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Elementos de Matem´atica
Roteiro no.1 para as atividades did´aticas de 2007
Vers˜ao compilada no dia 27 de Abril de 2007.
Departamento de Matem´atica - UEL
Prof. Ulysses Sodr´e E-mail: [email protected] Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais utilizados em nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e n˜ao espero que estas no- tas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em portuguˆes, h´a pouco material de dom´ınio p´ublico, mas em inglˆes existem diversos ma- teriais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que o leitor fa¸ca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘Ora, a f´e ´e o firme fundamento das coisas que se esperam e a prova das coisas que n˜ao se vˆeem. Porque por ela os antigos alcan¸caram bom testemunho. Pela f´e entendemos que os mundos foram criados pela palavra de Deus; de modo que o vis´ıvel n˜ao foi feito daquilo que se vˆe.’ A B´ıblia Sagrada, Hebreus 11:1-
Conte´udo
- 1 Para quem estuda Matem´atica
- 2 Elementos de L´ogica e Conjuntos
- 2.1 Proposi¸c˜oes (ou Senten¸cas) l´ogicas
- 2.2 Tautologias e Equivalˆencia L´ogica
- 2.3 Conjuntos definidos por proposi¸c˜oes l´ogicas
- 2.4 Opera¸c˜oes com conjuntos
- 2.5 Quantificadores L´ogicos
- 2.6 Nega¸c˜ao de proposi¸c˜oes com quantificadores
- 2.7 Exerc´ıcios
- 2.8 Maior quantidade de conjuntos
- 2.9 Proposi¸c˜oes com valores l´ogicos num´ericos
- 2.10 Trabalhos que ser˜ao constru´ıdos pelos alunos
- Bibliografia
Cap´ıtulo 2
Elementos de L´ogica e Conjuntos
‘Tu, por´em, permanece naquilo que aprendeste, e de que foste inteirado, sabendo de quem o tens aprendido, e que desde a infˆancia sabes as sagradas letras, que podem fazer-te s´abio para a salva¸c˜ao, pela que h´a em Cristo Jesus. Toda Escritura ´e divi- namente inspirada e proveitosa para ensinar, para repreender, para corrigir, para instruir em justi¸ca; para que o homem de Deus seja perfeito, e perfeitamente preparado para toda boa obra.’ A B´ıblia Sagrada, II Tim´oteo 3:14-
2.1 Proposi¸c˜oes (ou Senten¸cas) l´ogicas
Nesta se¸c˜ao, n´os tratamos sobre proposi¸c˜oes (ou senten¸cas) l´ogicas, suas val- idades e falsidades, al´em do modo de combinar ou ligar proposi¸c˜oes para produzir novas proposi¸c˜oes. Primeiro, vamos apresentar uma defini¸c˜ao de proposi¸c˜ao l´ogica.
Defini¸c˜ao 1 (Proposi¸c˜ao). Uma proposi¸c˜ao (ou senten¸ca ou frase) ´e um con- junto de palavras ou s´ımbolos que exprimem uma afirma¸c˜ao de modo com- pleto.
Defini¸c˜ao 2 (Proposi¸c˜ao l´ogica). Uma proposi¸c˜ao (ou senten¸ca ou frase) l´ogica ´e uma express˜ao que ´e verdadeira ou falsa.
A L´ogica Matem´atica (bivalente) est´a apoiada em dois princ´ıpios:
- Princ´ıpio da n˜ao contradi¸c˜ao: Uma proposi¸c˜ao n˜ao pode ser ao mesmo tempo, verdadeira e falsa.
2.1. PROPOSIC¸ ˜OES (OU SENTENC¸ AS) L ´OGICAS 3
- Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: Toda proposi¸c˜ao, ou ´e verdadeira ou ´e falsa, mas n˜ao pode ser uma terceira situa¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 1. Jan Lukasiewicz (1920) estudou a L´ogica trivalente, ad- mitindo a existˆencia de trˆes situa¸c˜oes: Verdadeiro , falso ou ´e poss´ıvel. Detalhes sobre isto podem ser encontrados na p´agina 92 do livro “Introdu¸c˜ao `a L´ogica Matem´atica” de Benedito Castrucci, GEEM, S˜ao Paulo, 1973. O paranaense Newton C. A. Costa tamb´em estudou o assunto.
Exemplo 1. Proposi¸c˜oes.
- A proposi¸c˜ao 2+2=4 ´e verdadeira.
- A proposi¸c˜ao π ´e um n´umero racional ´e falsa.
N˜ao ´e fun¸c˜ao da L´ogica decidir se uma particular proposi¸c˜ao ´e verdadeira ou falsa, pois existem proposi¸c˜oes cuja validade ou falsidade ainda n˜ao tenha sido estabelecida at´e hoje, como:
Teorema 1 (Conjectura de Goldbach). Todo n´umero par maior do que 2 ´e a soma de dois n´umeros primos.
Existe um defeito em nossa defini¸c˜ao, pois nem sempre ´e f´acil determinar se uma senten¸ca ´e uma senten¸ca l´ogica ou n˜ao.
Por exemplo, considere a senten¸ca Eu estou mentindo, n˜ao estou?. O que vocˆe pensa desta senten¸ca?
Existem senten¸cas que s˜ao proposi¸c˜oes l´ogicas, do ponto de vista da nossa defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 3 (Conectivos). Conectivos s˜ao palavras ou grupos de palavras usadas para juntar duas senten¸cas.
Conectivo Significado Conjun¸c˜ao e Disjun¸c˜ao ou Nega¸c˜ao n˜ao Condicional se ... ent˜ao Bicondicional se, e somente se,
2.1. PROPOSIC¸ ˜OES (OU SENTENC¸ AS) L ´OGICAS 5
Observa¸c˜ao 3 (Tabela-Verdade da Disjun¸c˜ao). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸c˜oes relacionando afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre a disjun¸c˜ao: p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F
Observa¸c˜ao 4 (Demonstrar uma disjun¸c˜ao). Para demonstrar que uma proposi¸c˜ao p ∨ q ´e verdadeira, vamos assumir que a proposi¸c˜ao p ´e falsa e usar este fato para deduzir que a proposi¸c˜ao q ´e verdadeira. Se a proposi¸c˜ao p ´e verdadeira, o nosso argumento j´a est´a correto, n˜ao importa se a proposi¸c˜ao q ´e verdadeira ou falsa.
Defini¸c˜ao 7 (Validade da Nega¸c˜ao). A nega¸c˜ao de p, denotada por ¬p (lˆe-se: n˜ao p) ´e verdadeira se a proposi¸c˜ao p ´e falsa, e ´e falsa se a proposi¸c˜ao p ´e verdadeira.
Exemplo 4. Nega¸c˜ao.
- A nega¸c˜ao da proposi¸c˜ao 2+2=4 ´e a proposi¸c˜ao 2 + 2 6 = 4.
- A nega¸c˜ao da proposi¸c˜ao π ´e um racional ´e a proposi¸c˜ao π ´e um irracional.
Observa¸c˜ao 5 (Tabela-Verdade da Nega¸c˜ao). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸c˜oes relacionando afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre a nega¸c˜ao: p ¬p V F F V
Defini¸c˜ao 8 (Validade da Condicional). A condicional entre p e q, denotada por p → q (lˆe-se: se p, ent˜ao q) ´e verdadeira se a proposi¸c˜ao p ´e falsa ou se a proposi¸c˜ao q ´e verdadeira ou ambas, e ´e falsa nas outras situa¸c˜oes.
Observa¸c˜ao 6 (Tabela-Verdade da Condicional). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸c˜oes relacionando afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre a
2.1. PROPOSIC¸ ˜OES (OU SENTENC¸ AS) L ´OGICAS 6
condicional: p q p → q V V V V F F F V V F F V
Observa¸c˜ao 7 (Senten¸ca falsa). Uma proposi¸c˜ao p → q ´e falsa se a proposi¸c˜ao p ´e verdadeira e a proposi¸c˜ao q ´e falsa. Isto significa que construindo uma conclus˜ao falsa de uma hip´otese verdadeira, o nosso argumento ser´a falso. Por outro lado, se a nossa hip´otese ´e falsa ou se a nossa conclus˜ao ´e verdadeira, ent˜ao o nosso argumento ainda pode ser aceito.
Exemplo 5. Senten¸cas falsas.
- A proposi¸c˜ao Se 2+2=4, ent˜ao π ´e um n´umero racional ´e falsa.
- A proposi¸c˜ao Se 2+2=2, ent˜ao 1+3=5 ´e verdadeira, pois a proposi¸c˜ao 2+2=2 ´e falsa.
- A proposi¸c˜ao Se π ´e um n´umero racional, ent˜ao 2+2=4 ´e verdadeira.
Defini¸c˜ao 9 (Validade da Bicondicional). A bicondicional entre p e q, deno- tada por p ←→ q (lˆe-se: p se e somente se q) ´e verdadeira se as proposi¸c˜oes p e q s˜ao ambas verdadeiras ou ambas s˜ao falsas, e ´e falsa nos outros casos.
Exemplo 6. Bicondicionais.
- A proposi¸c˜ao 2+2=4 se, e somente se, π ´e um n´umero irracional ´e ver- dadeira.
- A proposi¸c˜ao 2+2=4 se, e somente se, π ´e um n´umero racional ´e falsa.
Observa¸c˜ao 8 (Tabela-Verdade da Bicondicional). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸c˜oes relacionando afirma¸c˜oes Verdadeiras e Falsas sobre a bicondicional: p q p ←→ q V V V V F F F V F F F V
2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALˆENCIA L ´OGICA 8
Exemplo 7 (Tabela-Verdade de uma proposi¸c˜ao composta). Construiremos a Tabela-Verdade de uma proposi¸c˜ao composta como (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), utilizando novas vari´aveis u, v e w, para simplificar esta proposi¸c˜ao `a forma u ∧ w, onde:
u : (p ∨ q) v : (p ∧ q) w : ¬v
- Tabela-Verdade de u: (p ∨ q),
p q u : p ∨ q V V V V F V F V V F F F
- Tabela-Verdade de v: (p ∧ q),
p q v : p ∧ q V V V V F F F V F F F F
- Tabela-Verdade de w: ¬v. v w : ¬v V F F V F V F V
- Tabela-Verdade de u ∧ w: u w u ∧ w V F F V V V V V V F V F
2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALˆENCIA L ´OGICA 9
Como temos uma grande quantidade de informa¸c˜oes, ´e comum reunir a Tabela- Verdade final de u ∧ w com todas as opera¸c˜oes, tomando a forma:
p q p ∨ q p ∧ q ¬(p ∧ q) (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) V V V V F F V F V F V V F V V F V V F F F F V F
Exemplo 8 (Algumas condicionais). Implica¸c˜oes.
- Se p ´e verdadeira e q ´e verdadeira, ent˜ao p ∧ q ´e verdadeira.
- Se p ´e verdadeira ou q ´e verdadeira, ent˜ao p ∨ q ´e verdadeira.
- Se p ´e verdadeira e p → q ´e verdadeira, ent˜ao q ´e verdadeira.
- Se ¬p ´e verdadeira e p ∨ q ´e verdadeira, ent˜ao q ´e verdadeira.
- Se ¬q ´e verdadeira e p → q ´e verdadeira, ent˜ao ¬p ´e verdadeira.
- Se p ∨ q ´e verdadeira e p → r ´e verdadeira e q → r ´e verdadeira, ent˜ao r ´e verdadeira.
- Se p → q ´e verdadeira e q → r ´e verdadeira, ent˜ao p → r ´e verdadeira.
- Se p ´e verdadeira, p → q ´e verdadeira e q → r ´e verdadeira, ent˜ao r ´e verdadeira.
Exemplo 9 (Algumas bicondicionais). Tautologias:
- (p ∧ (q ∧ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∧ r).
- (p ∧ q) ⇐⇒ (q ∧ p).
- (p ∨ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∨ r).
- (p ∨ q) ⇐⇒ (q ∨ p).
- p ∨ ¬p.
- (p → q) ⇐⇒ (¬q → ¬p).
- (p → q) ⇐⇒ (¬p ∨ q).
2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALˆENCIA L ´OGICA 11
Teorema 4 (Leis de inferˆencia). Se p, q e r s˜ao proposi¸c˜oes l´ogicas, as seguintes proposi¸c˜oes s˜ao tautologias:
- Modus Ponens: (p ∧ (p → q)) → q.
- Modus Tollens: ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p.
- Lei de silogismo: ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r).
Defini¸c˜ao 12 (Senten¸cas equivalentes). Diz-se que duas proposi¸c˜oes p e q s˜ao logicamente equivalentes se a proposi¸c˜ao p ←→ q ´e uma tautologia. Isto significa que as duas senten¸cas l´ogicas representam o mesmo objeto do ponto de vista da L´ogica.
Exemplo 10. Senten¸cas equivalentes.
- As proposi¸c˜oes (p → q) e (¬q → ¬p) s˜ao logicamente equivalentes, sendo que a proposi¸c˜ao (¬q → ¬p) recebe o nome de contrapositiva da proposi¸c˜ao (p → q).
- As proposi¸c˜oes p → q e q → p n˜ao s˜ao logicamente equivalentes, sendo que a proposi¸c˜ao (q → p) ´e denominada a rec´ıproca da proposi¸c˜ao (p → q).
Exemplo 11. Quatro importantes equivalˆencias l´ogicas. Usando as tabelas- verdade, mostrar que as quatro proposi¸c˜oes l´ogicas abaixo s˜ao equivalentes:
- p → q
- (¬q) → (¬p)
- (¬q) ∧ p ⇒ F ( Afirma¸c˜ao absurda)
- (¬p) ∨ q ⇒ V ( Afirma¸c˜ao verdadeira)
Exerc´ıcio: Demonstrar que
- Idempotˆencia da conjun¸c˜ao: p ∨ p ⇐⇒ p
- Idempotˆencia da disjun¸c˜ao: p ∧ p ⇐⇒ p
2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALˆENCIA L ´OGICA 12
- Associatividade da conjun¸c˜ao: (p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r)
- Associatividade da disjun¸c˜ao: (p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r)
- Identidade da conjun¸c˜ao com a verdade: p ∧ V ⇐⇒ p
- Identidade da conjun¸c˜ao com a falsidade: p ∧ F ⇐⇒ F
- Identidade da disjun¸c˜ao com a verdade: p ∨ V ⇐⇒ V
- Identidade da disjun¸c˜ao com a falsidade: p ∨ F ⇐⇒ p
- Complementar com a conjun¸c˜ao: p ∧ ¬p ⇐⇒ F
- Complementar com a disjun¸c˜ao: p ∨ ¬p ⇐⇒ V
- Complementar da verdade: ¬V ⇐⇒ F
- Complementar da falsidade: ¬F ⇐⇒ V
- Nega¸c˜ao da nega¸c˜ao: ¬(¬p) ⇐⇒ p
Observa¸c˜ao 13 (Setas simples e duplas). Algumas vezes usamos setas simples como ←→ em bicondicionais, mas usamos setas duplas ⇐⇒ para mostrar que a proposi¸c˜ao da esquerda ´e logocamente equivalente `a proposi¸c˜ao da direita.
Exemplo 12. Algumas equivalˆencias l´ogicas.
- p ∨ [q ∧ (¬q)] ⇐⇒ p Significando que “p ∨ [q ∧ (¬q)]” equivale a “p”
- p ∧ [q ∨ (¬q)] ⇐⇒ p
- p → q ⇐⇒ (¬p) ∨ q
- ¬(p → q) ⇐⇒ p ∧ (¬q)
- (p ↔ q) ⇐⇒ (p → q) ∧ (q → p) Significando que “p ↔ q” equivale a “(p → q) ∧ (q → p)”
- (p ↔ q) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ [(¬p) ∧ (¬q)]
- p → (q → r) ⇐⇒ (p ∧ q) → r
- p → q ⇐⇒ (¬q) → (¬p)
2.4. OPERAC¸ ˜OES COM CONJUNTOS 14
O conjunto que n˜ao tem elementos ´e o conjunto vazio, denotado por ∅.
Exemplo 13. Alguns conjuntos importantes.
- N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ..., n, n + 1, ...} ´e o conjunto dos n´umeros naturais.
- Z = {..., − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ...} ´e o conjunto dos n´umeros inteiros.
- {x : x ∈ N e − 2 < x < 2 } = { 1 }.
- {x : x ∈ Z e − 2 < x < 2 } = {− 1 , 0 , 1 }.
- {x : x ∈ N e − 1 < x < 1 } = ∅.
2.4 Opera¸c˜oes com conjuntos
Se P ´e um conjunto descrito pela proposi¸c˜ao p = p(x), isto ´e, P = {x : p(x)} e Q ´e um conjunto descrito pela proposi¸c˜ao q = q(x), isto ´e Q = {x : q(x)}, sendo P e Q conjuntos relativos a um certo universo U, definimos novos conjuntos:
Interse¸c˜ao P ∩ Q = {x : p(x) ∧ q(x)} Reuni˜ao P ∪ Q = {x : p(x) ∨ q(x)} Complementar P c^ = {x : ¬p(x)} Diferen¸ca P − Q = {x : p(x) ∧ ¬q(x)}
Com as defini¸c˜oes acima, n˜ao ´e dif´ıcil mostrar que
- P ∩ Q = {x : x ∈ P e x ∈ Q},
- P ∪ Q = {x : x ∈ P ou x ∈ Q},
- P c^ = {x : x /∈ P },
- P − Q = {x : x ∈ P e x /∈ Q}.
Defini¸c˜ao 13 (Subconjunto). Um conjunto P ´e um subconjunto do conjunto Q, denotado por P ⊆ Q ou por Q ⊇ P , se todo elemento de P tamb´em ´e um elemento de Q.
2.4. OPERAC¸ ˜OES COM CONJUNTOS 15
Observa¸c˜ao 14. Se P = {x : p(x)} e Q = {x : q(x)} em um universo U, ent˜ao P ⊆ Q se, e somente se, a proposi¸c˜ao l´ogica p(x) → q(x) ´e verdadeira para todo x ∈ U.
Defini¸c˜ao 14 (Conjuntos iguais). Dois conjuntos P e Q s˜ao iguais, denotado por P = Q, se eles contˆem os mesmos elementos, isto ´e, se cada conjunto ´e um subconjunto do outro conjunto, isto ´e, se P ⊆ Q e Q ⊆ P.
Defini¸c˜ao 15 (Conjuntos disjuntos). Dois conjuntos A e B s˜ao disjuntos se, A ∩ B = ∅.
Defini¸c˜ao 16 (Subconjunto pr´oprio). Dizemos que P ´e um subconjunto pr´oprio de Q, denotado por P ⊂ Q ou por Q ⊃ P , se P ⊆ Q mas P 6 = Q.
Os resultados sobre Conjuntos s˜ao demonstrados a partir de seus an´alogos em L´ogica.
Teorema 5 (Leis distributivas). Se P , Q e R s˜ao conjuntos, ent˜ao
- P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R),
- P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R).
Demonstra¸c˜ao da Primeira lei distributiva para conjuntos. Faremos uso da Primeira lei Distributiva para proposi¸c˜oes l´ogicas. Se as proposi¸c˜oes p = p(x), q = q(x) e r = r(x) est˜ao respectivamente relacionadas aos conjuntos P , Q e R com respeito a um dado universo U, ent˜ao P = {x : p(x)}, Q = {x : q(x)} e R = {x : r(x)}. Assim, temos dois conjuntos
P ∩ (Q ∪ R) = {x : p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x))} (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {x : (p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x))}
Se x ∈ P ∩ (Q ∪ R), ent˜ao p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x)) ´e verdadeira. Pela primeira lei distributiva para fun¸c˜oes sentenciais, a equivalˆencia l´ogica
(p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x))) ←→ ((p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x)))
´e uma tautologia.
2.5. QUANTIFICADORES L ´OGICOS 17
1. A ∪ ∅ = A
2. A ∪ U = U
3. A ∪ A = A
4. A ∪ B = B ∪ A
5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
6. A ∩ ∅ = ∅
7. A ∩ U = A
8. A ∩ A = A
9. A ∩ B = B ∩ A
10. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Exerc´ıcio: Definir a reuni˜ao, a interse¸c˜ao e as leis de De Morgan para trˆes conjuntos.
2.5 Quantificadores L´ogicos
Vamos voltar ao exemplo x ´e par tratado no in´ıcio da Se¸c˜ao 2.3, e restringir a nossa aten¸c˜ao aos valores de x pertencentes ao conjunto Z de todos os n´umeros inteiros. Assim:
- A proposi¸c˜ao x ´e par ´e verdadeira apenas para alguns valores de x ∈ Z.
- A proposi¸c˜ao Alguns elementos x em Z s˜ao pares ´e verdadeira.
- A proposi¸c˜ao Todos os elementos x em Z s˜ao pares ´e falsa.
Em geral, usamos uma fun¸c˜ao proposicional da forma p = p(x), em que a vari´avel x est´a em algum conjunto X muito bem estabelecido.
Defini¸c˜ao 17 (Quantificadores). Os s´ımbolos ∀ (para todo) e ∃ (existe um) s˜ao, respectivamente, denominados quantificadores universal e existencial.
Observa¸c˜ao 15 (Sobre quantificadores). Os s´ımbolos ∀ (para todo) e ∃ (ex- iste um) devem ser usados sempre antes da afirma¸c˜ao l´ogica! Caso necessite usar ap´os a afirma¸c˜ao, use palavras nos lugares dos s´ımbolos.
Assim, podemos considerar as duas proposi¸c˜oes abaixo, escritas nas suas re- spectivas formas simplificadas:
2.6. NEGAC¸ ˜AO DE PROPOSIC¸ ˜OES COM QUANTIFICADORES 18
- Qualquer que seja x ∈ X, p = p(x) ´e verdadeira, denotada em s´ımbolos por: ∀x ∈ X : p(x)
- Existe um x ∈ X tal que p = p(x) ´e verdadeira, denotada em s´ımbolos por: ∃x ∈ X : p(x)
Observa¸c˜ao 16 (Vari´avel muda). A vari´avel x na proposi¸c˜ao ∀x : p(x) ´e uma vari´avel muda, significando que a letra x pode ser trocada por qualquer outra letra. Assim, n˜ao h´a diferen¸ca l´ogica entre a proposi¸c˜ao ∀x : p(x) e a proposi¸c˜ao ∀y : p(y) ou a proposi¸c˜ao ∀z : p(z).
Exemplo 14. Algumas frases e as suas respectivas simplifica¸c˜oes:
Para cada x real, x^2 ´e n˜ao negativo ∀x ∈ R, x^2 ≥ 0 Existe um n´umero real tal que x^2 = 4 ∃x ∈ R : x^2 = 4 Para cada x real, existe y real tal que x + y = 0
∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x + y = 0
Para quaisquer n´umeros reais x e a, vale a identidade (produto not´avel) x^2 − a^2 ≡ (x − a)(x + a)
∀x, a ∈ R : x^2 − a^2 ≡ (x − a)(x + a)
Para cada ε > 0 , existe δ > 0 tal que se |x−a| < δ ent˜ao |f (x)−f (a)| < ε
∀ε > 0 , ∃δ > 0 : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε (Lagrange): Todo n´umero natural ´e a soma dos quadrados de quatro in- teiros
∀n ∈ N, ∃a, b, c, d ∈ Z : n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2
(Goldbach): Todo n´umero par natu- ral maior do que 2 ´e a soma de dois n´umeros primos
∀n ∈ N − { 1 }, ∃p, q primos : 2n = p + q
N˜ao se sabe at´e o momento se a conjectura de Goldbach ´e verdadeira ou falsa. Este ´e um problema ainda sem solu¸c˜ao na Matem´atica.
2.6 Nega¸c˜ao de proposi¸c˜oes com quantificadores
Desenvolveremos uma regra para negar proposi¸c˜oes com quantificadores. Ao afirmarmos que: Todos os alunos s˜ao feios , talvez vocˆe n˜ao goste. Parece
