Funções Definidas Por Mais de Uma Sentença: Funções Modulares e Inequações Modulares, Slides de Cálculo

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FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA SENTANÇA

 Exemplos de funções com mais de uma sentença  Função Modular  Gráficos  Equações Modulares  Inequações Modulares  Domínio

Exemplos de funções de mais de uma sentença

 1) f(x) =ቊ

 Para x ≥ 1  x = 1 y =3 (bolinha fechada)  X = 2 y = 3  Para x < 1  x = 1 y = 2 (bolinha aberta)  x = 0 y = 2  Df = R , Imf = {2 ,3}

MÓDULO DE UM NÚMERO

 Módulo de x ∈ 𝑅, indicado por |x| é o número real não negativo tal que:  x| = ቊ

 Exemplo: |2| =2, |-2| = - (-2) = 2  Propriedades:  1) |x| ≥ 0 para todo x ∈ R  2) |x| 2 = x 2 para todo x ∈ R  3) Se a ∈ R+ |x| ≤ a → - a ≤ x ≤ a  4) Se a ∈ R+ |x| ≥ a → x ≤ - a ou x ≥ a

FUNÇÃO MODULAR

 É a função f de R em R dada por f(x) = |x|  f(x) = |x| = ቊ

 x =0, y =0 x = 1, y = 1  x = 0, y = 0 (bolinha aberta)  x = - 1, y = - (-1) =  Df = R Imf = [0, +∞[

GRÁFICOS

 Dadas as funções, elimine o módulo, esboce o gráfico, determine o seu domínio e o conjunto imagem.  f(x) = |x| + x  f(x) = ቊ

 f(x) = ቊ

 Para 𝑥 ≥ 0 , y = 2x  x = 0 y = 2.0 = 0 x = 1 y = 2.1 = 2  Para x < 0, y = 0 x = 0 , y = x =-1, y = 0  Df = R Imf = [0, + ∞[

Gráficos

 f(x) = | x^2 – 4x|  f(x) = ቊ

2 − 4𝑥 𝑠𝑒 𝑥 2 − 4𝑥 ≥ 0 − 𝑥 2 − 4𝑥 𝑠𝑒 𝑥 2 − 4𝑥 < 0

f(x) = ቊ

2 − 4𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4 − 𝑥 2

• 4𝑥 𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 4  𝑥 2 − 4𝑥 = 0→ x = 0 ou x = 4  Df = R e Imf =[0, +∞[

Gráficos

 f(x) = |x+1| + |2x-1|  |x + 1 |= ቊ

→ |x+1| = ቊ

 |2x – 1| = ቊ

→ |2x-1| = ൞

1 2 −2𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 1 2  - 1 1/  (^) |x+1| - x- 1 - x+1 (^1) 1/2 x+ |2x-1| - 2x+1 - 2x+1 2x - 1 |x+1| + |2x – 1| - 3x - x+2 3x

Continuação

 f(x) =

1 2 −𝑥 + 2 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 < 1 2 −3𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < − 1  Para x ≥ 1 2 y = 3x  x = 1 2 y = 3 2 x = 1 y =3.1 = 3  Para − 1 ≤ 𝑥 < 1 2 y = - x + 2  x = - 1 y =-(-1) + 2 = 3  x = 1 2 y = - 1 2

3 2  Para x< - 1 y = - 3x  x = - 1 y = - 3(-1) = 3 x = - 2 y = - 3.(-2) = 6  Df = R e Imf = [ 3 2 , +∞[

Equações Modulares

 2) |x| = - 4 ∄ 𝑥 S={ }  3) |3x – 4| = 6  3x - 4 = ± 6 → 3x - 4 = - 6 ou 3x - 4 = 6 → 3x = - 2 → x = − 2 3 ou 3x = 10 → x = 10 3  S = { − 2 3 , 10 3 }  4) |x^2 – 2x - 5| = 3  x^2 - 2x - 5 = - 3 → x^2 - 2x – 2 = 0 → x = 𝟐± 𝟒+𝟖 𝟐 = 𝟐±𝟐 𝟑 𝟐 → x= 1 - 𝟑 ou x = 1 + 𝟑 ou x^2 - 2x - 5 = 3 → x^2 - 2x - 8 = 0 → x = 𝟐± 𝟒+𝟑𝟐 𝟐 = 𝟐±𝟔 𝟐 → x = - 2 ou x = 4  S= {1 - 3 , 1 + 3 , - 2,4}

Equações Modulares

 5) |10 - 2x| = 3x - 5  Observação: 3x – 5 ≥ 0 precisa ser não negativo  - (10-2x) =3x – 5 → - 10 +2x = 3x – 5 → - x = 5 → x = - 5  Ou 10-2x = 3x – 5 → - 5x = - 15 → x = 3  substituindo x = - 5 em 3x - 5 temos: 3.(-5)-5 = - 15 < 0 desconsiderar.  substituindo x = 3 em 3x – 5 temos: 3.3 - 5 = 4 > 0 considerar.  S = {3}

Equações Modulares

 7) 7) |2x – 5| = |3 – x|  2x – 5 = ±( 3 − 𝑥)  2x – 5 = - (3 – x) → 2x – 5 = - 3 + x → x = 2  ou 2x - 5 = 3 – x → 3x = 8 → x = 8 3

Inequações Modulares

 Inequações Modulares  a ∈ 𝑅+ , |x| ≤ a → - a ≤ x ≤ a  |x| ≥ a → x ≤ - a ou x ≥ a  Exemplos:  1) |x| < 5  - 5 < x < 5 S = ]-5, 5[   2) |x| ≥ 8  x ≤ - 8 ou x ≥ 8 S = ]−∞ , - 8] U [8, +∞[

Inequações modulares

 5) |x^2 – x – 4 | ≤ 2  - 2 ≤ x 2

• x – 4 ≤ 2 → x 2 - x – 4 ≥ - 2 e x 2 - x - 4 ≤ 2  1) x^2 – x – 2 ≥ 0 e 2) x^2 – x – 6 ≤ 0  x 2
• x - 2 = 0 x 2
• x – 6 = 0  x = 1 ± 1 + 8 2

1 ± 3 2 x = 1 ± 1 + 24 2

1 ± 5 2  x = - 1 ou x = 2 x = - 2 ou x = 3

Continuação

 S = [-2, - 1] U [2, 3]