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Derivadas integrais., Exercícios de Matemática

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul (IFRS)Matemática

Exercícios sobre derivadas Teorema de valor médio Teorema de Rolle

Tipologia: Exercícios

2020

Compartilhado em 10/10/2020

usuário desconhecido
usuário desconhecido 🇧🇷

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ESTUDO!DIRIGIDO:!APLICAÇÃO!DE!DERIVADAS!
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Os!exercícios!que!compõem!o!estudo!dirigido!devem!ser!entregues,!via!Moodle,!até!o!dia!
13/10/2020!
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Teorema!de!Rolle:!Seja!f!uma!função!que!satisfaça!as!seguintes!hipóteses:!
1)!f"é!contínua!no!intervalo![a,"b];!
2)!f!é!derivável!no!intervalo!(a,"b);!
3)!f(a)"="f(b)!
!
Então!existe!um!número!c!em!(a,!b),!tal!que!f’(c)"="0.!
!
Um!teorema!é!sempre!dividido!em!duas!partes,!chamadas!hipótese!e!tese.!A!hipótese!são!as!
condições!que! precisam! ser! satisfeitas! para!que!a! tese! aconteça.! No! Teorema!de!Rolle,! a! hipótese!
são!as!condições!1,!2!e!3.!Assim,!para!a!derivada!de!uma!função!em!um!intervalo!fechado![a,!b]!seja!
igual!a!zero!(tese)!é!precisa!que!as!três!condições!da!hipótese!sejam!satisfeitas.!!
Se! aplicarmos! o! Teorema! de! Rolle! à! função! posição! s" =" f(t)! de! um! objeto! em! movimento! e!
supondo!que!o! objeto!esteja!no!mesmo!lugar!em!dois!instantes!diferentes!t"="a!!!!!e!!!!!!t" ="b,!então!
f(a)"="f(b).!O!Teorema! de!Rolle! afirma!que! existe!algum! instante!do!tempo!t"="c!entre!a!e!b!no!qual!
f´(c)"="0.!Isto!é,!a!velocidade!é!0.!!
Exercício!1!!
Verifique! que! a! função! satisfaz! as! três! hipóteses! do! Teorema! de! Rolle! no! intervalo! dado.! Então,!
encontre!todos!os!números!c!que!satisfazem!à!conclusão!do!Teorema!de!Rolle.!
a)"f(x)"="x2"–"4x"+"1,"![0,!4]! !
b)!f(x)"="x3"–"3x2"+"2x"+"5,"![0.!2]!
c)"f(x)"=√13"–"1/3","""[0,!9]!!!!!!
d)!f(x)"="cos!2x,!![π/8,7π/8]!
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LICENCIATURA!EM!CIÊNCIAS!DA!NATUREZA:!Habilitação!em!
Biologia!e!Química!
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APNP!-!Cálculo!Diferencial!e!Integral!!
Profa.!Carine!Bueira!Loureiro!
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Pré-visualização parcial do texto

Baixe Derivadas integrais. e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!

ESTUDO DIRIGIDO: APLICAÇÃO DE DERIVADAS

Os exercícios que compõem o estudo dirigido devem ser entregues, via Moodle, até o dia 13/10/ Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:

  1. f é contínua no intervalo [ a, b ];
  2. f é derivável no intervalo ( a, b );
  3. f(a) = f(b) Então existe um número c em (a, b), tal que f’(c) = 0. Um teorema é sempre dividido em duas partes, chamadas hipótese e tese. A hipótese são as condições que precisam ser satisfeitas para que a tese aconteça. No Teorema de Rolle, a hipótese são as condições 1, 2 e 3. Assim, para a derivada de uma função em um intervalo fechado [a, b] seja igual a zero (tese) é precisa que as três condições da hipótese sejam satisfeitas. Se aplicarmos o Teorema de Rolle à função posição s = f(t) de um objeto em movimento e supondo que o objeto esteja no mesmo lugar em dois instantes diferentes t = a e t = b , então f(a) = f(b). O Teorema de Rolle afirma que existe algum instante do tempo t = c entre a e b no qual f´(c) = 0. Isto é, a velocidade é 0. Exercício 1 Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. a) f(x) = x 2

- 4x + 1, [0, 4] b) f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x + 5, [0. 2] c) f(x) =√ 13 – 1/3 , [0, 9] d) f(x) = cos 2 x , [ π/8,7π/ 8 ] LICENCIATURA EM CIÊNCIAS DA NATUREZA: Habilitação em Biologia e Química APNP - Cálculo Diferencial e Integral Profa. Carine Bueira Loureiro

Teorema do Valor Médio: Seja f a função que satisfaça as seguintes hipóteses:

  1. f é contínua no intervalo [ a, b ];
  2. f é derivável no intervalo ( a, b ); Então existe um c em ( a, b ), tal que 𝑓' 𝑐 = !! !!(!) !!! De acordo com o Teorema do Valor Médio: seja f(x) = x^3 – x, a = 0 e b = 2. f é contínua e derivável para todo os valores de x no intervalo [0, 2]. Isso significa que existe um valor c dentro do intervalo (0, 2), tal que 𝑓' 𝑐 = !! !!(!) !!!

(!!!!)!(!!!!) !

!!!!! !

! ! = 1. Isso significa que o valor de c é 1 e, conforme o Teorema do Valor Médio, 1 pertence ao intervalo (0, 2). O objetivo do Teorema e fazer com que não precisemos derivar a função e depois calcular o seu valor no ponto x = 1. Exemplo : Se um objeto move-se em uma linha reta com uma função posição s = f(t) , então a velocidade média entre t = a e t = b é !! !!(!) !!! e a velocidade em t = c é f’(c). Assim, o Teorema do Valor Médio nos diz que em algum instante t = c e entre a e b a velocidade instantânea f’(c) é igual à velocidade média. Em geral, o Teorema do Valor Médio pode ser interpretado como se dissesse que existe um número no qual a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média em um intervalo. Exercício 2 Verifique se as funções a seguir satisfazem as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Em caso positivo, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio. a) _f(x) = 3x 2

  • 2x + 5,_ [-1, 1] c) _f(x) = x 3
  • x – 1,_ [0, 2] b) f(x) = e-2x , [0, 9] d) f(x) = ! !!!

, [1, 4]

Exercícios 3 – para o exercício 3 pesquise em um livro de Cálculo Diferencial e Integral o que significa máximo e mínimo absoluto, máximo e mínimo local. Coloque a referência do livro pesquisado. Para cada um dos gráficos a seguir, diga se a função tem um máximo ou mínimo absoluto, um máximo ou mínimo local, ou nem máximo, nem mínimo. Depois, determine quais os valores máximos e mínimos locais e absolutos.