Desigualdades modulares, Notas de aula de Análise Matemática

Baixe Desigualdades modulares e outras Notas de aula em PDF para Análise Matemática, somente na Docsity!

• Departamento de Matemática Aplicada Humberto José BortolossiUniversidade Federal Fluminense10 de setembro de 2010Pré-Cálculo Aula
• Aula 7 Pré-Cálculo

Módulo (ou valor absoluto) de umnúmero real Aula 7^

Pré-Cálculo^2

Módulo (ou valor absoluto) de um número real^ {^ |x|^ =

Definição x,^ se^ x^ ≥^0 ,^ −x,^ se^ x^ <^0. Exemplos:^22 | 2 | = 2 , | − 2 | = 2 ,^ |^0 |^ =^0 ,^ |x|^ =^ x, { x^ −^1 ,^ se^ x^ ≥^1 , |x − 1 | = −x^ +^1 ,^ se^ x^ <^1. Aula 7 Pré-Cálculo^

10

Módulo (ou valor absoluto) de um número realMais exemplos:√√^ |^1 −^2 |^ =^2 −^1 ,^ |π^ −^3.^14

2 2 | = π − 3. 14 , |x+^1 |^ =^ x+^1

{^ ,^ se^ ^ ≥^0 , || =^ −^ ,^ se^ ^ <^0 , { 2 2 x−^1 ,^ se^ x−^1 ≥^0 , 2 |x− 1 | =^2 2 −^ x+^1 ,^ se^ x−^1 <^0 , { 2 x−^1 ,^ se^ x^ ≤ −1 ou^ x^ =

≥^1 , 2 − x+ 1 , se − 1 < x < 1.

Aula 7^

Pré-Cálculo^29

Módulo (ou valor absoluto) de um número realObservação:^ {^ x,^ se^ x^ ≥^ |x|^ =

{^0 ,x,^ se^ x^ >^0 ,= −x, se x < 0 −x,^ se^ x^ ≤^0 ⎧ x, se x > 0 ,⎨ = 0 , se x = 0 ,⎩ −x, se x < 0. Aula 7 Pré-Cálculo^

33

Propriedade [PM04]: demonstração^ ∀a,^ b^ ∈^ R,^ |a

·^ b|^ =^ |a| · |b|. Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de

a^ e de^ b.^ ^ a^ =^0 ⇒^ a^ ·^ b^ =^ 0 e^ |a|^ =^0 ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ 0 e

|a| · |b|^ =^0 ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ |a| · |b|. ^ b^ =^0 ⇒^ a^ ·^ b^ =^ 0 e^ |b|^ =^0 ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ 0 e

|a| · |b|^ =^0 ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ |a| · |b|. ^ a^ >^ 0 e^ b^ >^0 ⇒^ a^ ·^ b^ >^ 0 e^ |a|^ =^ a^ e^ |b|^ =

b^ ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ a^ ·^ b^ =^ |a| · |b|. ^ a^ >^ 0 e^ b^ <^0 ⇒^ a^ ·^ b^ <^ 0 e^ |a|^ =^ a^ e^ |b|^ =

−b^ ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ −a^ ·^ b^ =^ a^ ·^ (−b) =^ |a| · |b|. ^ a^ <^ 0 e^ b^ >^0 ⇒^ a^ ·^ b^ <^ 0 e^ |a|^ =^ −a^ e^ |b|

=^ b^ ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ −a^ ·^ b^ = (−a)^ ·^ b^ =^ |a| · |b|. ^ a^ <^ 0 e^ b^ <^0 ⇒^ a^ ·^ b^ >^ 0 e^ |a|^ =^ −a^ e^ |b|

=^ −b^ ⇒ |a^ ·^ b|^ =^ a^ ·^ b^ = (−a)^ ·^ (−b) =^ |a| · |

b|. Em todos os casos, vemos que sempre^ |a^ ·

b|^ =^ |a| · |b|. Aula 7 Pré-Cálculo^

Propriedade [PM05]: demonstração 154 ∀a^ ∈^ R,^ ∀b^ ∈^ R^ − {^0 },^ |a/b|^ =^ |a|/|b|. Demonstração. Vamos mostrar primeiro que^ ∀b^ ∈^ R^ − {^0 },^ |^1 /b|^ = 1 /|b|.^ Se^ b^ >^ 0, então 1/b^ >^ 0 e^ |b|^ =^ b. Portanto,^ |^1 /b|^ =^1

/b^ =^1 /|b|. Se^ b^ <^ 0, então 1/b^ <^ 0 e^ |b|^ = −b. Portanto,^ |^1 /b|^ =^ −^1 /b^ =^1 /(−b) =

1 /|b|. Mostramos assim que^ |^1 /b|^ =^1 /|b

para todo^ b^ =^ 0. De posse deste resultado e usando [PM04], temos que

∀a^ ∈^ R^ e^ ∀b^ ∈^ R^ − {^0 }, ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣∣∣∣∣ a 111 |a|∣∣∣∣∣∣=a · = |a| ·= |a| · =^ .∣∣ ∣∣ ∣∣ (^) b b b |b|^ |b|^ Aula 7 Pré-Cálculo^175

Propriedade [PM06]: demonstração^ |p|^ <^ a^ ⇔ −a^ <^ p^ <^ a. Vale também que

|p| ≤^ a^ ⇔ −a^ ≤^ p^ ≤^ a. Demonstração. Vamos demonstrar que^ |p|^

<^ a^ ⇔ −a^ <^ p^ <^ a. A demonstração de que |p| ≤^ a^ ⇔ −a^ ≤^ p^ ≤^ a^ fica como exercício.Se^ a^ ≤^ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal^ p^ tal que^ |p|^ <^ a, como não existe nenhum número real

p^ tal que^ −a^ <^ p^ <^ a, quando^ a^ ≤^ 0. Suponha então que^ a^ >^ 0. Temos então que^ |p|^ <^ a^ ⇔^ (p^ <^ 0 e^ −^ p^ =^ | p|^ <^ a)^ ou^ (p^ ≥^ 0 e^ p^ =^ |p|^ <^ a) ⇔ (p < 0 e p > −a)^ ou^ (p^ ≥^ 0 e^ p^ <^ a) ⇔ − a < p < 0 ou 0 ≤^ p^ <^ a ⇔ − a < p < a. Aula 7 Pré-Cálculo^

Propriedade [PM07]: demonstração^ |p|^ >^ a^ ⇔^ p^ <^ − 192 a^ ou^ p^ >^ a. Vale também que^ |p| ≥^ a^ ⇔^ p^ ≤ −a^ ou^ p^ ≥^ a. Demonstração. Vamos demonstrar que^ |p|

^ a^ ⇔^ p^ <^ −a^ ou^ p^ >^ a. A demonstração de que^ |p| ≥^ a^ ⇔^ p^ ≤ −a^ ou^ p^ ≥^ a^ fica como exercício.Se^ a^ <^ 0, então^ |p|^ >^ a^ ⇔^ p^ ∈^ R^ e^ p^ <^ −

a^ ou^ p^ >^ a^ ⇔^ p^ ∈^ R. Logo, se^ a^ <^ 0, então |p|^ >^ a^ ⇔^ p^ <^ −a^ ou^ p^ >^ a. Se^ a^ =^ 0, então^ |p|^ >^ a^ ⇔^ p^ ∈^ R^ − {^0 }^ e^

p^ <^ −a^ ou^ p^ >^ a^ ⇔^ p^ ∈^ R^ − {^0 }. Logo, se a^ =^ 0, então^ |p|^ >^ a^ ⇔^ p^ <^ −a^ ou^ p^ >^ a. Suponha então que^ a^ >^ 0. Temos então que^ |p|^ >^ a^ ⇔^ (p^ <^ 0 e^ −^ p^ =^ |p

|^ >^ a)^ ou^ (p^ ≥^ 0 e^ p^ =^ |p|^ >^ a) ⇔ (p < 0 e p < −a) ou^ (p^ ≥^ 0 e^ p^ >^ a) ⇔ p < −a ou p > a. Aula 7 Pré-Cálculo^ 217

Propriedade [PM08]: demonstração^ ∀a,^ b^ ∈^ R,^ |a^ +^ b| ≤ |a|^ +^

|b|^ (desigualdade triangular). Demonstração. Observe que, para todo^ x^ ∈

R,^ − |x| ≤^ x^ ≤ |x|^ (exercício). Assim: − |a| ≤ a ≤ |a| e^ − |b| ≤^ b^ ≤ |b| (exercício da lista) (exercício da lista)⇓^ − |a| − |b| ≤ a +^ b^ ≤ |a|^ +^ |b| ⇓ − (|a| + |b|) ≤ a^ +^ b^ ≤ |a|^ +^ |b| [PM06] [PM06]⇓^ |a + b| ≤ |a|^ +^ |b|. Aula 7 Pré-Cálculo^

Propriedade [PM09]: demonstração 232 ∣∣∣∣^ ∀a, b ∈ R, |a| − |b|≤ |a^ −^ b|. Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que |a| = |b + (a − b)| ≤ |b| +^ |a^ −^ b|^ ⇒^ |a| − |b| ≤ |a^ −^ b|^ e |b| = |a + (b − a)| ≤ |a| + |b − a|^ =^ |a|^ +^ |a^ −^ b|^ ⇒^ −|a^ −^ b| ≤ | a| − |b|. Desta maneira:^ −|a^ −^ b| ≤ |a| − |b|^ e^ |a| − |

b| ≤ |a^ −^ b|. Segue-se então, por [PM06], ∣∣∣∣^ que |a| − |b|≤ |a^ −^ b|. Aula 7^

Pré-Cálculo^249

Interpretação geométrica^ −^3 −^2 −^1

A^ BCDE 1 2 3

d(A,^ B) = +^2 d(B,^ C) = +^1

d(B,^ E) = +^5 d(D,^ E) = +^2 Aula 7 Pré-Cálculo^254

Interpretação geométrica^ a^

b

{^ b^ −^ a,^ se^ b^ ≥^ a,d(a, b) ==^ a^ −^ b,^ se^ b^ <^ a^

|b^ −^ a|.

Moral:^ |b^ −^ a|^ representa a distância entre os números

a^ e^ b^ na reta

numérica. Aula 7^

Pré-Cálculo^258