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Tipologia: Exercícios
1 / 217
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Não perca as partes importantes!
M 11
A
T
OFERTA DE SIMULADOR DE TESTES (^) Metas Curriculares
Novo
FACULDADE DE CIÊNCIAS UNIVERSIDADE DO PORTO
n
u
Apresentação do Manual
As remissões para o Caderno de Exercícios permitem, se o tiver adquirido, reforçar a componente prática.
No desenvolvimento de conteúdos há remissões para as instruções das seguintes calculadoras gráficas:
Testes compostos por cinco itens de escolha múltipla e por cinco itens de construção, são uma boa oportunidade para testar aprendizagens. Cada teste tem uma Ajuda^ , que pode ser consultada no fim de cada volume. Em cada tema há ainda um desafio para encontrar os erros nas respostas às questões colocadas. (^) Calculadoras gráficas Casio fx-CG 20 Texas Instruments TI-84 Plus C SE / CE-T Texas Instruments TI-Nspire CX
Caderno de exercícios
O Manual é composto por cinco temas, que se distribuem por três volumes.
Indicação para não escrever no Manual.
Cada tema divide-se em capítulos, que, por sua vez, têm uma organização semelhante à que aqui se apresenta.
Teste 1 5 5
Se precisares de ajuda pararesolver algum destes itens,consulta a página 187.^ Ajuda
1. Um escuteiro desloca-se 10 kmno rumo 30° NE.O seu deslocamento para Este é: (A) (B) (C) 5 km.inferior a 5 km.superior a 8 km. (D) um valor entre 6 e 7 km. 2. A figura seguinte representa um hexágono regular de lado 20.O valor exato de (A) 10 " 3 d é: (B) (C) (D) 202525 " " (^32) 3. Um valor aproximado ao grau para a amplitude do ângulo das diagonais deum retângulo em que o comprimento é triplo da largura é: (A) 18° (B) (C) (D) 37°60°72° 4. Um poste partiu-se durante um temporal. A extremidade superior do posteficou a 7 m da base e a parte caída faz um ângulo de 25° com o solo. O valor,aproximado ao metro, da altura do poste antes de partir é: (A) (B) (C) 9 m10 m11 m (D) 12 m 5. Qual das afirmações seguintes é falsa? (A) sen (180ºcompreendida entre 0° e 180° - a) - sen a = 0 , para qualquer amplitude a estritamente (B) (C) sen 45°sen 2 25º + +cos 45° cos 2 155º = 1,414 213 562 = 1 (D) tg 30° + (^) tg 60°^1 = 2 " 33
Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.Para cada um deles, escolhe a única opção correta.^ Grupo I
d
24 Tema 1 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Tema 1
Trigonometria e Funções Trigonométricas
Caça aos erros! As respostas aos itens seguintes têm um ou mais erros.Descobre todos os erros! 1 Determina sen Resposta de um aluno: Acerca de um ângulo agudo a e cos a.^ a^ sabe-se que tg^ a^ =^23. tg 2 = sencos Seja; sen a å a d = p 2 e cos a = 3 a) b) Determina o valor exato de cos Determina a^2 ,. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.^ p^ c^ tal que sen^ a a=.^23. Resposta de um aluno:a) sen (^2) a + cos 2 a = 1 § 232 + cos a (^2) = 1 § cos a = (^) Å 1 - 49 § cos a = (^) Å (^59) b) Recorrendo à calculadora, obtém-se a = tan -^1 a^23 b ) 0,. Resposta de um aluno:^3 Simplifica a expressão sen ( x^ +^ p)^ +^ cos^ ap^2 -^ x b^. sen (= sen x + x + p ) 0 + + cos 0 - (^) cosap 2 - xx b = =sen sen x x - (^) +cos sen x p + cos ap 2 b + cos (- x ) = CA^4 W B Na figura está representado um triângulo retângulo [ = x. Determina uma expressão da área do triângulo em função de ABC ] ; sabe-se que x.^ AC^ =^3 e que Resposta de um aluno: P e o seno é o cateto oposto. Portanto, = AC + AB + BC = 3 + AB + BC. Num triângulo retângulo, o cosseno é o cateto adjacente P = 3 + cos x + sen x. Resposta de um aluno:^5 Resolve, em^ Z^ , a equação cos^ x^ = -^12. Tcosem-se cos x = - 1 p 3 = 12 , portanto, - 12 = - cos p 3 = cos a- p 3 b. (^6) Determina os valores de^2 §^ cos^ x^ =^ cos^ a- x p^3 bque pertencem ao intervalo [0, 2^ §^ x^ = ¿^ p^3 +^2 k p,^ k^ å Rp[ e satisfazem sen x = - 1 Resposta de um aluno: sen x = - 1 2. 2 §^ sen^ x^ = -^ p 6 §^ x^ = -^ p 6 ›^ x^ =^ p^ -^ p 6 §^ x^ = -^ p 6 ›^ x^ =^56 p
C AxB
Capítulo 3 | Funções trigonométricas 107
Este tema está organizado em:1. Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos eresolução de triângulos5 + 5 | (^) Teste 1 SínteseExercícios Propostos
Este tema está organizado em:1. Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos5 + 5 | Teste 1 SínteseExercícios Propostos
Destaques Pretendem salientar o que é essencial no estudo de um determinado conteúdo.
Mais sugestões de trabalho Ao longo do Manual são feitas remissões para os Exercícios propostos.
Será que...? Atividades que pretendem introduzir conceitos de uma forma prática.
Trigonometria e Funções 1
Tema
Geometria 2 Analítica
+Exercícios propostos 179
No final encontras:
Índice remissivo 6
No início encontras:
187 Calculadoras gráficas Casio fx-CG 20 190 Texas Instruments TI-84 Plus C SE / / CE-T 193 Texas Instruments TI-Nspire CX 195 Respostas Exercícios propostos 198 Resoluções Testes |^ 5 + 5 209
Ajuda
Tema
4 Real
No volume 3 encontras:
Tema 5 Estatística
Tema 3 Sucessões
No volume 2 encontras:
Trigonometria
e Funções
Trigonométricas
a ângulos retos e obtusos
e resolução de triângulos
Vamos iniciar o estudo da trigonometria fazendo uma revisão do que aprendeste no 9.° ano sobre este tema. Esta revisão será apoiada, fundamentalmente, na resolução de alguns exercícios.
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Comecemos por recordar o conceito de seno , cosseno e tangente de um ângulo agudo.
Dado um ângulo agudo a , podemos considerar um triângulo retângulo em que a seja um dos seus ângulos internos.
c
b
a
Recorda que:
r sen a =
cateto oposto ao ângulo a hipotenusa
= ac
r cos a =
cateto adjacente ao ângulo a hipotenusa
= bc
r tg a =
cateto oposto ao ângulo a cateto adjacente ao ângulo a
= a b
Na figura seguinte está re- presentada uma semicircunfe- rência e um triângulo nela ins- crito.
A B
C
26
a) Justifica que o triângulo é retângulo em C. b) Sabendo que AB = 26 e que cos a = 1213 , determina a área da região colorida a verde.
1
Observa a figura seguinte e determina o valor de sen b , cos b e tg b. 10
6
Resolução Seja x o cateto oposto ao ângulo b. Atendendo ao teorema de Pitágoras, tem-se x^2 + 6 2 = 102. Ora, x^2 + 62 = 102 § x^2 + 36 = 100 § x^2 = 64 § x = 8. Portanto, sen b = 8 10
= 4 5
cos b = 6 10
= 3 5
tg b = 8 6
= 4 3
Exercício resolvido
Resolução Exercícios de «Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos»
10 Tema 1 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Tendo em conta os valores obtidos no exercício resolvido da página anterior, resolve as seguintes questões.
a) Determina o valor de
sen b cos b
e compara o valor obtido com tg b.
b) Determina o valor de (sen b) 2 + (cos b) 2.
Será que recordas as propriedades aqui exemplificadas?
SERÁ QUE…? Propriedades fundamentais
Com a resolução desta atividade, certamente te recordaste das seguintes proprie- dades, válidas para qualquer ângulo agudo a :
r tg a = sen cos^ aa
r sen^2 a + cos 2 a = 1 (fórmula fundamental da trigonometria)
RECORDA sen^2 a é uma forma abreviada de es- crever (sen a)^2 e cos^2 a é uma for- ma abreviada de escrever (cos a)^2.
1. De um certo ângulo agudo a , sabe-se que sen a = 2 3
.
Determina cos a e tg a.
Resolução Como, para qualquer ângulo agudo a , se tem sen^2 a + cos^2 a = 1 , vem:
a^2 3
b
2
a^2 3
b
2
cos 2 a = 1 § 4 9
cos^2 a = 1 § cos^2 a = 1 - 4 9
§ cos 2 a = 5 9
Uma vez que, para qualquer ângulo agudo a , se tem cos a > 0 , vem
cos a = "^5 3
.
Como, para qualquer ângulo agudo a , se tem tg a = sen cos^ aa , vem:
tg a = sen cos^ aa =
2 3 " 5 3
= 2 " 5
= 2 "^5 5
2. Mostra que, para qualquer ângulo agudo a , se tem tg^2 a + 1 = 1 cos 2 a
.
Resolução Tem-se:
tg^2 a + 1 = sen
(^2) a cos 2 a
(^2) a cos 2 a
(^2) a cos 2 a
= sen
(^2) a + cos 2 a cos 2 a
= 1 cos 2 a
Exercícios resolvidos
continua
Mostra que:
= tg x
2
RECORDA tg^2 a é uma forma abreviada de es- crever (tg a)^2.
Capítulo 1 | Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos (^) 11
Tracemos uma das alturas do triângulo anterior.
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se: a^2 = a a 2
b
2
Portanto, h^2 = a^2 - a
2 4
, donde resulta que h = Å
3 a^2 4
= "^3 2
a.
Tem-se, então:
r sen 60° = ha =
" 3 2
a a =^
" 3 2
r sen 30° =
1 2
a a =^
1 2
r cos 60° =
1 2
a a =^
1 2
r cos 30° = ha =
" 3 2
a a =^
" 3 2
r tg 60° = h 1 2
a
=
" 3 2
a
1 2
a
= " 3 r tg 30° =
1 2
a
h
=
1 2
a
" 3 2
a
= 1 " 3
= "^3 3
Podemos sintetizar os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30°, 45° e 60° num quadro:
30° 45° 60°
sen^12 "^2 2
" 3 2
cos "^3 2
" 2 2
1 2
tg "^3 3
(^1) " 3
1. Determina o valor de 4 sen 30° + "8 sen 45° + (tg 60°)^
2 . Resolução
4 sen 30° + "8 sen 45° + (tg 60°)^2 = 4 * 1 2
" 8 * "^2 2
Q^ " 3 R
= 2 + "^16 2
2. Determina a área do triângulo retângulo [ ABC ] representado na figura ao lado.
Resolução
Tem-se: sen 30° = AB 6
§ 1 2
= AB 6
§
§ AB = 6 * 1 2
§ AB = 3
cos 30° = AC 6
§ "^3 2
= AC 6
§ AC = 6 * "^3 2
§ AC = 3 " 3
Área do triângulo [ ABC ] = AB^ *^ AC 2
= 3 *^3 "^3 2
= 9 "^3 2
Exercícios resolvidos
60° a
a^ 30° h a
A C
B
6
30°
Determina o valor de 4 sen 60° - 2 cos 30° 3 tg 30°
4
Na figura seguinte está re- presentado um triângulo retân- gulo [ ACD ]. Tem-se AD = 1. C
A D
15°
45° 1
B
?
Qual é o comprimento do seg- mento [ BC ]?
5
Exercícios propostos n.os^ 15 a 37 (págs. 27 a 30).
Mais sugestões de trabalho
Capítulo 1 | Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos (^) 13
Calculadoras gráficas Casio fx-CG 20 ...... pág. 190 TI-84 C SE / CE-T .... pág. 193 TI-Nspire CX .......... pág. 195
Lei dos senos (analogia dos senos)
Como sabes, dá-se o nome de triângulo acutângulo a um triângulo em que os ângulos são todos agudos.
Desenha um triângulo acutângulo [ ABC ]. Designa os ângulos internos cujos vértices são A , B e C por essas mesmas letras e designa por a , b e c as medidas dos comprimentos dos lados opostos aos ângulos A , B e C , respetivamente.
Utilizando os instrumentos de medição apropriados, mede os lados e os ângulos do triângulo.
Recorrendo à calculadora, determina os quocientes sen a^ A , sen^ B b
e sen c^ C.
Será que consegues estabelecer uma conjetura?
SERÁ QUE…? Estabelece uma conjetura
Tem-se a seguinte propriedade ( lei dos senos ):
Seja [ ABC ] um triângulo acutângulo. Designemos os ângulos internos cujos vértices são A , B e C por essas mesmas letras e designemos por a , b e c as medidas dos comprimentos dos lados opos- tos aos ângulos A , B e C , respetivamente.
Tem-se: sen a^ A = sen^ B b
= sen c^ C
A B
C
a
c
b
Demonstração:
Seja h a altura relativa ao vértice C.
Tem-se: sen A = h b
e sen B = ha.
Então: h = b sen A e h = a sen B , pelo que b sen A = a sen B ,
donde sen a^ A = sen^ B b
. (1)
Seja agora h' a altura relativa ao vértice A.
Tem-se: sen B = h c ' e sen C = h ' b
.
Então: h ' = c sen B e h ' = b sen C , pelo que c sen B = b sen C , donde sen^ B b
= sen c^ C. (2)
De (1) e (2) resulta o pretendido: sen a^ A = sen^ B b
= sen c^ C.
A B
C
a
c
b (^) h
A (^) B
C
a
c
b h'
14 Tema 1 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Vejamos, agora, o caso de um ângulo obtuso.
Seja [ ABC ] um triângulo em que o ângulo interno em A é obtuso. Designemos por a a amplitude deste ângulo. Admitamos que é pos- sível definir sen a e tentemos responder à seguinte questão: qual terá de ser o valor de sen a para que seja válida a lei dos senos neste triângulo?
Seja a a amplitude do ângulo interno em A , seja h a altura relativa ao vértice C e seja C' a projeção ortogonal do ponto C sobre a reta AB.
Repare-se que os triângulos [ CBC' ] e [ CAC' ] são triângulos retângulos. Para a lei dos senos ser válida no triângulo [ ABC ] , terá, em particular, de ser válida a igualdade sen a^ a= sen^ B b
.
Tem-se:
sen a a =^
sen B b
§ sen a^ a=
h a b
§ b sen a = a * ha § b sen a = h §
§ sen a = h b
§ sen a = sen (180° - a)
Conclusão: a lei dos senos é válida num triângulo obtusângulo se e só se o seno de um ângulo obtuso for igual ao seno do seu suplementar, o que motiva a se- guinte definição:
Se a é a amplitude de um ângulo obtuso, sen a = sen (180° - a).
Assim, tem-se, por exemplo: sen 140° = sen (180° – 140°) = sen 40°.
A B
C
a
c
b
Determina o valor de 6 * sen 150° + 8 * sen^2 135° - 4 * sen^2 120°.
Resolução
6 * sen 150° + 8 * sen^2 135° - 4 * sen^2 120° = = 6 * sen 150° + 8 * (sen 135°)^2 - 4 * (sen 120°)^2 =
= 6 * sen (180° - 150°) + 8 * [sen (180° - 135°)]^2 – 4 * [sen (180° – 120°)]^2 =
= 6 * sen 30° + 8 * (sen 45°) 2 - 4 * (sen 60°)^2 =
= 6 * 1 2
2
2
= 3 + 8 * 2 4
=
= 3 + 4 - 3 = 4
Exercício resolvido
Mostra que: [sen 90° + sen 170°]^2 + cos^2 10° = = 2(1 + sen 10°)
7
a
A B
C
c
h b
C'
180° -
16 Tema 1 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
Lei dos cossenos (teorema de Carnot)
Tem-se a seguinte propriedade ( lei dos cossenos ou teorema de Carnot ):
Seja [ ABC ] um triângulo.
Designemos os ângulos internos cujos vértices são A , B e C por essas mesmas letras e designemos por a , b e c as medidas dos comprimentos dos lados opostos aos ângulos A , B e C , respetivamente.
Admitamos que o ângulo A é agudo. Tem-se: a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc cos A
A B
C
b a
c
Demonstração:
Nesta demonstração, iremos admitir que o ângulo B é agudo. Fica como desafio a demonstração para o caso em que o ângulo B é obtuso.
Seja h a altura relativa ao vértice C e seja C' a projeção ortogonal do ponto C sobre a reta AB. C
A B
b a
C' c
h
Tem-se: cos A = AC ' b
, pelo que AC ' = b cos A.
Tem-se também: BC ' = AB - AC ' = c - b cos A
Por outro lado, do teorema de Pitágoras, vem:
AC
2 = AC '
2
2 e BC
2 = BC '
2
2
Portanto, b^2 = ( b cos A )^2 + h^2 e a^2 = ( c – b cos A )^2 + h^2 , donde vem h^2 = b^2 - ( b cos A )^2 e h^2 = a^2 - ( c – b cos A )^2.
Logo:
a^2 - ( c - b cos A )^2 = b^2 - ( b cos A )^2
Como:
a^2 - ( c - b cos A )^2 = b^2 - ( b cos A )^2 §
§ a^2 - [ c^2 - 2 bc cos A + ( b cos A )^2 ] = b^2 - ( b cos A )^2 §
§ a^2 - c^2 + 2 bc cos A - ( b cos A )^2 = b^2 - ( b cos A )^2 §
§ a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc cos A
conclui-se que a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc cos A.
Nicolas Carnot (1796-1832) foi um famoso físico, matemático e engenheiro francês.
Simulador Geogebra: Lei dos cossenos
Capítulo 1 | Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos (^) 17
Vejamos, agora, o caso em que A é um ângulo obtuso.
Seja [ ABC ] um triângulo em que o ângulo interno em A é obtuso.
Tentemos responder à seguinte questão: qual terá de ser o valor de cos A
para que se mantenha válida a igualdade a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc cos A?
Seja h a altura relativa ao vértice C e seja C' a projeção ortogonal do
ponto C sobre a reta AB.
Repare-se que os triângulos [ CBC' ] e [ CAC' ] são triângulos retângulos.
Seja a a amplitude do ângulo interno em A.
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se:
b^2 = h^2 + AC '
2 e a^2 = h^2 + BC '
2
Portanto,
h^2 = b^2 - AC '
2 e h^2 = a^2 - BC '
2
Tem-se:
b^2 - AC '
2 = a^2 - BC '
2 § b^2 - AC '
2 = a^2 - 1 c + AC '^2
2 §
§ b^2 - AC '
2 = a^2 - 1 c^2 + 2 c AC ' + AC '
2 (^2) §
§ b^2 - AC '
2 = a^2 - c^2 - 2 c AC ' - AC '
2 §
§ b^2 = a^2 - c^2 - 2 c AC '
Vem, então:
a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc cos A § a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc cos a §
§ a^2 = a^2 - c^2 - 2 c AC ' + c^2 - 2 bc cos a §
§ 0 = - 2 c AC ' - 2 bc cos a §
§ 2 bc cos a = - 2 c AC ' §
§ b cos a = - AC ' §
§ cos a = - AC ' b
§
§ cos a = - cos (180° - a)
Conclusão: a igualdade a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc cos A é válida no caso em que
o ângulo A é obtuso se e só se o cosseno de um ângulo obtuso for igual ao
simétrico do cosseno do seu suplementar, o que motiva a seguinte definição:
Se a é a amplitude de um ângulo obtuso, cos a = - cos (180° - a).
Por exemplo, cos 130° = - cos (180° - 130°) = - cos 50°.
a
A B
C
c
h b
C'
180° -
A B
C
a
c
b
Capítulo 1 | Extensão da trigonometria a ângulos retos e obtusos e resolução de triângulos (^) 19
1. Determina o valor de cos^2 150° + 2 * cos^2 135° - 3 * cos 120°.
Resolução
cos 2 150° + 2 * cos^2 135° - 3 * cos 120° = = (cos 150°)^2 + 2 * (cos 135°)^2 - 3 * cos 120° = = [- cos (180° - 150°)]^2 + 2 * [- cos (180° - 135°)]^2 - 3 * [- cos (180° - 120°)] = = (- cos 30°)^2 + 2 * (- cos 45°)^2 - 3 * (- cos 60°) =
2
2
2
2
b =
= 3 4
2 * 2 4
3 2
= 13 4
2. Tendo em conta os dados da figura seguinte, resolve o triângulo [ ABC ]. A
B C
b
8
(^5) 140°
Resolução Utilizando a lei dos cossenos, tem-se: b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac cos B.
Vem, então: b^2 = 82 + 52 - 2 * 8 * 5 * cos 140° § b^2 = 89 - 80 cos 140° § § b = " 89 - 80 cos 140° Portanto, b ) 12,.
Utilizando agora lei dos senos, tem-se: sen A a =^
sen B b
§ sen^ A 8
= sen 140° 12,
§ sen A = 8 *^ sen 140° 12,
Portanto, A ) 24,8°.
Logo, C ) 180° - (140° + 24,8°) , ou seja, C ) 15,2°.
3. Na figura seguinte estão representados dois polígonos regulares de lado 2. Determina, em cada um deles, a medida c assinalada. Apresenta o valor arredondado às décimas.
Exercícios resolvidos
continua
Determina o valor de sen 150° * cos 120° +
9
Tendo em conta os dados apresentados nas figuras, resolve os seguintes triângulos. Apresenta os valores arredon- dados às décimas. a)
b)
A (^) B
C
6
3 4
10
6,
9
A B
C
23°
C
D
A B
E
c
E D
F
A B
C
G c
Calculadoras gráficas Casio fx-CG 20 ...... pág. 190 TI-84 C SE / CE-T .... pág. 193 TI-Nspire CX .......... pág. 195
20 Tema 1 | Trigonometria e Funções Trigonométricas
