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Transporte de ˆangulo, simetria de um ponto em rela¸c˜ao a uma reta, e retas paralelas. (^) M ´ODULO 1 - AULA 3
Aula 3 – Transporte de ˆangulo, simetria de
um ponto em rela¸c˜ao a uma reta, e retas
paralelas.
Objetivos
Transferir um ˆangulo qualquer; Obter a simetria de um ponto em rela¸c˜ao a uma reta; Construir retas paralelas atrav´es de diversas t´ecnicas; Aplicar paralelismos em problemas de transla¸c˜oes de segmentos.
Transporte de ˆangulo.
Sabemos que um ˆangulo ´e formado por duas semi-retas de mesma ori- gem (v´ertice) e que dois ˆangulos s˜ao ditos congruentes se suas medidas em graus s˜ao iguais. Em muitas constru¸c˜oes ser´a necess´ario a constru¸c˜ao de ˆangulos de mesma medida em um outro v´ertice, ´e o que chamamos de trans- porte de ˆangulo.
Problema 1: Transportar o ˆangulo dado B ACˆ para o v´ertice O, considerando como lado do novo ˆangulo a semi-reta de origem em O que cont´em D.
Figura 32
1.1. Com uma abertura qualquer no compasso tra¸camos um arco de centro em A que intercepta os lados do ˆangulo B ACˆ nos pontos E e F ;
1.2. Com a mesma abertura do compasso, feita no passo anterior, tra¸camos um outro arco de centro em O que intercepta o lado OD num ponto G;
Transporte de ˆangulo, simetria de um ponto em rela¸c˜ao a uma reta, e retas paralelas.
1.3. Transfere-se agora o arco EF̂ para o arco constru´ıdo a partir do lado OD apoiando a ponta seca do compasso sobre o ponto G, obtendo assim um ponto H.
Com isso temos que o ˆangulo G OHˆ tem a mesma medida do ˆangulo B ACˆ.
Justificativa: Os passos 1.1 e 1.2 garantem que os arcos de circun- ferˆencias constru´ıdos possuem o mesmo raio. Portanto ˆangulos centrais de mesma medida compreendem arcos de mesma medida e reciprocamente.
Exerc´ıcios
- Dados os ˆangulos abaixo de medida α, β e γ , construa os ˆangulos de medida α + β + γ e α + γ − β.
Figura 33
Simetria de ponto em rela¸c˜ao a uma reta
Toda reta divide o plano em duas regi˜oes chamadas semi-planos. Dado um ponto A em um semi-plano determinado por uma reta r, chamamos de sim´etrico de A, em rela¸c˜ao `a reta r, o ponto A′^ situado no semi-plano oposto ao de A, sobre a perpendicular em rela¸c˜ao a r passando por A, e sua distˆancia em rela¸c˜ao a r igual a distˆancia de A em rela¸c˜ao a r, ou seja, A e A′^ s˜ao eq¨uidistantes de r. E claro que se um ponto´ A ∈ r ent˜ao A coincide com seu sim´etrico.
Problema 2: Obtenha o ponto sim´etrico de um ponto A 6 ∈ r em rela¸c˜ao `a r.
Resolu¸c˜ao: Este problema pode ser resolvido utilizando a reta per- pendicular a r passando por A, em seguida transferindo a distˆancia de A a r para o semi-plano oposto ao que cont´em A. No entanto, tamb´em pode ser resolvido de uma maneira mais pr´atica e direta, economizando tra¸cos na constru¸c˜ao, tal processo ´e feito como se segue:
Transporte de ˆangulo, simetria de um ponto em rela¸c˜ao a uma reta, e retas paralelas.
Figura 35
- Encontre um ponto C sobre a reta r dada, de maneira que a soma AC + CB seja o menor poss´ıvel.
Sugest˜ao: Lembre que o menor caminho percorrido por trˆes pontos ´e uma linha reta (condi¸c˜ao de existˆencia de triˆangulo), se tra¸carmos o sim´etrico de um dos pontos, os trˆes pontos estar˜ao alinhados e a distˆancia permanece a mesma.
Figura 36
Tra¸cado de retas paralelas
Uma das constru¸c˜oes mais importantes e mais utilizadas nas resolu¸c˜oes de problemas diversos ´e a constru¸c˜ao de reta paralela, que pode ser feita utilizando v´arias t´ecnicas. Vejamos algumas:
Problema 3: Dados uma reta r e um ponto A que n˜ao lhe pertence, tra¸car uma reta s, paralela a r, que passe por A.
Primeiro M´etodo
3.1. Constr´oi-se um arco de circunferˆencia de centro em A com um raio que seja suficiente para que o arco intercepte a reta r num ponto B;
Transporte de ˆangulo, simetria de um ponto em rela¸c˜ao a uma reta, e retas paralelas. (^) M ´ODULO 1 - AULA 3
3.2. Mantendo a abertura do compasso, constr´oi-se um outro arco de centro em B cortando a reta r num ponto C e passando pelo ponto A;
3.3. Transfere-se o arco ̂CA para o arco contendo o ponto B, obtendo um ponto D sobre este arco no mesmo semi-plano determinado por r que cont´em o ponto A.
Unindo os pontos A e D, obtemos a reta paralela s.
Figura 37
Justificativa: O segmento AB representa o raio dos dois arcos cons- tru´ıdos. Nesse caso temos AD = AB = CB e, por constru¸c˜ao, temos que AC = BD. Logo, o quadril´atero ADBC ´e um paralelogramo pois possui lados opostos iguais. Assim, lados opostos tamb´em s˜ao paralelos. Portanto s e r s˜ao duas retas paralelas.
Segundo M´etodo
3.1. Escolhe-se um ponto B qualquer sobre a reta r que n˜ao seja a proje¸c˜ao do ponto A sobre r;
3.2. De raio AB e centro em B, constr´oi-se um arco de circunferˆencia pas- sando por A, cortando a reta r em dois pontos C e D de tal forma que B esteja entre C e D;
3.3. Transfere-se o arco CA para a outra extremidade da semi-circunferˆencia anteriormente constru´ıda, obtendo assim um ponto E situado no mesmo semi-plano determinado pela reta r que cont´em o ponto A. Unindo os pontos A e E, obtemos a reta paralela s.
Transporte de ˆangulo, simetria de um ponto em rela¸c˜ao a uma reta, e retas paralelas. (^) M ´ODULO 1 - AULA 3
Justificativa: A reta s ´e constru´ıda de tal forma que os ˆangulos alternos e internos, determinados pela reta AC, sejam iguais. Portanto, s deve ser paralela a r.
Observe que para esse problema encontramos trˆes maneiras diferentes de solucion´a-lo. Cabe a cada um escolher o m´etodo mais adequado ou at´e mesmo obter novos m´etodos.
A constru¸c˜ao de retas paralelas ´e utilizada em diversos problemas e um dos problemas cl´assicos que envolvem paralelismo ´e a chamada transla¸c˜ao de segmentos. Vejamos um exemplo para ilustrar o conceito de transla¸c˜ao.
Exemplo 5
Dadas duas retas paralelas, r e s, e um ponto A qualquer, como na figura abaixo. Tra¸car pelo ponto A as retas transversais `as retas paralelas de modo que os segmentos compreendidos entre elas tenham um comprimento dado a.
Figura 40
Solu¸c˜ao:
Escolhe-se um ponto qualquer sobre r e indicamos por B. Construindo dois arcos de circunferˆencia de centro em B e raio a, determinamos dois pontos, C e C′, sobre a reta s. Os segmentos BC e BC′^ tˆem comprimentos a. Basta agora tra¸car as retas paralelas aos segmentos BC e BC′, passando por A, para obter a solu¸c˜ao do problema, pois os quadril´ateros EDC ′B e CGHB s˜ao paralelogramos.
Transporte de ˆangulo, simetria de um ponto em rela¸c˜ao a uma reta, e retas paralelas.
Figura 41
Exerc´ıcios:
- Sendo dados duas retas concorrentes r e s, e o ponto C como na figura abaixo, encontre dois pontos D e E, respectivamente sobre r e s, tais que C seja ponto m´edio de DE.
Figura 42
- Construir um segmento CD, congruente a AB dado, entre as duas diagonais do trap´ezio abaixo paralelamente `as bases.
Figura 43
Transporte de ˆangulo, simetria de um ponto em rela¸c˜ao a uma reta, e retas paralelas.
Problema 4: Dados um segmento AB, tra¸car v´arias retas paralelas a AB, mantendo uma distˆancia fixa entre elas.
4.1. Pelos pontos A e B tracemos, respectivamente, duas retas r e s quais- quer;
4.2. Fixemos um segmento CD qualquer como unidade e a partir do ponto A, constru´ımos v´arios segmentos, sobre r, de mesmo comprimento de CD, obtendo os pontos A 1 , A 2 , A 3 , ...;(na Figura 47, constru´ımos quatro segmentos)
4.3. Pelo ponto A 1 tra¸camos uma reta paralela a AB. Esta reta deve inter- ceptar a reta s em um ponto B 1 ;
4.4. Tomando agora o segmento BB 1 como unidade, constru´ımos a mesma quantidade de segmentos, sobre s, de mesmo comprimento de BB 1 , ob- tendo os pontos B 2 , B 3 , ... no mesmo semi-plano de B 1 em rela¸c˜ao a AB.
Figura 46
Basta unir segmentos A 1 B 1 , A 2 B 2 , A 3 B 3 , ..., que teremos as retas para- lelas.
Figura 47
Transporte de ˆangulo, simetria de um ponto em rela¸c˜ao a uma reta, e retas paralelas. (^) M ´ODULO 1 - AULA 3
Justificativa: Pelo ponto B 2 tra¸cemos uma reta r′^ paralela a r. Tal reta intercepta os segmentos A 1 B 1 e AB, respectivamente nos pontos C 1 e C. Observando o triˆangulo CBB 2 vemos que B 1 ´e ponto m´edio de BB 2 e C 1 B 1 ´e paralelo a CB. Logo C 1 ´e ponto m´edio de CB 2 , isto ´e, CC 1 = C 1 B 2. Por outro lado, AA 1 = A 1 A 2 por constru¸c˜ao e AA 1 = CC 1 pois A 1 C 1 CA ´e um paralelogramo. Assim, A 1 A 2 = C 1 B 2 e s˜ao paralelos, ou seja, A 2 B 2 C 1 A 1 ´e um paralelogramo. Portanto A 2 B 2 //A 1 C 1 //AB. Da mesma forma mostramos o paralelismo de A 3 B 3 e A 4 B 4.
Figura 48
Resumo
Nesta aula vocˆe aprendeu ...
- Simetria de ponto em rela¸c˜ao a uma reta;
- Diversas t´ecnicas de constru¸c˜ao de retas paralelas;
- Que o paralelismo pode ser aplicado em transla¸c˜oes de segmentos.
