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CURSO ONLINE CEMIG • EDITAL 02/
Aula A04 – Conjuntos Numéricos
A04.01 – Conjuntos Numéricos
Talvez não seja tão aparente, mas temos vários tipos de número. Existem números que servem para contar quantidades inteiras, existem números negativos e outros que servem para expressar resultados de divisões que não são exatas. Por isso, em Matemática, organizamos os diversos tipos de números em diferentes conjuntos numéricos.
A04.0 2 – Conjunto dos Números Naturais (ℕ)
Para contar pessoas em uma fila, por exemplo, nós usamos apenas números inteiros e positivos.
Esses são os números naturais.
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Podemos observar que a adição ou a multiplicação de dois números naturais sempre retorna um resultado que também será um número natural. Dizemos, então, que o conjunto ℕ é fechado em relação às operações de adição e multiplicação.
Se quisermos subtrair ou dividir dois números naturais, não teremos a mesma “sorte”, ou seja, o resultado pode não ser um número natural. Por exemplo, se fizermos 10 – 3, sabemos que o resultado é 7, que é natural, mas se fizermos 3 – 10, não encontraremos o resultado dentro do conjunto ℕ. Para resolver essa “falha”, precisaremos definir um novo conjunto em que seja possível realizar operações em que a quantidade a subtrair (subtraendo) é maior que a quantidade disponível (minuendo).
A04.03 – Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)
Para dar resposta a operações do tipo 3 – 10, vamos definir um novo tipo de número, fazendo um procedimento simples. Para cada número natural, vamos criar um número correspondente, chamado de oposto do número natural. Para compreender melhor essa ideia, vamos representar os números sobre uma reta:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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Agora, definimos o seguinte:
10 – 3 = 7
3 – 10 = -
Ou seja, para subtrair uma quantidade d outra menor que ela, basta recorrer aos números negativos.
Os números negativos são muito úteis para representar diversas situações, como saldo negativo, temperaturas, níveis em relação a um referencial, etc.
Observe que o conjunto ℤ é apenas uma expansão do conjunto ℕ, que obtemos quando acrescentamos os números negativos e o zero. Ou seja, o conjunto ℤ inclui o conjunto ℕ, de forma que
todo número natural é um número inteiro.
A04.04 – Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
Mesmo tendo resolvido a “falha” com relação à operação de subtração, ainda não temos em ℤ respostas para todas as operações de divisão. Se quisermos dividir, por exemplo, uma chupeta para dois bebês, não haverá solução entre os números inteiros!
Para dar resposta às operações de divisão, criamos os números racionais, que representamos pela letra ℚ, formado pelos resultados de todas as divisões possíveis entre números inteiros.
Não é possível dividir por zero.
Para formar o conjunto ℚ, então, simplesmente acrescentamos aos números inteiros (ℤ) as frações. Em linguagem simbólica, escrevemos
a b
, a ∈ ℤ, b ∈ ℤ*}
Em resumo, se um número pode ser escrito na forma de fração, então é racional. De maneira equivalente: se um número é o resultado de uma divisão de números inteiros, então é racional.
No conjunto ℚ estão incluídas as dízimas periódicas, pois elas são resultado da divisão entre dois números inteiros.
A04.05 – Conjunto dos Números Irracionais
Embora o conjunto dos números racionais seja fechado em relação às quatro operações fundamentais, existem algumas operações matemáticas cujo resultado não está no conjunto ℚ. Isso significa que alguns números não podem ser representados na forma de fração, ou, de forma
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1 2 (^3 )
...
ℕ
-1 -
ℤ
...
1 2
3 4
22 7 1 2
0
ℚ
2 3
5
ℝ
...
...
