reta. Se por uma eventualidade do problema n˜ao for poss´ıvel o prolon- gamento da reta (por exemplo o ponto escolhido sobre a reta, pelo qual se deseja tra¸car a perpendicular, se encontra muito pr´oximo `a margem do pa- pel), ent˜ao devemos fazer a seguinte constru¸c˜ao:
Problema 4: Construir uma reta perpendicular `a extremidade de um seg- mento AB sem prolong´a-lo.
4.1. Escolhe-se um ponto O qualquer, n˜ao-pertencente ao segmento AB;
4.2. Se desejamos construir a perpendicular na extremidade A do segmento AB, ent˜ao, com centro em O e raio OA, constr´oi-se uma circunferˆencia. Se OA n˜ao ´e perpendicular a AB, ent˜ao a circunferˆencia dever´a tocar o segmento AB em outro ponto E;
4.3. Unindo o ponto E ao centro O, obtemos um diˆametro onde a outra extremidade E′^ est´a sobre a perpendicular ao segmento AB, que passa por A. Basta ent˜ao unirmos o ponto A ao ponto E′^ que resolvemos o problema.
Justificativa: O segmento AE′^ ´e perpendicular ao segmento AB, pois o ˆangulo E′^ ABˆ ´e um ˆangulo inscrito que subtende uma semicircunferˆencia, logo sua medida ´e a metade de 180o, isto ´e, E′^ ABˆ = 90o.
Figura 30
A seguir, daremos um exemplo onde utilizaremos a constru¸c˜ao 4.
Tra¸cados de Perpendiculares
Exemplo 4
Dado um segmento de comprimento a, obtenha o segmento de medida a
e a
Observe que o segmento de medida a
2 pode ser obtido atrav´es da dia- gonal de um quadrado de lado a, ou pode ser visto como a hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo is´osceles cujos catetos medem a. Neste caso constru´ımos a
2 da seguinte forma:
- Identificamos o segmento dado, de comprimento a, por AB e por uma de suas extremidades, digamos A, constru´ımos uma reta perpendicular;
- Marcamos com o compasso um segmento de extremidade em A e com- primento a. Obtemos um ponto C sobre a perpendicular.
Pelo Teorema de Pit´agoras, o segmento BC tem o comprimento igual a
Para construir o segmento a
3, utilizar o segmento BC no primeiro passo da constru¸c˜ao anterior e obteremos BC′^ = a
Figura 31
