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f(x) é crescente e Im=IR
Para quaisquer x 1
e x 2
do domínio:
x 2
x 1
⇒ y 2
y 1
(as desigualdades têm
mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im=IR
Para quaisquer x 1
e x 2
do domínio:
x 2
x 1
⇒ y 2
<y 1
(as desigualdades têm
sentidos diferentes)
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a
incógnita aparece em expoente.
Exemplos de inequações exponenciais:
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos
importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma
base;
2º) aplicação da propriedade:
a>1 0<a<
a
m
> a
n
⇒ m>n
(as desigualdades têm mesmo sentido)
a
m
> a
n
⇒ m<n
(as desigualdades têm sentidos
diferentes)
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
- 25 - 150.5 3125 0 (queésatisfeitapara 2 3 )
(queésatisfeitaparax -3)
2 2 (queésatisfeitaparatodox real)
3 81 (asoluçãoé 4 )
x
3
2x - 2 1
2
−
−
x
x
x
x
x
x
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
PortantoS IR (reais negativos)
Comoabase(4)émaiorque1,obtemos :
Porém, 4 1 4 4.
( 1 4 16 ). 4 11 11. 4 11 edaí, 4 1
4 4. 4 16. 4 11 ,ouseja :
Multiplicandoambososladospor 4 temos :
Ainequaçãopodeser escrita
Resolução :
0
0
1 1
− +
x
x
x x
x x x
x x x
x x
x
x x x
Nos dois exemplos, podemos observar que
d) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é
x=1;
f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é
Im=IR.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1 0<a<
f(x) é crescente e Im=IR
Para quaisquer x 1
e x 2
do domínio:
x 2
x 1
⇒ y 2
y 1
(as desigualdades têm
mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im=IR
Para quaisquer x 1
e x 2
do domínio:
x 2
x 1
⇒ y 2
<y 1
(as desigualdades têm
sentidos diferentes)
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve
logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em
ambos.
Exemplos de equações logarítmicas:
7) log
3
x =5 (a solução é x=243)
8) log(x
2
-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)
9) log
2
(x+3) + log
2
(x-3) = log
2
7 (a solução é x=4)
10) log
x+
(x
2
-x)=2 (a solução é x=-1/3)
Alguns exemplos resolvidos:
1) log
3
(x+5) = 2
Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-
log
3
(x+5) = 2 => x+5 = 3
2
=> x=9-5 => x=
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto
solução é S={4}.
2) log
2
(log
4
x) = 1
Resolução: condição de existência: x>0 e log
4
x>
log
2
(log
4
x) = 1 ; sabemos que 1 = log
2
(2), então
log
2
(log
4
x) = log
2
(2) => log
4
x = 2 => 4
2
= x => x=
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o
conjunto solução é S={16}.
3) Resolva o sistema:
Resolução: condições de existência: x>0 e y>
Da primeira equação temos:
log x+log y=7 => log y = 7-log x
Substituindo log y na segunda equação temos:
3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>
=> log x =3 => x=
3
Substituindo x= 10
3
em log y = 7-log x temos:
3 .log 2 .log 1
log log 7
x y
x y
2) log 2
(log 3
x) ≥ 0
Resolução:
Condições de existência: x>0 e log
3
x>
Como log 2
1=0, a inequação pode ser escrita assim:
log 2
(log 3
x) ≥ log 2
Sendo a base (2) maior que 1, temos: log 3
x ≥ 1.
Como log 3
3 = 1, então, log 3
x ≥ log 3
3 e, daí, x ≥ 3, porque a base (3) é
maior que 1.
As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x ∈ IR| x ≥ 3}.
Função Quadrática
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax
2
+ bx + c , onde a,
b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
- f(x) = 3x
2
- 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
- f(x) = x
2
-1, onde a = 1, b = 0 e c = -
- f(x) = 2x
2
- 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
- f(x) = - x
2
- 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
- f(x) = -4x
2
, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax
2
0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x
2
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor
correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto
de mínimo V ; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo
e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são. Veja os gráficos:
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax
2
- bx + c, a 0, é o conjunto
dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
a > 0
2ª quando a < 0,
a < 0
x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o
indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y > 0 (x < x 1
ou x > x 2
y < 0 x 1
< x < x
2
quando a < 0
y > 0 x 1
< x < x
2
y < 0 (x < x 1
ou x > x
2
GEOMETRIA ANALÍTICA
Retas
Introdução
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma
correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um
único número real e vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x , orientada da esquerda para direita
(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u ,
unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos
determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u :
Medida algébrica de um segmento
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B , do eixo x os números reais x A
e x B
, temos:
A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que
corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem
desse segmento.
Plano cartesiano
A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês
René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos
associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par
ordenado e vice-versa.
Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa
correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano
cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria
( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.),
podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar
algebricamente representações gráficas.
Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:
Exemplos:
- A (2, 4) pertence ao 1º quadrante (x A
0 e y A
Equações de uma reta
Equação geral
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de
alinhamento de três pontos.
Dada uma reta r , sendo A (x
A
, y
A
) e B (x
B
, y
B
) pontos conhecidos e
distintos de r e P (x,y) um ponto genérico, também de r , estando A , B e P
alinhados, podemos escrever:
Fazendo y A
= a, x B
= b e x A
y B
y A
=c, como a e b não são
simultaneamente nulos , temos:
ax + by + c = 0
(equação geral da reta r)
Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta.
Assim, dado o ponto P (m, n):
- se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;
- se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.
Acompanhe os exemplos:
- Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A (1, 3) e B (2,
Considerando um ponto P (x, y) da reta, temos:
- Vamos verificar se os pontos P (-3, -1) e Q (1, 2) pertencem à reta r do
exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0,
temos:
Como a igualdade é verdadeira, então P r.
Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:
Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.
Geometria Analítica: Circunferência
Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano
eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da
circunferência:
