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Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia. (^) M ´ODULO 1 - AULA 6
Aula 6 – Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de
circunferˆencia.
Objetivos
Efetuar as constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencias; Construir o arco capaz de um ˆangulo dado sobre um segmento dado.
Circunferˆencias e C´ırculos
Defini¸c˜ao 1: Denominamos circunferˆencia o lugar geom´etrico dos pontos do plano que est˜ao a uma distˆancia r, chamada raio, de um ponto fixo C, chamado centro. Chama-se c´ırculo a por¸c˜ao de plano limitada por uma circunferˆencia.
Vocˆe vˆe c´ırculos mais comumente, talvez, do que outras figuras geom´etricas. N˜ao acredita?...
Repare nos c´ırculos nas faces das moedas, no prato onde come e no copo em que bebe. At´e no c´eu vocˆe vˆe c´ırculos no sol e na lua cheia.
Em rela¸c˜ao `a circunferˆencia existem alguns elementos e propriedades que no decorrer das aulas estaremos sempre recordando.
- corda de c´ırculo ´e o segmento que une dois pontos da circunferˆencia desse c´ırculo.
- diˆametro de um c´ırculo ´e qualquer corda que passe pelo centro.
- a distˆancia do centro a qualquer ponto da circunferˆencia chama-se raio.
- o diˆametro ´e o dobro do raio.
Figura 90
Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia.
- o comprimento de uma circunferˆencia ´e calculado, multiplicando-se seu diˆametro pelo valor de π (Veja Geometria B´asica).
- a ´area de um c´ırculo ´e calculada multiplicando-se o quadrado de seu raio pelo valor de π (Veja Geometria B´asica).
Angulo Inscrito e ˆ^ ˆ Angulo Central
Defini¸c˜ao 2: Seja um arco ̂AB de uma circunferˆencia de centro O. Um ˆangulo
- cujo v´ertice seja um ponto C da circunferˆencia;
- que n˜ao pertence a ̂AB;
- cujos lados passem pelos extremos de AB̂ , ´e denominado ˆangulo inscrito que compreende o arco AB̂.
As semi-retas de origem O que passam respectivamente pelos pontos A e B formam um ˆangulo chamado ˆangulo central que compreende ̂AB.
Figura 91
J´a foi visto em Geometria B´asica que todo ˆangulo central tem a mesma medida do arco por ele compreendido, e que todo ˆangulo inscrito tem por medida a metade do arco por ele compreendido, e conseq¨uentemente, todos os ˆangulos inscritos em um mesmo arco s˜ao iguais `a metade do ˆangulo central.
Al´em disso, ˆangulos inscritos em cada um dos arcos determinados por uma corda s˜ao suplementares.
Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia.
Figura 94 :A M B̂ = 1802 o= 90o
Problema 1: Construir o arco capaz de onde se vˆe o segmento AB sob um ˆangulo α = C DÊ.
Resolu¸c˜ao:
1.1 Dado o segmento AB, tra¸camos a sua mediatriz, que intercepta AB em um ponto M ;
1.2 Em uma das extremidades do segmento AB, transportamos o ˆangulo α, considerando AB como lado do novo ˆangulo. Fa¸camos isso conside- rando a extremidade B. O novo lado do ˆangulo intercepta a mediatriz num ponto P ;
1.3 No v´ertice B do novo ˆangulo constru´ıdo, tra¸camos uma perpendicular ao novo lado do ˆangulo;
1.4 A perpendicular constru´ıda interceptar´a a mediatriz de AB em um ponto O, que deve ser o centro do arco a ser constru´ıdo;
1.5 Com a ponta seca do compasso em O, com abertura OA, giramos o compasso no semiplano, definido pela reta suporte de AB, oposto ao semiplano do ˆangulo novo constru´ıdo.
Qualquer ponto sobre tal arco forma com A e B ˆangulo igual a α.
Justificativa: Note que o ˆangulo central A OB̂ mede 2 α, pois A OM̂ = M OB̂ = M BP̂ = α. Portanto, qualquer ˆangulo inscrito que com- preenda o segmento AB e que tenha o v´ertice sobre o arco AB̂ , ter´a medida A OB̂ 2 = α.
Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia. (^) M ´ODULO 1 - AULA 6
Figura 95
Exerc´ıcio:
- Construa um triˆangulo is´osceles que tenha a base igual a
e que tenha o ˆangulo opostoa base igual A BĈ.
Figura 96
Constru¸c˜oes B´asicas em Circunferˆencias.
Problema 1: Determinar o centro de uma circunferˆencia. Resolu¸c˜ao: 1.1 Tra¸ca-se uma corda AC, qualquer, na circunferˆencia;
1.2 Tra¸ca-se a mediatriz do segmento AC. A mediatriz deve interceptar a circunferˆencia nos pontos E e F ;
1.3 Encontramos o ponto m´edio O de EF utilizando a mediatriz.
O ponto O ´e o centro da circunferˆencia (Figura 97). Justificativa: Como EF ´e perpendicular `a corda AC e passa pelo seu ponto m´edio, ent˜ao EF ´e um diˆametro da circunferˆencia. Portanto, o ponto m´edio de EF ´e o centro da circunferˆencia. Para maiores detalhes veja aula sobre circunferˆencias, da disciplina Geometria B´asica.
Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia. (^) M ´ODULO 1 - AULA 6
Problema 3: Construir uma circunferˆencia que passe por trˆes pontos A, B e C n˜ao-alinhados.
3.1 Tra¸ca-se as mediatrizes dos segmentos AB e BC;
3.2 As mediatrizes se encontrar˜ao em um ponto D, que ´e o centro da cir- cunferˆencia procurada.
Figura 99
Justificativa: Como o ponto D ´e a interse¸c˜ao das mediatrizes dos seg- mentos AB e BC, ent˜ao ele ´e eq¨uidistante dos pontos A, B e C. Logo ´e o centro da circunferˆencia que passa por esses pontos.
Exerc´ıcios:
- Construa o lugar geom´etrico dos pontos do plano que s˜ao centros das circunferˆencias de raio R e que determinam com a reta r cordas iguais a c.
Figura 100
Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia.
- Construa o lugar geom´etrico dos pontos do plano que s˜ao centros das circunferˆencias de raio R e que determinam com a circunferˆencia λ cordas iguais a c.
Figura 101
- Construa o lugar geom´etrico dos pontos do plano que s˜ao pontos m´edios das cordas, da circunferˆencia λ, que s˜ao iguais a c.
Figura 102
Tangˆencia entre reta e circunferˆencia.
Dizemos que uma reta ´e tangente a uma circunferˆencia quando a in- terse¸c˜ao da reta com a circunferˆencia ´e um ´unico ponto. Os problemas de tangˆencia se resolvem baseados na seguinte propriedade:
Considere uma circunferˆencia λ de centro O e raio R e seja r uma reta tangente a λ num ponto de tangˆencia A, ent˜ao OA ´e perpendicular a r.
Problema 4: De um ponto dado em uma circunferˆencia, tra¸car a reta tangente a ela.
Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia.
l
C
O
M
D
A
Figura 104
Problema 6: Dadas duas circunferˆencias de raios R e R′^ e centros O e O′, respectivamente, tra¸car suas tangentes comuns.
Primeiro caso: Tangentes exteriores Se R = R′, ent˜ao basta tra¸car as perpendiculares em rela¸c˜ao ao seg- mento OO′^ em suas extremidades e unir os pontos de interse¸c˜ao com as cir- cunferˆencias. As retas obtidas devem ser paralelas a OO′^ e perpendiculares aos raios OA e O′B. Portanto, s˜ao tangentes `as circunferˆencias.
A B
O R R´ O´
Figura 105
Se R < R′, constru´ımos as tangentes comuns exteriores atrav´es dos seguintes passos:
(i) Constru´ımos os raios OA e O′B, respectivamente, sobre as circun- ferˆencias de centro O e O′;
(ii) Transportamos o raio OA e o colocamos sobre o raio O′B, a seguir, tomando como origem o ponto B, e rebatendo para o interior da cir- cunferˆencia de centro O′^ e obtemos um ponto C; (iii) De centro em O′^ e raio O′C, constru´ımos uma outra circunferˆencia;
(iv) Tra¸camos as tangentes a essa nova circunferˆencia que passam pelo ponto O, obtendo os pontos de tangˆencias E e F ;
Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia. (^) M ´ODULO 1 - AULA 6
(v) Unimos o ponto O′^ aos pontos E e F , interceptando a circunferˆencia maior nos pontos G e H;
(vi) Com centros em G e H, constru´ımos dois arcos de circunferˆencias de raio iguais a OE, interceptando a circunferˆencia de centro O nos pontos I e J.
Os pontos G e I formam uma tangente comum e os pontos H e J formam outra tangente comum.
Figura 106
Justificativa: Observe que o quadril´atero OEGI ´e um retˆangulo, pois OE e GI s˜ao iguais e perpendiculares `as retas suportes dos raios O′E e O′G. Dessa forma OI = EG e assim O′E = R′^ − R.
Segundo caso: Tangentes interiores
Se R < R′, constru´ımos as tangentes comuns interiores atrav´es dos seguintes passos:
(i) Constru´ımos os raios OA e O′B, respectivamente, nas circunferˆencias de centro O e O′;
(ii) Transportamos o raio OA e o colocamos sobre o prolongamento do raio O′B, em seguida, tomando como origem o ponto B, rebatendo para o exterior da circunferˆencia de centro O′^ e obtemos um ponto C;
(iii) De centro em O′^ e raio O′C, constru´ımos uma circunferˆencia;
Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia. (^) M ´ODULO 1 - AULA 6
Figura 109
Sabemos que por um ponto P fora de uma circunferˆencia podemos tra¸car duas retas tangentes a ela. Al´em disso, se unirmos o ponto P ao centro O da circunferˆencia, obtemos a bissetriz do ˆangulo formado pelas retas tangentes(veja aula sobre circunferˆencia, em Geometria B´asica).
Figura 110
Assim, se considerarmos o ˆangulo entre CB e r como α, ent˜ao o ˆangulo entre AC e r deve ser 2.α que coincide com ˆangulo formado pelo prolonga- mento de AC com r, j´a que s˜ao ˆangulos opostos pelo v´ertice. Tra¸cando a bissetriz do ˆangulo entre AC e r, obtemos o lugar geom´etrico de todos os centros das circunferˆencias que s˜ao tangentes a r e ao prolongamento de AC. Tra¸cando a perpendiculara r pelo ponto B, tal reta interceptar´a a bissetriz no ponto sim´etrico de B em rela¸c˜ao a r. Isto ´e, o sim´etrico de B em rela¸c˜aoa r ´e o centro da circunferˆencia tangente `a r e ao prolongamento de AC. Neste caso para obtermos o ponto C, devemos seguir os seguintes passos:
(i) Achamos o ponto sim´etrico B′^ de B em rela¸c˜ao `a r;
(ii) Constru´ımos a circunferˆencia de centro em B′^ e raio a metade de BB′;
Arco capaz e constru¸c˜oes b´asicas de circunferˆencia.
(iii) Tra¸camos por A uma reta tangente a essa circunferˆencia que intercep- tar´a a reta r em C.
Figura 111
Exerc´ıcios:
- Considerando a figura abaixo, construa a circunferˆencia que passe pelo ponto B e que seja tangente `a reta r no ponto A.
Figura 112
Sugest˜ao: Lembre que o centro da circunferˆencia procurada deve ser eq¨uidistante dos pontos A e B, e sendo r tangente, ela ´e perpendicular ao raio no ponto A.
- Considerando a figura abaixo construa uma circunferˆencia que passe pelo ponto B e que seja tangente `a circunferˆencia λ no ponto A (veja Figura 113).
Sugest˜ao: Lembre-se que se duas circunferˆencias s˜ao tangentes, os cen- tros e o ponto de tangˆencia devem estar numa mesma reta.
