Curso de Matemática Básica – Prof: Alcinei Aleixo
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
“O conhecimento, para ser o que deve ser, não se limita a uma simples teoria, mas comporta em si mesmo a
realização correspondente. ” – René Guénon
Prof: Alcinei Aleixo
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Tipologia: Exercícios
2020
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Curso de Matemática Básica – Prof: Alcinei Aleixo
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA
“O conhecimento, para ser o que deve ser, não se limita a uma simples teoria, mas comporta em si mesmo a
realização correspondente. ” – René Guénon
Prof: Alcinei Aleixo
ÍNDICE
- 1 - CONJUNTOS NÚMÉRICOS
- 1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
- 1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
- 1.3 CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q)
- 1.4 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I)
- 1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
- 2 – MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO
- 3 – NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS E INVERSO DE UM NÚMERO.
- 4 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS
- 5 - OPERAÇÕES COM DECIMAIS
- 6 – EXPRESSÕES NUMÉRICAS
- 7 – POTENCIAÇÃO
- 7.1 Regras de potenciação
2 – MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO
O módulo ou valor absoluto é o valor aritmético de um número relativo, isto é, sem considerar seu sinal. Podemos pensar no módulo também, como a distância do número até a origem da reta numérica. A representação do módulo de um número é feita por meio de barras verticais. Veja alguns exemplos: |-9|= |-16|= |12|= 3 – NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS E INVERSO DE UM NÚMERO. Dois números são opostos ou simétricos quanto tem mesmo módulo, porém com sinais contrários. (um positivo e outro negativo ). Por exemplo, O oposto de - 2 é 2 O simétrico do 1,3 é o - 1,3; E o oposto do zero?... O inverso de um número a é dado por
a
, sendo a um número diferente de zero. OBS: O único número real que não tem inverso é o zero, por quê? Exercício 1 - Preencha a tabela, com o inverso de cada número apresentado: Número inverso Número Inverso 2 5
**- 2 0,
- 9 - 11/ 1/3 1
- 8/15 3000 4 17 2/7 23 7/9 24/
- 3/8 - 8 O que acontece quando se multiplica um número pelo seu inverso?**
4 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS
Só para lembrar, número relativo são os números positivos, negativos incluindo-se o zero Vejamos como realizar as quatro operações fundamentais com números relativos: Soma e subtração Na soma e subtração de números relativos deve-se observar as seguintes regras: Se os sinais dos números são iguais, devemos somar os valores absolutos e conserva-se o mesmo sinal Se os sinais são diferentes, faça a diferença dos valores absolutos e conserve o sinal do maior deles. OBSERVE:
- 27 - 14 Como os sinais dos números são iguais, podemos somar os valores absolutos (sem considerar o sinal) e o resultado permanece negativo. Logo, - 27 - 14 = - 41
- 254+117 Nesse caso, os valores tem sinais diferentes, então devemos fazer a diferença entre os valores absolutos e conservar o sinal do maior deles, obtendo: - 254+117 = - 137 Multiplicação e divisão Na multiplicação e divisão podemos seguir o esquema abaixo, onde (+) representará um número positivo e (-) estará representando um número negativo. Vemos no esquema que dividindo ou multiplicando números com sinais iguais o resultado é positivo e, multiplicando ou dividindo um número com sinais diferentes o resultado é negativo. Exemplos:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1 - Elimine os parênteses e calcule o valor das expressões a seguir:
f
e
d
c
b
a
2 – Encontre o valor das multiplicações e divisões a seguir:
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
5 - OPERAÇÕES COM DECIMAIS
I – Adição Na adição as partes somadas são chamadas de parcelas e o resultado é a soma.
Parcela soma Com números decimais deve-se tomar o cuidado de ao se dispor as parcelas no cálculo, deixarmos “a vírgula debaixo da vírgula”. Exemplo:
II – Subtração Na subtração os números são chamados de minuendo, subtraendo, a operação a subtração, e o resultado é a diferença: subtração
Minuendo subtraendo diferença Para números decimais, deve-se observar a mesma regra para a soma: “deixar a vírgula debaixo da vírgula”. Acompanhe:
III – Multiplicação Para se multiplicar dois números decimais quaisquer, multiplicamos os números como se fossem inteiros e damos ao produto um número de casas decimais igual à soma de número de casas decimais dos fatores. Efetue:
OBS:
Ao se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000, etc. basta deslocar a vírgula para a direita tantas casas decimais, conforme o número de zeros do fator multiplicativo Exemplo:
7 – POTENCIAÇÃO
Potenciação com expoente inteiro maior que 1 Potência de grau n de um número é o produto de n fatores iguais a esse número. OBS: Quando a base é positiva a potência é sempre positiva. Quando a base é negativa, o sinal de potência depende do expoente:
- base negativa e expoente par potência positiva
- base negativa e expoente ímpar potência negativa. Resumindo: Potência de expoente zero Toda potência de base não-nula e expoente zero é igual a 1. Potência de expoente 1 Toda potência de expoente 1 é igual à base Potência de base 1 Toda potência de base um é igual a 1. Potência com expoente inteiro negativo Toda potência de expoente inteiro negativo e base diferente de zero é igual a potência de base igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado. Em outras palavras, quando um número tem expoente negativo, para deixá-lo positivo devemos inverter sua base. Exemplos
2 2 3 3
^
7 .1 Regras de potenciação Produto de potência de mesma base: Para alcançar o produto de potência de mesma base, basta manter a base e somar os expoentes: n m nm
a a a
Divisão de potência de mesma base: Um quociente de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando a base e subtraindo os expoentes:
Onde aéumnúmerodiferente dezero
a
a
a
a a
mn n m m n
Potência de potência Uma potência elevada a um dado expoente é igual à potência que se obtêm conservando a base e multiplicando os expoentes. mn m n
a a
Dizemos então que eleva-se a base ao produto dos expoentes.
sendoanúmeroreale n
a aaa a nfatores
n
ímpor par n
0
a sendoaumnúmeronão nulo
1
a asendoaumnúmeroreal
1 1 , paratodoxreal.
x
ea diferente de zero
sendoaennúmerosreais
a
b
b
a
a a
a
n n n n n
Potência de um produto Um produto elevado a um expoente qualquer é igual ao produto das potências que são obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado. n n n
a. b a. b
Multiplicação de potência de mesmo expoente Um produto de potência de mesmo expoente é uma potência cuja base é o produto das bases anteriores elevado ao expoente dado: n n n
a. b ab
Potência de um quociente Um quociente elevado a um dado expoente é igual ao quociente das potências que são obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado: n n n
b
a
b
a
Potência de base 10 e notação científica Para as potências de base 10 observamos que
10 10 ... 0 , nzeros.
n
10 ncasasdecimais
n
Diz-se que um número está escrito em notação científica quando ele está na forma:
k. 10 n
Em que k é um número tal que 0<k<10 e n é um número inteiro. A notação científica é usada para diminuir a escrita de um número tornando mais fácil as operações por meio das propriedades de potência. Exemplo:
0 , 000023 2 105 2 , 3 10 ^5 2 105 4 , 6
EXERCÍCIOS
1 – Calcule o valor das expressões:
) 2 [ 45 ( 3 ². 5 ¹ 3 ): 2 ]
) 2 [ 6 ²:( 8 6 ) 2 ³]
){ 39 [ 14 ²:( 13 11 ) 2 ²] 1600 }
)[ 24 12 :( 2 4 )² 7 ]:( 3 ² 5 )
) 3 .( 2 )² 2 ² [( 2 ) : 2 .( 1 98 ) ]
0 6 4 0 0 3 5 2 0 1 7 0 5 4 0 9 3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
5 - Dados dois números 42 e 54, então mdc (42,54) + mmc (42,54) é: a) b) c) d) 6 - O valor da expressão:
2. 3 ( 12 : 2 ). 3 [ 5 3 ( 6 2 ). 3 ] 1 é:
7 - O mínimo múltiplo comum entre os números 108, 36, 144 e 180 é: 8 - Os ônibus partem de Curitiba para o Rio de Janeiro de 4 em 4 horas, e para Belo Horizonte, de 6 em 6 horas. Se num certo instante, partem ônibus para essas cidades, quantas horas após essa partida haverá a próxima saída simultânea dos ônibus? 9 - Rafael, organizando sua coleção de selos, observa que ao contá-los de 10 em 10, sobram quatro selos; o mesmo acontece quando conta de 8 em 8, e também sobram quatro selos quando ele os conta de 12 em 12. Quantos selos Rafael possui? 10 - Uma professora dá aulas em duas turmas, uma de 32 alunos e outra de 24 alunos. Em cada sala, ela formará grupos, e todos os grupos (nas duas turmas) devem ter o mesmo número de alunos. Qual é o maior número de alunos que cada grupo pode ter? 10 - FRAÇÕES Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o denominador. Veja abaixo que podemos representar uma fração também na sua forma decimal. Para isso basta, como visto na definição, dividir o numerador pelo denominador: A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador: Exemplos:
etc
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um número misto e reciprocamente. Exemplos: Em qualquer fração, ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um mesmo número, o que se altera é apenas a escrita do número, seu valor é preservado. A fração resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fração por um número natural diferente de zero é chamada de fração equivalente. A partir de uma determinada fração chamada irredutível, podemos encontrar infinitas frações equivalentes. Exemplos:
irredutíve l
10.1 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Soma e Subtração Na soma e subtração algébrica de frações, reduzem- se ao menor denominador comum as frações a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das frações equivalentes encontradas. OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
Veja que na soma acima o mmc(3,5)=15. As frações equivalentes às frações citadas, que tem denominador 15 são trocadas pelas primeiras. Assim obtemos:
Na subtração o processo é o mesmo, veja:
O mmc (3,2)=6. As frações equivalentes a dois terços e um meio que tem denominador seis são respectivamente
e logo obtemos:
Multiplicação de frações Na multiplicação de frações, “multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador”. Veja:
Obs: Ao se fazer uma multiplicação com várias frações é possível, em alguns casos, fazermos algumas simplificações antes de obter o produto final para que o cálculo se torne menor. Divisão de frações Na divisão de frações, multiplicamos a primeira fração (dividendo) pelo inverso da segunda fração, a fração divisora. Exemplos:
b
a
EXERCÍCIOS
1 - Resolva as operações com frações a
seguir:
a)
b)
c)
d)
Resolva as expressões:
a)
2 2
b)
c) 2
d)
2 3 - (correios) 4 - (Correios)
j
i
h
2 - Racionalize os denominadores
9 4
i
h
g
f
e
d
c
b
a
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Existem várias formas de se medir quantidades. Basicamente o sistema métrico envolve medidas de comprimentos, medidas de superfície (área) e medidas de volume ou capacidade. Vejamos algumas das unidades de medida mais utilizadas para cada caso. Medidas de Comprimento A unidade padrão de medida é o metro. A partir dele temos os múltiplos e submúltiplos do metro. Observe no esquema: Vemos no esquema que se tivermos uma medida expressa em algum múltiplo do metro para converter para uma unidade inferior, basta multiplicar o resultado por 10. Ao contrário, se tivermos uma medida em unidade inferior e quisermos passá-la para uma maior, teremos que dividir por 10. Exemplos: 12 hm = 1200 m 300 dm = 3 dam 1000mm = 1 m 3 cm = 0,03 m OBS: Para efetuar operações matemáticas com as unidades de medida é preciso que todas as medidas utilizadas estejam na mesma unidade. Unidades de medida de superfície (área) Nas medidas de superfície (medidas quadradas) para passar de uma medida para outra devemos multiplicar ou dividir por 100, seguindo o esquema abaixo: Unidades de medida de Volume Cada unidade de volume é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 1000 em 1000 OBS: Sempre deixar na mesma unidade para efetuar os cálculos. Unidades de medida de Capacidade A unidade fundamental de capacidade é o litro, porém existem também seus múltiplos e submúltiplos. Veja: Podemos relacionar o volume com as medidas de capacidade. Por exemplo:
m l
dm l
Unidades de Medida de Massa A unidade principal nas medidas de massa é o grama. A partir dela temos seus múltiplos e submúltiplos veja: Multiplica por 10 Divide por 10 Divide por 100 Multiplica por 100 Multiplica por 1000 Divide por 1000
(4 – 2 + 7)xy 9xy c) 4x + 3xy (Operação não é possível porque os monômios não são semelhantes) Equações do primeiro grau Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0 Não são equações: 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade) (não é sentença aberta, nem igualdade) A equação geral do primeiro grau: ax+b = 0 onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: ax = - b dividindo agora por a (dos dois lados), temos: Considera a equação 2x - 8 = 3x - 10 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da
equação.
Quando falamos em resolver uma equação, a intenção é sempre descobrir o valor da(s) incógnita(s) envolvida(s) na mesma. Nos exercícios a seguir devemos traduzir a situação na linguagem matemática e então, utilizando uma equação, resolvê-la. Experimente: Exercícios 1 Comprei 7,5kg de um produto e recebi um troco de R$ 1,25. Caso eu tivesse comprado 6kg, o troco teria sido de R$ 5,00. Quanto dei em dinheiro para pagar a mercadoria? 2 - A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade? 3 - Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto? 4 - O volume de chuvas na minha região foi de 30 ml nos dois últimos dias. Sabe-se que ontem choveu o dobro da quantidade que choveu hoje. Qual foi o volume de chuva de hoje? SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 4x + 3y = 0 , os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras equações que tenham as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por duas equações de 1º grau com duas incógnitas: Para encontramos o par ordenado que é solução desse sistema podemos utilizar um dos dois métodos: Método da Substituição e Método da Adição. Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas equações e isolar uma das incógnitas. Em seguida deve- se substituir na outra equação o valor que foi isolado, veja como: Dado o sistema , enumeramos as equações. Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: x + y = 20 x = 20 – y Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y. 3x + 4 y = 72 3 (20 – y) + 4y = 72 60 - 3y + 4y = 72
- 3y + 4y = 72 – 60 y = 12 Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação x = 20 – y. x = 20 – y x = 20 – 12 x = 8 Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) Método da adição Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero. Dado o sistema: Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3. Agora, o sistema fica assim: Adicionando as duas equações:
- 3x – 3y = - 60
- 3x + 4y = 72 y = 12 Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: x + y = 20 x + 12 = 20 x = 20 – 12 x = 8 Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). OBS: Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo. Exercícios 1 - Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia? 2 ) Uma fábrica de refrigerantes produz refrescos de guaraná nas versões tradicional e diet. Os bares vendem os tradicionais por R$ 1,00 e os diet por R$ 1,25. Ao final do dia haviam sido vendidos 2000 refrigerantes, com um faturamento de R$ 2100,00. Descubra quantas garrafas de cada tipo de refrigerante foram vendidas. 3 ) Num quintal há 36 animais entre porcos e galinhas. Sabe-se que há ao todo, 112 pés. Quantos são os porcos e quantas são as galinhas? 4 ) No último encontro Nacional de Educação Matemática a inscrição dos professores do ensino médio e fundamental custava R$ 50,00. Os professores do ensino superior pagavam R$ 75,00. A arrecadação total obtida com as inscrições foi de R$ 68 725,00 de um total de 1208 professores inscritos. Quantos eram os professores do ensino fundamental e médio presente?
2) Em um acampamento, 50 pessoas têm alimento para 15 dias. Tendo chegado mais 25 pessoas, o alimento deverá ser suficiente para quantos dias? 3) Em um grupo de 160 pessoas 85 são mulheres. Qual a porcentagem de mulheres nesse grupo? 4) Trinta e seis operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviço. Quantas horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em 14 dias? 5) Numa fábrica de sapatos trabalham 16 operários, que produzem, em oito horas de serviço, 120 pares de sapatos. Desejando-se produzir 300 pares, trabalhando 10 horas, a quantidade necessária de operários será de: a) 31 b) 32 c) 48 d) 49 PORCENTAGEM Observe os exemplos a seguir sobre porcentagem: Numa loja de materiais elétricos, um velho cliente entra para comprar cabos, e compra o que costuma comprar todo mês. A conta fica em 80 reais, mais cara que a do mês passado.
_- Teve aumento?- pergunta o cliente?
- Teve. Os cabos aumentaram 20% - responde o dono da loja, do outro lado do balcão.
- Então, em nome da nova velha amizade, este mês eu quero 20% de desconto. O dono da loja concorda. Quem ganhou e quem perdeu nessa transação, o velho cliente ou o dono da loja? Um trabalhador autônomo, toda vez que emite uma nota fiscal de serviços, paga 8% de impostos. Quando lhe perguntam quanto ele cobra por semana de trabalho ele sempre responde:
- Cobro 750 reais líquidos. Contudo, terminado o trabalho, o cliente insiste em lhe pagar 750 reais por semana, e disso não arreda pé. Por_ fim, o trabalhador se rende, emite a nota fiscal no valor de 750 reais, paga 8% de impostos e embolsa 690 reais. Quanto ele deveria cobrar para, durante as negociações, dar ao cliente um desconto de 12%, pagar os 8% de imposto e ainda assim ficar com 750 reais? Para responder tais perguntas vamos entender um pouco mais sobre as porcentagens: Definição: PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 100 unidades. É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos preços de produtos ou serviços. Alguns exemplos: a)60% de 150 dias de trabalho = 90 dias b)70% de R$ 120,00 de compra = R$ 84, Como calcular porcentagem? Existem várias formas de se calcular uma porcentagem. Podemos por exemplo se basear no fato que:
y
x
x de y
% (Transforme o valor percentual
em decimal e multiplique pelo tota (y).) Podemos também, proceder fazendo uma regra de três simples, uma vez que ao buscarmos uma porcentagem de um determinado valor, estamos considerando grandezas diretamente proporcionais Exemplificando: Efetue o cálculo 10% de 50 100% : 50 10% : X Ou, 10%=0,1 Logo, 10% de 50 =0,1. 50 = Exemplo 2: Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtêm-se um desconto de 20% 100% : R$ 150, 20% : X X = R$ 30, Aumentos porcentuais
Em termos gerais, se um valor qualquer ( VQ ) aumenta
x%, podemos calcular o novo valor fazendo:
V x
V V x
Q Q Q
Diminuições porcentuais De forma análoga ao desenvolvimento anterior se obtivermos um desconto de x% em um valor qualquer
( V Q ) calcularmos o valor final fazendo:
VQ - VQ .x%
= VQ (1 - x%)
Aumento seguido de diminuição e vice-versa
O preço do tomate ( Pt) aumentou 29,85%. Vamos supor
que, a certa altura, ele caia 32%. Então o tomate passará a valor quanto? Nos casos em que aumentos e diminuições são
intercaladas, sobre um valor qualquer ( VQ ) podemos
obter o valor final de forma única. Se um valor aumenta x% e depois diminui y% temos:
VQ (1+x%)(1-x%)
Exercícios
- Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram de cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos?
- Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro? 3 ) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%? 4 ) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas? 5 ) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto?