Baixe Conjuntos Numéricos - Capítulo e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Nestecapítuloapresentaremosconjuntos
cujos
elementossãonúmeros,
porissodenomÌnarnos
con_
juntos numéricos.Emcadaum deles,os elernentos
têm algumacarâcterística
em comum.
Portanto,
fafãopartedesteestLrdosucinto
os
conjuntos
dosnúmerosnaturâis,dosinteiros,
dosra_
cìonais,dosirracionais
e,porfim,o conjuntodosnú_
merosfeais.
0 conjr.:nto
dosnúrneros
naturats:NU
0 surgimento
doconjuntodosnúmeros
nâturers
deveu-seà necessidade
dese contâremos objetos.
Temos,então:
N =
n,...}
em quen representâLrrnelemento
genéricodo con-
junto.
0s conjuntosnuméricos
apÍesentadosneste
capÌulopoderìse' 'epÍeseôtados
georìet'icêmen-
te pormeiodepontosdìspostosem
umaretâ,cha_
madâretânumeÍada.Nelaindicamosum
pontode
origem
ícorespondenteaonúneroleÍo).Lmàu_i
dadedemedìdae umaorientação
(pãraa diÍeita,por
exernplo).
01
----.!-
Pararêpresentaros eleÌnentosdo conjunto
N,
rnarcamossobrê
êssaretaoutrospontos,corfespon_
0 conj!ntodosnúmerosnâturaispossuialguns
subconjuntosimportantes:
conjuntodosnúmerosnaturaisnãonulos:
N={r,2,3,a,...,n,...} ou N=N-{0}
conjuntodosnúmerosnaturais
pares:
Np={0,2,4,5,8,...,2n,...},emquen € N
conjuntodosnúmerosnaturâis
ímpares:
Nr={1,3,5,
Z 9,...,2n
+ 1,...},emquen € N
conjuntodosnúmerosnaturâÌs
primos:
N = {0,1,2,3,4,5,
...}
,/,. r _-\
,-''
'/
| \ -------
112345
P=12,3,5,Z
dentesaosnúmeros2,
dadedemedida:
OperaçõesemN
Noconj!ntodosnúmerosnaturaissãodefinidas
duasoperêções:a adiçãoe a mLrltiplicaçã0. 0uêÌsquer
quesêjam os natuÍâis
o e b, suasomaã + b e se!
produtoa b sãonúmefosnaturais.
Já o mesmonãoocorrecome subtração.
EmN
sóé possÍvelrealizarâsubtraçãoa bquandoa
b.
Assim,porexemplo,â operaçãô7 - 3 resultaemum
numeronâtu'è,,mâsrào exister umeronaturál
v tal
quex = 3 - Z PaËquesejasemprepossívelreâlizar
subtrâções, é necessário
âmpliaro conjunÌoN, for'
mandoo conjuntodosnúmeros
Ìnteiros.
!
Dizemos,portanto,que
o módulo(ouvâlorabso-
luto)de3 é 3 (distância
enrre
3 e 0) e indicamos
3i= 3.
Pelâ
mesmareflexã0,
temosqueo módulo
(ouvalor
absoluto)de 3 é 3 (distânciã
entre
e 0) e indicamos
Para representargêometricâmênte o conjuntoZ
DeulÌ modogeral, chãmamos módulo,ou valor
naTetâ numeradâ,vãmos utilizãÍoselementos deN,
absoluto,deumnúmerointeiroxàdistâncjaentrea
âcrêscentando os pontoscorrespondentesâ sêus
origem e o pontoqLJerepTesentà o númerox,
0p0st0s.
il conjunto dosnúmeros
inteíros: Z
Esseconjunto é formadoportodosos elemen-
los deN e seus opostos
(ousiméÍicos).
Assim,vejamos:
z =
...,-4,3,-2,-r,
NoÌâmos,portâr'to, que \ é um subconjunro
deZ:
NCZ
z=1.., 4,_3,-2,1, A,1,2,3, 4,...
,,/r/,2/ / l\'.
//,/,/////\\
4 -:
1- 0 1 2 3 4
0 coniuntodos.úmêros nteirostarìbempossui
âlgunssubconjuntos notáveis:
conjurtodosnirreros intêiroqnaonulos:
z* =1...,
4,3,?,1,1,2,3,4,...)
ou
z*=z_{o}
conjuntodosnúmeros inteirosnãonegativos:
z_=10,1,2,3,4,...\
Zn é o próprio conjunto dosnúmerosnaturaisl
z.=N
conjunto dosnúmerosinteirospositivos:
zï=
{r,2,3,4,...}
conjuntodosnúmeros inteirosnãopositivos:
z_={_,_s,4,_3,_2, 1,0\
conjuntodosnumeíos inteirosnegativos:
Za={..., s,-4,-3,z,-r}
Módulodeumnúmero inteiro
vamostomarcomo exemploo número3 e seu
oposto -3.
!-------.\7-------vJ
3 unidades 3 unidad€s
0bservamosquea
distância
entre3e 0 é3uni-
dades.
Poroutro
lado,a dìstânc'e
entre-3e 0 étambem
3 unidades.
ü exerüícios
M@
t. Determine A
ô B e À U B, sendo
A= {xe N lx< 7l eB= ix€ N I I <x<S}.
Descreva por meio de uma propriedade
ca-
mctedstica osconjuntos C a DeC U D, sendo
C={x€ Nl0<x<
ltÌ eD=
{x€ Z
2<Ì<9i.
CaÌcule:
a) 7+(-s+1)-2-(6-3)
b)
c) 7+l 3-21,15-
a) lr-ls+sll-lzzl
Operações emZ
Noconjuntodosnúmeros inteiros sãodeíÌnìdâs
tresopeÍeçõês:a adição,esubtraçãoea multÌplicã.
çã0.
ouaisquer
quesejem osìnteiros o e b,suasoma
ê + b,suêdiference à o ê seuprodJto a.b sàonú-
meros inteiros.
Jáo mesmo nãoocorrecoma divisã0.EmZ sóé
possÍvel rêalizaruma divisãoa : bquândooémúlti-
pjodeb.Assim, porexemplo, a operação8:4 resultâ
emumnúmerointeiro, mesnãoexiste númerointei,
rox tal quex = 4 : 8. Para quesejasemprê possÍvel
,
lrJ
A gumasvezes, no entanto,aodividirmoso nu-
meradorpelodenominadordeumâfraçã0,nãoobte-
mosresto zeToem nenhumâetepâdadivisã0.Nes-
sescasos,o quocientedâdivisãoêpresentâumare-
petiçãoinflnita de algarismosâpóse vírgula.Esse
tipodequocienteé chamadodízÌmaperiódica.
A fo mã dec'ràldâ t èLao
. poreÍenpro, e
,
umadízimaperiódicâ. Vejamos:
t
IT
2A
(íepótlirr'o)
Notamosqueo algafismo 3 se
repete indefinida-
11
Tenrê.Por!è.Ì0,
,83,quee una
dízima
periódicã, nâ qLtao algarismo3 é châmâdo
Pefiodo,
queé representadopor3.
Vejamos esteoutroexempodedízimaperiódica:
15
a
7A
_
período;
Emcadacaso,e frâçãoquedáorigemà dízimâ é
charnadafraçãogeÉtriz.
Inversamente,a partirdeumadízima periódica,
é possível calculara suegeratriz-Vamosverifìcar os
exemp0s a segurt
x=
íÒ.10x=32.
(Ae
1000x
27s.7s
o
AoeieÌue
mos6)-(2. teremos,
1000x-10x=
990x
12A,?
oon
Asslm,
i#e
a
il exerclctCIs
rc
4, Quais dasproposiçoes
")+€a
b)+ 1e{)
- Escrcva na forma decimalcadaumadasíraçoes:
"):
d)+
abaixosãoverdadeiras?
d) 0,333...€ Q
Ò r,t€z
o+
L')
@
f]x = ?,???...
'J.l:
- Encontrea
fraçãogeratrizdecâdadízimapenó-
.t1l .L" at-
Pelo
expostonotamosqueo módulodeumnú'
mero
qLralquer
é semprepositivoounulo.
.D u
Dado um 1-meroíàcioral
r,
cor
r
r
o
cnà"ne-9e Inveís
dele 0 numeí
p
. coÍ0 0bservà-
mospetosexemptos.
0 inversode
é
ï.
i
u Inverso0e-; e -,{.
^,
_ I
u InveÍsode 5 e:.
5
L pos-ivelver'Íicarqueo p'ooutode
-Í
nunero
oelosêu
_verso
é seÍrpreigudld 1.VejêTos:
* ejunrtr:dms:ún"'rr*s
lífâei$!'ìâi5: ll
Vimosque eliste'ì infrrrÌos
,ìume'o
Íãcio
nais,quepodemserescrìtosnâformade Írações
comn!merador e denominador
inteiros.Aoserre-
prêsentãdo naformadecirnal,um númeroracionâl
podeser uÌ dec'mèlei(ètoo- uÍra dizimâperid-
Existem,enlÍetanto,números cujarepresentâ-
ção
decimãlé infinita,masnàoperlódica
Vejarnosa gunsêxemplos:
0 número0,123456...
(emqueas casasdecimais
são os númerosnatureÌs
Iustepostos)
não é
dízimaperiódÌca,pois osÌnÍÌnitosa gârismos
à di'
reitadavirgulâ nãose repetemperiodicamente.
0snúmerosú=1,4f+213S...,lE=l,ZSZOSOe...,
e
e E=3,141592...nãosãodízimas
periódicas.
Desgalormê,um númerocLja-ep'eserÌacào
decÌmalinÍÌnitanãoé periódicaé châmadonúmero
iÍâcìonâl.lndicemoso conjuntodosnúmerosirÍâcio-
naisporL
13
dica:
a) 0,- .) l,S
b) 2,666... d) 7,
e) 1,
f) s,r
-Dl
L
Se
o
,
'
|
.\endopeqnumero'inieiroç
7ni
positivosprimos entresi, caÌcuÌe
p + q.
- Apresentena forma decimaÌo resuÌtado
de
/
i\
4.13,2+0,2-ãJ.
- Determine na forma de fração o resuÌtadode
1,3:2,5.
0posto,móduloe inversode
umnúmeroracional
Dàdoonumerorecional
! ,chara-seoposto
oee
q
o número !.
q
Vejamosos exemplosa seg!Ìr:
.0ooostode lé
rt
.ooDostode Ie1.
'
Umnúmerorecionele seuopostopodemser re-
presentadosporpontosda retaqueestãoà mesmâ
distânciado0, comomostrao exernploâbaixo.
r
Dadoo númeforacìonâlg.seumóduloé â dis-
.q
tâncíâdo pontoque o representââté o ponto0.
Indica-se,lll.
tql
ExempliÍicândo,temos:
.lLl=/
"l
tl=(
I #='
(+)(+)='
' ï='
1 _
lntervalosreais
0 conj!ntodosnúmerosreaispossuitambém
subconju_tos,quesê denomi_ê'r'nlevêlose ìao
deterÌ 1àdospo',neio oedesgualdades.Sejâmos
númerosreaisoeb, coma < b,temos:
intervaloabertode extremoso e b é o conjunto
la,b[=(x € R
a<x<b].
Vejamosl
[3,+-[={x€ R x>3}
3
[a,+-l={xeRJx>a}
Vejamos:
la,+-l={xeRlx>a}
Vejamos:
13,+-[={x€Rx>3}
t
Nole as bo inhas vaz as".
> Ìntervalofechadodeextremoso e b é o conjunto
[a,b]={xe R a<x<bi.
Vejamos:
[3,s]={x€ R 3<x<5}
35
3
3
13,51={xÊRl3<x<si
Naresoluçãode inequaçõese deoutrosproble-
mâserì q-e sàonecesséièsopeÍaçoescomouniJo.
interseçã0, etc.entrelntervalos,sugeÍimosutì zar
a Íepresentação gráficã.
Dados
osintervalosA={x€ R |
-1 <x < 3t
B
={x €
R I x > 1}e C=
l--,
21,podemos
representá-losessim:
l3,sl=ixeRl3<x<s)
3
Note as bolnhas cheias.
Ìntervao abertoà dìreita(ouíechadoà esquerda)
deextremosd e b é o coíìjunto
[e,b[ ={x €
R
â<x<b).
l:,s[=(xeR 3<x<s]
intervâlo abertoà esquerda
(ouÍechado à direitâ)
deextremoso e b é o conjunto
]a,b] ={x €
R
a{x<b}.
Vejamos:
ANBNC:
ExistemaindaosintervalosinÍinitos:
l-,al={x€R
x<a}
Vejamos:
I
={x€ R x
3
l-,3[={xeR
x<a)
Vejâmos:
l-,31={x€Rlx<3}
d) D=l 1,
e) I=l0,al
f) F=l2,
ffi #F8r-ü[tte]süwtu
Í.i7, Façaa representaçãogr-áfica de cadaum dos
a) A=ìx€
r) r={xe
o c={'.e
R x>1]
'=;J
:!.:)
Àpresente cada um dos conjuntos abaixo por
meio de uma propriedadeque .aracterizeseus
a) a:
------^-
7
b) B:
----------. ---->
..
c) C:
--'"""
Ú-
rÈt. toenlrEquecaoa um oo< (onJun(oçàDaxo por
meio de uma propriedade
que carâcterize seus
- Sendoa =
l-r, 3l e B = 10,
41,determineos
conjuntosAUBeAnB.
ZÍ, Indiqueosconluntos,
L r
hsl
a\ cJDeCnDparac-
li.Jl
eD-t,,,
I
tz I
b) G U H e G n H, sendoG = l
sl e
H
I
l.
-[
aa.s""a"r=
l-{,u],
t=
]:, +["
x=
[-],*-[.c""'-jnerrl
t n K.
t
a) A=l 2,51 .) c=[
+,*[
b) Ì=l:, 1[
o+
d);
")+
b)+
a) R$29,
b) R$38,
c) R$47,
- (up lrc) s.ju ,v o
-""or
númeÌo inteiro pelo
qüâ
sedevemuÌtipÌicar 2 520paraqueo resultadosejao
quadradode um númeronaturaÌ.Então,a somados
aÌgadsmosde N é:
a)e b)7 c)8 d)
10
(U. E. Londrina PR) De todâs âs soluçõesinÌeìras
não negativas da equação
x + y = 7, quantâssãô
forrnadaspor números
primos?
vâ.Ìe:
a) 0,64 c) 6a
b) 6,4 d) 640
d) R$74,
e) R$83,
.)a e)
d)
a)r
b)
(rGV-sP)se x
3 200000e y = 0,00002,€ ao ì!T
ilFFírCH de vestibulares
- (UI PI) se x e ), sãoÍúneÌos tuteiÌos maioresdo
que r, taisquer é ruìl divisor de 20 e/ é um divisor
(U.E. LondrinapR) O @ixadeüm bânco
trocoua
ordem dos dois aÌgaÌismosdo vaìoÌ da .onta a ser
p?gapor um cliente,cobrandoR$27,
anajs.Sen
do 11n somadosaÌgarismos,o vaÌorcorretoa ser
pâgopdo clienteera de:
b.
íPl C-\4Cì Em merrolos:Jpe e rma unidade
de
nedida lined equi\ãlente a cerca de 30,48 cm. Um
aúão qüe tÌafega a 30 000 pés do solo estávoando a
umâ altura mais próxima de:
â) 6kÌn b) 7km c) 8km d) 9kn
al
í.
rC-sPJ simpliii.rndo d liJ\Jo
4+___L
t *2.
.51 49 53
,47..
U. íPl (
Rlì A .oÍndl.JJJJ... 0,1Õooo...ê ìBxâlâ:
.Ì
at7 c)
i
et
z
b): d)+
^
'-0,
U.'Iuv-\Pr o rdlo' d. e\p"e*ào
0,1+x
parâx= 1, é:
a) 2., c) 1,3 €)
I,
b) 13 d) -O,
IU.
íUI-\4C) Corsidser. / e / númerô\nâÌüai. Na
diúsão de x poÌ.1',obtém sequocientez e r€sto
sabe*equeaí+íerenÌaciodecimalde
;
ëadrimd
periódìcâ7,363636..-Então, o valoÌ
de x + y + z é:
a) 190 b)
193 c)
r9l d) r
e) 6400
lr,
